on mitmetahuline kujund, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on kujutatud ühise tipuga kolmnurkadega.

Kui alus on ruut, siis nimetatakse püramiidi nelinurkne, kui kolmnurk – siis kolmnurkne. Püramiidi kõrgus tõmmatakse selle tipust risti alusega. Kasutatakse ka pindala arvutamiseks apoteem– küljepinna kõrgus, ülaosast allapoole langetatud.
Püramiidi külgpinna pindala valem on selle külgpindade pindalade summa, mis on üksteisega võrdsed. Seda arvutusmeetodit kasutatakse aga väga harva. Põhimõtteliselt arvutatakse püramiidi pindala läbi aluse perimeetri ja apoteemi:

Vaatleme näidet püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks.

Olgu antud püramiid, mille alus on ABCDE ja ülaosa F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Leiame perimeetri. Kuna aluse kõik servad on võrdsed, on viisnurga ümbermõõt võrdne:
Nüüd leiate püramiidi külgmise ala:

Korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala

Tavaline kolmnurkne püramiid koosneb alusest, milles asub korrapärane kolmnurk ja kolm külgpinda, mille pindala on võrdne.
Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna valemit saab arvutada erineval viisil. Võite rakendada tavalist arvutusvalemit perimeetri ja apoteemi abil või leida ühe näo pindala ja korrutada see kolmega. Kuna püramiidi tahk on kolmnurk, rakendame kolmnurga pindala valemit. See nõuab apoteemi ja aluse pikkust. Vaatleme näidet tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna arvutamiseks.

Antud püramiid, mille apoteem on a = 4 cm ja aluspind b = 2 cm, leidke püramiidi külgpinna pindala.
Esiteks leidke ühe külgpinna ala. Sel juhul on see:
Asendage väärtused valemisse:
Kuna tavalises püramiidis on kõik küljed ühesugused, on püramiidi külgpinna pindala võrdne kolme tahu pindalade summaga. Vastavalt:

Tüvipüramiidi pindala

Kärbitud Püramiid on hulktahukas, mille moodustab püramiid ja mille ristlõige on paralleelne alusega.
Kärbitud püramiidi külgpinna valem on väga lihtne. Pindala on võrdne poole aluste perimeetrite ja apoteemi summa korrutisega:

Millist kuju me nimetame püramiidiks? Esiteks on see hulktahukas. Teiseks on selle hulktahuka põhjas suvaline hulknurk ja püramiidi külgedel (külgpindadel) on tingimata kolmnurkade kuju, mis koonduvad ühte ühisesse tippu. Nüüd, olles mõistest aru saanud, uurime välja, kuidas leida püramiidi pindala.

On selge, et sellise geomeetrilise keha pindala koosneb aluse ja kogu selle külgpinna pindalade summast.

Püramiidi aluse pindala arvutamine

Arvutusvalemi valik sõltub meie püramiidi aluseks oleva hulknurga kujust. See võib olla korrapärane, st sama pikkusega külgedega või ebakorrapärane. Mõelgem mõlemale võimalusele.

Alusel on korrapärane hulknurk

Koolikursusest teame:

• ruudu pindala on võrdne selle külje ruudu pikkusega;
• Võrdkülgse kolmnurga pindala võrdub selle külje ruuduga, mis on jagatud 4-ga ja korrutatud ruutjuurega kolmest.

Kuid on olemas ka üldine valem mis tahes korrapärase hulknurga (Sn) pindala arvutamiseks: peate korrutama selle hulknurga (P) ümbermõõdu sellesse kirjutatud ringi raadiusega (r) ja seejärel jagama tulemus kahega: Sn=1/2P*r .

Alusel on ebakorrapärane hulknurk

Selle pindala leidmise skeem on kõigepealt jagada kogu hulknurk kolmnurkadeks, arvutada nende pindala valemiga: 1/2a*h (kus a on kolmnurga alus, h on kõrgus, mis on langetatud see alus), liitke kõik tulemused.

Püramiidi külgpindala

Nüüd arvutame välja püramiidi külgpinna pindala, s.o. selle kõigi külgmiste külgede pindalade summa. Siin on ka 2 võimalust.

1. Olgu meil suvaline püramiid, s.t. üks, mille põhjas on ebakorrapärane hulknurk. Seejärel peaksite arvutama iga näo pindala eraldi ja lisama tulemused. Kuna püramiidi küljed saavad definitsiooni järgi olla ainult kolmnurgad, tehakse arvutus ülalmainitud valemiga: S=1/2a*h.
2. Olgu meie püramiid õige, s.t. selle põhjas asub korrapärane hulknurk ja püramiidi tipu projektsioon on selle keskel. Seejärel piisab külgpinna (Sb) pindala arvutamiseks sellest, et leida pool aluse hulknurga perimeetri (P) ja külgmise külje kõrguse (h) korrutisest (sama kõigi tahkude puhul). ): Sb = 1/2 P*h. Hulknurga ümbermõõt määratakse selle kõigi külgede pikkuste liitmise teel.

Tavalise püramiidi kogupindala leitakse selle aluse pindala liitmisel kogu külgpinna pindalaga.

Näited

Näiteks arvutame algebraliselt mitme püramiidi pindalad.

Kolmnurkse püramiidi pindala

Sellise püramiidi põhjas on kolmnurk. Valemi So=1/2a*h abil leiame aluse pindala. Kasutame sama valemit, et leida püramiidi iga külje pindala, millel on ka kolmnurkne kuju, ja saame 3 piirkonda: S1, S2 ja S3. Püramiidi külgpinna pindala on kõigi pindalade summa: Sb = S1+ S2+ S3. Külgede ja aluse pindalade liitmisel saame soovitud püramiidi kogupindala: Sp = So+ Sb.

Nelinurkse püramiidi pindala

Külgpinna pindala on 4 liikme summa: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, millest igaüks arvutatakse kolmnurga pindala valemi abil. Ja aluse pindala tuleb otsida sõltuvalt nelinurga kujust - korrapärane või ebakorrapärane. Püramiidi kogupind saadakse jällegi, kui liidetakse antud püramiidi aluse pindala ja kogupindala.

Tavalise püramiidi külgpind on võrdne selle apoteemi ja poole aluse perimeetri korrutisega.

Mis puutub kogupindalasse, siis lisame külgpinnale lihtsalt aluspinna.

Korrapärase püramiidi külgpind on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega.

Tõestus:

Kui aluse külg on a, külgede arv on n, siis on püramiidi külgpind võrdne:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

kus l on apoteem ja p on püramiidi aluse ümbermõõt. Teoreem on tõestatud.

See valem kõlab järgmiselt:

Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega püramiidi aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest.

Püramiidi kogupindala arvutatakse järgmise valemiga:

S täis = S pool +S põhilised

Kui püramiid on ebakorrapärane, on selle külgpind võrdne selle külgpindade pindalade summaga.

Püramiidi ruumala

Helitugevus püramiid võrdub ühe kolmandikuga aluse pindala ja kõrguse korrutisest.

Tõestus. Alustame kolmnurksest prismast. Joonestame tasapinna läbi prisma ülemise aluse tipu A" ja alumise aluse vastasserva BC. See tasapind lõikab prismast ära kolmnurkse püramiidi A" ABC. Me lagundame prisma ülejäänud osa tahketeks kehadeks, tõmmates tasapinna läbi külgpindade diagonaalide A"C ja B"C. Saadud kaks keha on samuti püramiidid. Võttes kolmnurka A"B"C" ühe põhjaks ja C selle tipuks, näeme, et selle alus ja kõrgus on samad, mis esimesel ära lõigatud püramiidil, seega püramiidid A"ABC ja CA"B"C" on suuruselt võrdsed. Lisaks on mõlemad uued püramiidid CA"B"C" ja A"B"BC ka võrdse suurusega - see selgub, kui võtta kolmnurgad BBC" ja B"CC " kui nende alused. "Päikestel on ühine tipp A," ja nende alused asuvad samal tasapinnal ja on võrdsed, seega on püramiidid võrdse suurusega. Seega on prisma jaotatud kolmeks võrdse suurusega püramiidiks; igaühe ruumala on võrdne ühe kolmandiku prisma ruumalaga, siis üldiselt on n-nurkse püramiidi ruumala võrdne ühe kolmandikuga sama kõrgusega ja sama (. või võrdne) alus Meenutades prisma ruumala väljendavat valemit, V=Sh, saame lõpptulemuse: V=1/3Sh.

Kas on olemas üldine valem? Ei, üldiselt ei. Peate lihtsalt otsima külgpindade alad ja need kokku võtma.

Valemit saab kirjutada sirge prisma:

Kus on aluse ümbermõõt.

Kuid igal konkreetsel juhul on palju lihtsam kõiki alasid liita kui täiendavaid valemeid pähe õppida. Näiteks arvutame tavalise kuusnurkse prisma kogupinna.

Kõik külgpinnad on ristkülikud. Tähendab.

Seda näidati juba helitugevuse arvutamisel.

Seega saame:

Püramiidi pindala

Üldreegel kehtib ka püramiidi kohta:

Nüüd arvutame kõige populaarsemate püramiidide pindala.

Tavalise kolmnurkse püramiidi pindala

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv võrdne. Peame leidma ja.

Meenutagem seda nüüd

See on tavalise kolmnurga pindala.

Ja meenutagem, kuidas seda piirkonda otsida. Kasutame pindala valemit:

Meie jaoks on “ ” see ja “ ” on ka see, eh.

Nüüd leiame selle üles.

Põhipindala valemit ja Pythagorase teoreemi kasutades leiame

Tähelepanu: kui teil on tavaline tetraeeder (st), siis on valem järgmine:

Tavalise nelinurkse püramiidi pindala

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv võrdne.

Alus on ruut ja sellepärast.

Jääb üle leida külgpinna ala

Tavalise kuusnurkse püramiidi pindala.

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv.

Kuidas leida? Kuusnurk koosneb täpselt kuuest identsest korrapärasest kolmnurgast. Tavalise kolmnurkse püramiidi pindala arvutamisel oleme juba otsinud tavalise kolmnurga pindala, siin kasutame leitud valemit.

Noh, me oleme juba kaks korda otsinud külgpinna piirkonda.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslastest.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Ühtse riigieksami eduka sooritamise, eelarvega kõrgkooli astumise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb seda mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Lihtsalt ärge piirduge teooriaga.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Te vajate mõlemat.

Otsige üles probleemid ja lahendage need!

Püramiidi pindala. Selles artiklis vaatleme tavaliste püramiididega seotud probleeme. Tuletan meelde, et tavaline püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk, püramiidi tipp projitseeritakse selle hulknurga keskmesse.

Sellise püramiidi külgkülg on võrdhaarne kolmnurk.Selle korrapärase püramiidi tipust tõmmatud kolmnurga kõrgust nimetatakse apoteemiks, SF - apoteemiks:

Allpool esitatud probleemitüübi puhul peate leidma kogu püramiidi pindala või selle külgpinna pindala. Blogis on juba käsitletud mitmeid tavapüramiididega seotud probleeme, kus tõstatati elementide leidmise küsimus (kõrgus, aluse serv, külgserv).

Ühtse riigieksami ülesannetes uuritakse tavaliselt korrapäraseid kolmnurkseid, nelinurkseid ja kuusnurkseid püramiide. Ma pole tavaliste viisnurksete ja seitsenurksete püramiididega probleeme näinud.

Kogu pinna pindala valem on lihtne - peate leidma püramiidi aluse pindala ja selle külgpinna pindala summa:

Vaatleme ülesandeid:

Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 72, külgmised servad 164. Leidke selle püramiidi pindala.

Püramiidi pindala on võrdne külgpinna ja aluse pindalade summaga:

*Külgpind koosneb neljast võrdse pindalaga kolmnurgast. Püramiidi alus on ruut.

Püramiidi külje pindala saame arvutada, kasutades:

Seega on püramiidi pindala:

Vastus: 28224

Tavalise kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 22, külgservad on 61. Leidke selle püramiidi külgpindala.

Korrapärase kuusnurkse püramiidi alus on korrapärane kuusnurk.

Selle püramiidi külgpind koosneb kuuest võrdsest kolmnurgast, mille küljed on 61, 61 ja 22:

Leiame kolmnurga pindala Heroni valemi abil:

Seega on külgpindala:

Vastus: 3240

* Ülaltoodud ülesannete puhul võib külgpinna pindala leida mõne teise kolmnurga valemi abil, kuid selleks peate arvutama apoteemi.

27155. Leia korrapärase nelinurkse püramiidi pindala, mille aluse küljed on 6 ja kõrgus 4.

Püramiidi pindala leidmiseks peame teadma aluse pindala ja külgpinna pindala:

Aluse pindala on 36, kuna see on ruut küljega 6.

Külgpind koosneb neljast tahust, mis on võrdsed kolmnurgad. Sellise kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle alust ja kõrgust (apoteem):

*Kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja selle aluse kõrguse korrutisest.

Alus on teada, see võrdub kuuega. Leiame kõrguse. Mõelge täisnurksele kolmnurgale (kollasega esile tõstetud):

Üks jalg on võrdne 4-ga, kuna see on püramiidi kõrgus, teine ​​​​on 3, kuna see võrdub poole aluse servaga. Hüpotenuusi leiame Pythagorase teoreemi abil:

See tähendab, et püramiidi külgpinna pindala on:

Seega on kogu püramiidi pindala:

Vastus: 96

27069. Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad on 13. Leia selle püramiidi pindala.

27070. Korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad on 13. Leidke selle püramiidi külgpindala.

Samuti on olemas valemid tavalise püramiidi külgpinna jaoks. Tavalises püramiidis on alus külgpinna ortogonaalne projektsioon, seega:

P- baasi perimeeter, l- püramiidi apoteem

*See valem põhineb kolmnurga pindala valemil.

Kui soovite nende valemite tuletamise kohta lisateavet, ärge jätke seda mööda, jälgige artiklite avaldamist.See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.