е многостранна фигура, чиято основа е многоъгълник, а останалите лица са представени от триъгълници с общ връх.

Ако основата е квадрат, тогава се нарича пирамида четириъгълна, ако е триъгълник – тогава триъгълна. Височината на пирамидата се изчертава от върха й перпендикулярно на основата. Използва се и за изчисляване на площ апотема– височината на страничното лице, спусната от върха му.
Формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на нейните странични лица, които са равни една на друга. Този метод на изчисление обаче се използва много рядко. По принцип площта на пирамидата се изчислява чрез периметъра на основата и апотемата:

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.

Нека е дадена пирамида с основа ABCDE и връх F. AB =BC =CD =DE =EA =3 см. Апотема a = 5 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Нека намерим периметъра. Тъй като всички ръбове на основата са равни, периметърът на петоъгълника ще бъде равен на:
Сега можете да намерите страничната област на пирамидата:

Площ на правилна триъгълна пирамида

Правилната триъгълна пирамида се състои от основа, в която лежи правилен триъгълник и три странични стени, които са еднакви по площ.
Формулата за площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида може да се изчисли по различни начини. Можете да приложите обичайната формула за изчисление, като използвате периметъра и апотемата, или можете да намерите площта на едно лице и да я умножите по три. Тъй като лицето на пирамидата е триъгълник, прилагаме формулата за площта на триъгълника. Това ще изисква апотема и дължината на основата. Нека разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида.

Дадена е пирамида с апотема a = 4 см и лице на основата b = 2 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Първо намерете областта на една от страничните повърхности. В този случай ще бъде:
Заместете стойностите във формулата:
Тъй като в правилната пирамида всички страни са еднакви, площта на страничната повърхност на пирамидата ще бъде равна на сумата от площите на трите лица. Съответно:

Площ на пресечена пирамида

СъкратенПирамидата е многостен, който се състои от пирамида и нейното напречно сечение, успоредно на основата.
Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е много проста. Площта е равна на произведението на половината от сумата на периметрите на основите и апотемата:

Каква фигура наричаме пирамида? Първо, това е полиедър. Второ, в основата на този полиедър има произволен многоъгълник, а страните на пирамидата (страничните стени) задължително имат формата на триъгълници, събиращи се в един общ връх. Сега, след като разбрахме термина, нека разберем как да намерим повърхността на пирамидата.

Ясно е, че повърхността на такова геометрично тяло е съставена от сумата от площите на основата и цялата му странична повърхност.

Изчисляване на площта на основата на пирамида

Изборът на формула за изчисление зависи от формата на многоъгълника, който е в основата на нашата пирамида. Тя може да бъде правилна, тоест със страни с еднаква дължина, или неправилна. Нека разгледаме и двата варианта.

Основата е правилен многоъгълник

От училищния курс знаем:

• площта на квадрата ще бъде равна на дължината на квадратната му страна;
• Площта на равностранен триъгълник е равна на квадрата на страната му, разделена на 4 и умножена по корен квадратен от три.

Но има и обща формула за изчисляване на площта на всеки правилен многоъгълник (Sn): трябва да умножите периметъра на този многоъгълник (P) по радиуса на вписаната в него окръжност (r) и след това да разделите резултат с две: Sn=1/2P*r .

В основата има неправилен многоъгълник

Схемата за намиране на неговата площ е първо да разделите целия многоъгълник на триъгълници, да изчислите площта на всеки от тях по формулата: 1/2a*h (където a е основата на триъгълника, h е височината, спусната до тази база), съберете всички резултати.

Площ на страничната повърхност на пирамидата

Сега нека изчислим площта на страничната повърхност на пирамидата, т.е. сумата от площите на всичките му странични страни. Тук също има 2 опции.

1. Нека имаме произволна пирамида, т.е. един с неправилен многоъгълник в основата си. След това трябва да изчислите площта на всяко лице поотделно и да добавите резултатите. Тъй като страните на пирамидата по дефиниция могат да бъдат само триъгълници, изчислението се извършва по гореспоменатата формула: S=1/2a*h.
2. Нека нашата пирамида е правилна, т.е. в основата му лежи правилен многоъгълник, а проекцията на върха на пирамидата е в нейния център. След това, за да се изчисли площта на страничната повърхност (Sb), е достатъчно да се намери половината от произведението на периметъра на основния многоъгълник (P) и височината (h) на страничната страна (еднакво за всички лица ): Sb = 1/2 P*h. Периметърът на многоъгълник се определя чрез събиране на дължините на всичките му страни.

Общата площ на правилната пирамида се намира чрез сумиране на площта на нейната основа с площта на цялата странична повърхност.

Примери

Например, нека изчислим алгебрично площите на няколко пирамиди.

Повърхност на триъгълна пирамида

В основата на такава пирамида е триъгълник. Използвайки формулата So=1/2a*h намираме площта на основата. Използваме същата формула, за да намерим площта на всяко лице на пирамидата, която също има триъгълна форма, и получаваме 3 области: S1, S2 и S3. Площта на страничната повърхност на пирамидата е сумата от всички площи: Sb = S1+ S2+ S3. Като съберем площите на страните и основата, получаваме общата повърхност на желаната пирамида: Sp= So+ Sb.

Повърхност на четириъгълна пирамида

Площта на страничната повърхност е сумата от 4 члена: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, всеки от които се изчислява по формулата за площта на триъгълник. И площта на основата ще трябва да се търси в зависимост от формата на четириъгълника - правилна или неправилна. Общата повърхност на пирамидата отново се получава чрез събиране на площта на основата и общата повърхност на дадената пирамида.

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на произведението на нейната апотема и половината от периметъра на основата.

Що се отнася до общата повърхност, ние просто добавяме основната площ към страничната.

Страничната повърхност на правилната пирамида е равна на произведението на полупериметъра на основата и апотемата.

Доказателство:

Ако страната на основата е a, броят на страните е n, тогава страничната повърхност на пирамидата е равна на:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

където l е апотемата, а p е периметърът на основата на пирамидата. Теоремата е доказана.

Тази формула гласи така:

Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата на пирамидата.

Общата повърхност на пирамидата се изчислява по формулата:

С пълен = S страна +S основен

Ако пирамидата е неправилна, тогава нейната странична повърхност ще бъде равна на сбора от площите на нейните странични лица.

Обем на пирамидата

Сила на звукапирамида е равна на една трета от произведението на площта на основата и височината.

Доказателство. Ще започнем от триъгълна призма. Нека начертаем равнина през върха A" на горната основа на призмата и срещуположния ръб BC на долната основа. Тази равнина ще отсече триъгълната пирамида A" ABC от призмата. Ще разложим останалата част от призмата на твърди тела, като начертаем равнина през диагоналите A"C и B"C на страничните стени. Получените две тела също са пирамиди. Считайки, че триъгълник A"B"C е основата на един от тях, а C е негов връх, виждаме, че неговата основа и височина са същите като тези на първата пирамида, която отрязахме, следователно пирамидите A"ABC и CA"B"C" са равни по размер. Освен това и двете нови пирамиди CA"B"C" и A"B"BC също са равни по размер - това ще стане ясно, ако приемем триъгълниците BBC" и B"CC като техните основи. Пирамидите CA"B"C" и A"B "Слънцата имат общ връх A", а техните основи са разположени в една и съща равнина и са равни, следователно пирамидите са еднакви по размер. И така, призмата се разлага на три пирамиди с еднакъв размер;обемът на всяка от тях е равен на една трета от обема на призмата.Тъй като формата на основата не е важна,тогава общо взето обемът на n-ъгълна пирамида е равен на една трета от обема на призма със същата височина и същата (или равна) основа. Като си припомним формулата, изразяваща обема на призма, V=Sh, получаваме крайния резултат: V=1/3Sh

Има ли обща формула? Не, като цяло, не. Просто трябва да потърсите площите на страничните лица и да ги сумирате.

Формулата може да бъде написана за права призма:

Къде е периметърът на основата.

Но все още е много по-лесно да добавите всички области във всеки конкретен случай, отколкото да запомните допълнителни формули. Например, нека изчислим общата повърхност на правилна шестоъгълна призма.

Всички странични лица са правоъгълници. Средства.

Това вече беше показано при изчисляването на обема.

Така получаваме:

Площ на повърхността на пирамидата

Общото правило важи и за пирамидата:

Сега нека изчислим повърхността на най-популярните пирамиди.

Повърхност на правилна триъгълна пирамида

Нека страната на основата е равна и страничният ръб равен. Трябва да намерим и.

Нека сега си спомним това

Това е площта на правилен триъгълник.

И нека си припомним как да търсим тази област. Използваме формулата за площ:

За нас „ “ е това, а „ “ също е това, а.

Сега нека го намерим.

Използвайки основната формула за площ и Питагоровата теорема, намираме

Внимание:ако имате правилен тетраедър (т.е.), тогава формулата се оказва така:

Повърхнина на правилна четириъгълна пирамида

Нека страната на основата е равна и страничният ръб равен.

Основата е квадрат и ето защо.

Остава да се намери областта на страничната повърхност

Повърхност на правилна шестоъгълна пирамида.

Нека страната на основата да е равна и страничният ръб.

Как да намеря? Шестоъгълникът се състои от точно шест еднакви правилни триъгълника. Вече потърсихме площта на правилен триъгълник при изчисляване на повърхността на правилна триъгълна пирамида; тук използваме формулата, която намерихме.

Е, ние вече търсихме зоната на страничната повърхност два пъти.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за влизане в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

Площ на повърхността на пирамидата. В тази статия ще разгледаме проблемите с правилните пирамиди. Нека ви напомня, че правилната пирамида е пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, върхът на пирамидата е проектиран в центъра на този многоъгълник.

Страничната страна на такава пирамида е равнобедрен триъгълник.Надморската височина на този триъгълник, изтеглена от върха на правилна пирамида, се нарича апотема, SF - апотема:

В вида на проблема, представен по-долу, трябва да намерите площта на цялата пирамида или площта на нейната странична повърхност. В блога вече бяха обсъдени няколко проблема с правилни пирамиди, където въпросът беше за намирането на елементите (височина, основен ръб, страничен ръб).

Задачите на единния държавен изпит обикновено разглеждат правилни триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди. Не съм виждал проблеми с правилните петоъгълни и седмоъгълни пирамиди.

Формулата за площта на цялата повърхност е проста - трябва да намерите сумата от площта на основата на пирамидата и площта на нейната странична повърхност:

Нека разгледаме задачите:

Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са 72, страничните ръбове са 164. Намерете повърхността на тази пирамида.

Площта на повърхността на пирамидата е равна на сумата от площите на страничната повърхност и основата:

*Страничната повърхност се състои от четири триъгълника с еднаква площ. Основата на пирамидата е квадрат.

Можем да изчислим площта на страната на пирамидата, като използваме:

Така повърхността на пирамидата е:

Отговор: 28224

Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 22, страничните ръбове са равни на 61. Намерете страничната повърхност на тази пирамида.

Основата на правилната шестоъгълна пирамида е правилен шестоъгълник.

Площта на страничната повърхност на тази пирамида се състои от шест области на равни триъгълници със страни 61,61 и 22:

Нека намерим площта на триъгълника, използвайки формулата на Heron:

Така площта на страничната повърхност е:

Отговор: 3240

*В проблемите, представени по-горе, площта на страничната повърхност може да се намери с помощта на друга формула за триъгълник, но за това трябва да изчислите апотемата.

27155. Намерете повърхността на правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 6 и чиято височина е 4.

За да намерим площта на повърхността на пирамидата, трябва да знаем площта на основата и площта на страничната повърхност:

Площта на основата е 36, тъй като тя е квадрат със страна 6.

Страничната повърхност се състои от четири лица, които са равни триъгълници. За да намерите площта на такъв триъгълник, трябва да знаете неговата основа и височина (апотема):

*Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината, прекарана към тази основа.

Основата е известна, тя е равна на шест. Да намерим височината. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в жълто):

Единият крак е равен на 4, тъй като това е височината на пирамидата, другият е равен на 3, тъй като е равен на половината ръб на основата. Можем да намерим хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема:

Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:

Така повърхността на цялата пирамида е:

Отговор: 96

27069. Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете повърхността на тази пирамида.

27070. Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Има и формули за площта на страничната повърхност на правилната пирамида. В правилната пирамида основата е ортогонална проекция на страничната повърхност, следователно:

П- основен периметър, л- апотема на пирамидата

*Тази формула се базира на формулата за лицето на триъгълник.

Ако искате да научите повече за това как се извличат тези формули, не го пропускайте, следете публикуването на статии.Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.