Обобщение на урока "Решаване на системи от неравенства с две променливи." Урок „Системи от неравенства с две променливи Примери за неравенства с две променливи
Видео урокът „Системи от неравенства с две променливи“ съдържа нагледен образователен материал по тази тема. Урокът включва разглеждане на концепцията за решаване на система от неравенства с две променливи, примери за решаване на такива системи графично. Целта на този видео урок е да развие способността на учениците да решават графично системи от неравенства с две променливи, да улесни разбирането на процеса на намиране на решения на такива системи и запаметяването на метода за решаване.
Всяко описание на решението е придружено от чертежи, които показват решението на задачата в координатната равнина. Такива фигури ясно показват характеристиките на конструирането на графики и местоположението на точките, съответстващи на решението. Всички важни детайли и концепции са подчертани с цвят. По този начин видео урокът е удобен инструмент за решаване на проблеми на учителя в класната стая и освобождава учителя от представянето на стандартен блок от материали за индивидуална работа с учениците.
Видео урокът започва с представяне на темата и разглеждане на пример за намиране на решения на система, състояща се от неравенства x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.
Разбирането на изводите, направени за решаването на система от неравенства, се засилва чрез разглеждане на примери. Първо се разглежда решението на системата от неравенства x 2 + y 2<=9 и x+y>=2. Очевидно решенията на първото неравенство в координатната равнина включват окръжността x 2 + y 2 = 9 и областта вътре в нея. Тази област на фигурата е запълнена с хоризонтално засенчване. Множеството от решения на неравенството x+y>=2 включва правата x+y=2 и разположената отгоре полуравнина. Тази област също е обозначена на равнината с щрихи в различна посока. Сега можем да определим пресечната точка на две множества решения на фигурата. Съдържа се в окръжна отсечка x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.
След това анализираме решението на системата от линейни неравенства y>=x-3 и y>=-2x+4. На фигурата до условието на задачата е построена координатна равнина. Върху нея е построена права, съответстваща на решенията на уравнението y=x-3. Областта на решението на неравенството y>=x-3 ще бъде площта, разположена над тази линия. Тя е засенчена. Множеството от решения на второто неравенство се намира над правата y=-2x+4. Тази права линия също е конструирана в същата координатна равнина и областта на решението е щрихована. Пресечната точка на две множества е ъгълът, изграден от две прави линии, заедно с вътрешната му област. Областта на решение на системата от неравенства е изпълнена с двойно засенчване.
При разглеждане на третия пример е описан случаят, когато графиките на уравненията, съответстващи на неравенствата на системата, са успоредни линии. Необходимо е да се реши системата от неравенства y<=3x+1 и y>=3x-2. Построена е права линия в координатната равнина, съответстваща на уравнението y=3x+1. Диапазон от стойности, съответстващи на решенията на неравенството y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.
Видео урокът „Системи от неравенства с две променливи“ може да се използва като нагледно помагало в урок в училище или да замести обяснението на учителя, когато изучавате материала самостоятелно. Подробно, разбираемо обяснение на решаването на системи от неравенства в координатната равнина може да помогне за представянето на материала по време на дистанционното обучение.
Завършени работи
ДИПЛОМНИ РАБОТИ
Много вече е минало и сега сте дипломиран, ако, разбира се, напишете дипломната си работа навреме. Но животът е такова нещо, че едва сега ви става ясно, че след като сте престанали да бъдете студент, ще загубите всички студентски радости, много от които никога не сте опитвали, отлагайки всичко и го отлагайки за по-късно. И сега, вместо да наваксваш, работиш върху дипломната си работа? Има отлично решение: изтеглете дисертацията, от която се нуждаете, от нашия уебсайт - и веднага ще имате много свободно време!
Тези дисертации са успешно защитени във водещи университети на Република Казахстан.
Цената на работата от 20 000 тенге
КУРСОВИ РАБОТИ
Курсовият проект е първата сериозна практическа работа. Именно с писането на курсова работа започва подготовката за разработване на дипломни проекти. Ако студентът се научи правилно да представя съдържанието на дадена тема в курсов проект и да го форматира компетентно, тогава в бъдеще той няма да има проблеми с писането на доклади, съставянето на тезиси или изпълнението на други практически задачи. За да подпомогне студентите при писането на този тип студентски работи и да изясни въпросите, които възникват по време на подготовката им, всъщност беше създадена тази информационна секция.
Разходи за работа от 2500 тенге
МАГИСТЪРСКИ ДИСЕРТАЦИИ
В момента във висшите учебни заведения на Казахстан и страните от ОНД нивото на висше професионално образование, което следва след бакалавърска степен, е магистърска степен. В магистърската програма студентите учат с цел получаване на магистърска степен, която се признава в повечето страни по света повече от бакалавърската степен, а също така се признава от чуждестранни работодатели. Резултатът от магистърското обучение е защитата на магистърска теза.
Ние ще ви предоставим актуални аналитични и текстови материали, като цената включва 2 научни статии и резюме.
Разходи за работа от 35 000 тенге
ДОКЛАДИ ОТ ПРАКТИКАТА
След завършване на всякакъв вид студентски стаж (образователен, индустриален, преддипломен) се изисква отчет. Този документ ще бъде потвърждение за практическата работа на студента и основа за формиране на оценка за практиката. Обикновено, за да съставите отчет за стаж, трябва да съберете и анализирате информация за предприятието, да разгледате структурата и режима на работа на организацията, в която се провежда стажът, да съставите календарен план и да опишете практическите си дейности.
Ще ви помогнем да напишете доклад за вашия стаж, като вземете предвид спецификата на дейността на конкретно предприятие.
Видео урокът „Неравенства с две променливи” е предназначен за обучението по алгебра по тази тема в 9. клас на средно училище. Видео урокът съдържа описание на теоретичните основи на решаването на неравенства, описва подробно процеса на решаване на неравенства по графичен начин, неговите особености и демонстрира примери за решаване на задачи по темата. Целта на този видео урок е да улесни разбирането на материала с помощта на визуално представяне на информация, да насърчи формирането на умения за решаване на проблеми с помощта на изучаваните математически методи.
Основните инструменти на видео урока са използването на анимация при представянето на графики и теоретична информация, подчертаване на понятия и характеристики, важни за разбирането и запаметяването на материала в цвят и други графични начини, гласови обяснения с цел по-лесно запаметяване на информация и формирането на способността за използване на математически език.
Видео урокът започва с представяне на темата и пример, демонстриращ концепцията за решаване на неравенство. За формиране на разбиране на значението на понятието решение е представено неравенството 3x 2 -y<10, в которое подставляется пара значений х=2 и у=6. Демонстрируется, как после подстановки данных значений неравенство становится верным. Понятие решения данного неравенства как пары значений (2;6) выведено на экран, подчеркивая его важность. Затем представляется определение рассмотренного понятия для запоминания его учениками или записи в тетрадь.
Важна част от способността за решаване на неравенства е способността да се изобразява множеството от неговите решения в координатна равнина. Формирането на такова умение в този урок започва с демонстрация на намиране на набор от решения на линейни неравенства ax+by
Пример за такова неравенство е x+3y>6. За да се трансформира неравенството в еквивалентно неравенство, отразяващо зависимостта на стойностите на y от стойностите на x, двете страни на неравенството се разделят на 3, y остава от едната страна на уравнението, а x се премества на другият. Стойността x=3 е произволно избрана за заместване в неравенството. Отбелязва се, че ако замените тази стойност x в неравенството и замените знака за неравенство със знак за равенство, можете да намерите съответната стойност y=1. Двойката (3;1) ще бъде решение на уравнението y=-(1/3)x+2. Ако заместим всякакви стойности на y, по-големи от 1, тогава неравенството с дадена стойност на x ще бъде вярно: (3;2), (3;8) и т.н. Подобно на този процес на намиране на решение, разглежда се общ случай за намиране на набор от решения на дадено неравенство. Търсенето на набор от решения на неравенството започва със замяната на определена стойност x 0. От дясната страна на неравенството получаваме израза -(1/3)x 0 +2. Определена двойка числа (x 0; y 0) е решение на уравнението y=-(1/3)x+2. Съответно, решенията на неравенството y>-(1/3)x 0 +2 ще бъдат съответните двойки стойности с x 0, където y е по-голямо от стойностите на y 0. Тоест, решенията на това неравенство ще бъдат двойки стойности (x 0; y).
За да се намери множеството от решения на неравенството x+3y>6 върху координатната равнина, върху нея се демонстрира построяването на права линия, съответстваща на уравнението y=-(1/3)x+2. На тази линия точка M е отбелязана с координати (x 0; y 0). Отбелязва се, че всички точки K(x 0 ;y) с ординати y>y 0, тоест разположени над тази линия, ще отговарят на условията на неравенство y>-(1/3)x+2. От анализа се заключава, че това неравенство е дадено от набор от точки, които са разположени над правата линия y=-(1/3)x+2. Това множество от точки съставлява полуравнина над дадена права. Тъй като неравенството е строго, самата права линия не е сред решенията. На фигурата този факт е отбелязан с пунктирано обозначение.
Обобщавайки данните, получени в резултат на описанието на решението на неравенството x+3y>6, можем да кажем, че правата x+3y=6 разделя равнината на две полуравнини, докато полуравнината, разположена отгоре, отразява набор от стойности, удовлетворяващи неравенството x+3y>6, и разположени под линията - решение на неравенството x+3y<6. Данный вывод является важным для понимания, каким образом решаются неравенства, поэтому выведен на экран отдельно в рамке.
След това разглеждаме пример за решаване на нестрого неравенство от втора степен y>=(x-3) 2. За да се определи множеството от решения, наблизо на фигурата е построена парабола y = (x-3) 2 . Точката M(x 0 ; y 0) е отбелязана върху параболата, чиито стойности ще бъдат решения на уравнението y = (x-3) 2. В тази точка се построява перпендикуляр, върху който над параболата е отбелязана точката K(x 0 ;y), която ще бъде решението на неравенството y>(x-3) 2. Можем да заключим, че първоначалното неравенство е изпълнено от координатите на точки, разположени върху дадена парабола y=(x-3) 2 и над нея. На фигурата тази зона на решение е маркирана със засенчване.
Следващият пример, демонстриращ позицията на равнината на точки, които са решение на неравенство от втора степен, е описание на решението на неравенството x 2 + y 2<=9. На координатной плоскости строится окружность радиусом 3 с центром в начале координат. Отмечается, что решениями уравнения будут точки, сумма квадратов координат которых не превышает квадрата радиуса. Также отмечается, что окружность х 2 +у 2 =9 разбивает плоскость на области внутри окружности и вне круга. Очевидно, что множество точек внутренней части круга удовлетворяют неравенству х 2 +у 2 <9, а внешняя часть - неравенству х 2 +у 2 >9. Съответно, решението на първоначалното неравенство ще бъде наборът от точки на окръжността и областта вътре в нея.
След това разглеждаме решението на уравнението xy>8. Върху координатната равнина до задачата е построена хипербола, която удовлетворява уравнението xy=8. Маркирайте точката M(x 0;y 0), принадлежаща на хиперболата и K(x 0;y) над нея, успоредна на оста y. Очевидно е, че координатите на точка K съответстват на неравенството xy>8, тъй като произведението на координатите на тази точка надвишава 8. Посочено е, че по същия начин може да се докаже съответствието на точки, принадлежащи на област B, на неравенство xy<8. Следовательно, решением неравенства ху>8 ще има набор от точки, лежащи в области A и C.
Видео урокът „Неравенства с две променливи” може да служи като нагледно помагало на учителя в класната стая. Материалът ще помогне и на учениците, които учат материала сами. Полезно е да използвате видео урок по време на дистанционно обучение.
Предмет: Уравнения и неравенства. Системи уравнения и неравенства
Урок:Уравнения и неравенства с две променливи
Нека разгледаме в общи линии уравнение и неравенство с две променливи.
Уравнение с две променливи;
Неравенство с две променливи, знакът за неравенство може да бъде всичко;
Тук x и y са променливи, p е израз, който зависи от тях
Двойка числа () се нарича частично решение на такова уравнение или неравенство, ако при заместване на тази двойка в израза получаваме съответно правилното уравнение или неравенство.
Задачата е да се намери или изобрази на равнина множеството от всички решения. Можете да перифразирате тази задача - да намерите геометричното място на точките (GLP), да построите графика на уравнение или неравенство.
Пример 1 - решаване на уравнение и неравенство:
С други думи, задачата включва намиране на GMT.
Нека разгледаме решението на уравнението. В този случай стойността на променливата x може да бъде всяка, така че имаме:
Очевидно решението на уравнението е множеството точки, образуващи права линия
Ориз. 1. Графика на уравнение Пример 1
Решенията на дадено уравнение са по-специално точките (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)
Решението на даденото неравенство е полуравнина, разположена над правата, включително самата права (виж Фигура 1). Наистина, ако вземем която и да е точка x 0 на правата, тогава имаме равенството . Ако вземем точка в полуравнина над линия, имаме . Ако вземем точка в полуравнината под правата, тогава тя няма да удовлетвори нашето неравенство: .
Сега разгледайте проблема с кръг и кръг.
Пример 2 - решаване на уравнение и неравенство:
Знаем, че даденото уравнение е уравнението на окръжност с център в началото и радиус 1.
Ориз. 2. Илюстрация за пример 2
В произволна точка x 0 уравнението има две решения: (x 0; y 0) и (x 0; -y 0).
Решението на дадено неравенство е набор от точки, разположени вътре в кръга, без да се взема предвид самият кръг (виж Фигура 2).
Нека разгледаме уравнение с модули.
Пример 3 - решаване на уравнението:
В този случай би било възможно да се разширят модулите, но ще разгледаме спецификата на уравнението. Лесно се вижда, че графиката на това уравнение е симетрична спрямо двете оси. Тогава, ако точката (x 0 ; y 0) е решение, тогава точката (x 0 ; -y 0) също е решение, точките (-x 0 ; y 0) и (-x 0 ; -y 0) ) също са решение .
По този начин е достатъчно да се намери решение, при което и двете променливи са неотрицателни и приемат симетрия спрямо осите:
Ориз. 3. Илюстрация за пример 3
И така, както виждаме, решението на уравнението е квадрат.
Нека да разгледаме така наречения метод на площта, използвайки конкретен пример.
Пример 4 - изобразете множеството от решения на неравенството:
Според метода на домейните, първо разглеждаме функцията от лявата страна, ако има нула отдясно. Това е функция на две променливи:
Подобно на метода на интервалите, ние временно се отдалечаваме от неравенството и изучаваме характеристиките и свойствата на съставената функция.
ODZ: това означава, че оста x е пробита.
Сега показваме, че функцията е равна на нула, когато числителят на дробта е равен на нула, имаме:
Изграждаме графика на функцията.
Ориз. 4. Графика на функцията, отчитаща ОДЗ
Сега разгледайте областите с постоянен знак на функцията; те са образувани от права линия и начупена линия. вътре в прекъснатата линия има област D 1. Между сегмент от начупена линия и права линия - зона D 2, под линията - зона D 3, между сегмент от начупена линия и права линия - зона D 4
Във всяка от избраните области функцията запазва своя знак, което означава, че е достатъчно да проверите произволна тестова точка във всяка област.
В зоната вземаме точката (0;1). Ние имаме:
В зоната вземаме точката (10;1). Ние имаме:
Така цялата област е отрицателна и не удовлетворява даденото неравенство.
В района вземете точката (0;-5). Ние имаме:
Така цялата област е положителна и удовлетворява даденото неравенство.
Решаване на неравенство с две променливи, и още повече системи от неравенства с две променливи, изглежда доста трудна задача. Съществува обаче прост алгоритъм, който помага за решаването на привидно много сложни проблеми от този вид лесно и без много усилия. Нека се опитаме да го разберем.
Нека имаме неравенство с две променливи от един от следните типове:
y > f(x); y ≥ f(x); г< f(x); y ≤ f(x).
За да изобразите набор от решения на такова неравенство в координатната равнина, продължете както следва:
1. Построяваме графика на функцията y = f(x), която разделя равнината на две области.
2. Избираме всяка от получените области и разглеждаме произволна точка в нея. Проверяваме осъществимостта на първоначалното неравенство за тази точка. Ако тестът доведе до правилно числово неравенство, тогава заключаваме, че първоначалното неравенство е изпълнено в целия регион, към който принадлежи избраната точка. По този начин множеството от решения на неравенството е областта, към която принадлежи избраната точка. Ако резултатът от проверката е неправилно числово неравенство, тогава наборът от решения на неравенството ще бъде втората област, към която избраната точка не принадлежи.
3.
Ако неравенството е строго, тогава границите на областта, т.е. точките от графиката на функцията y = f(x), не са включени в множеството от решения и границата е изобразена с пунктирана линия. Ако неравенството не е строго, тогава границите на областта, т.е. точките от графиката на функцията y = f(x), са включени в набора от решения на това неравенство и границата в този случай е изобразена като плътна линия.
Сега нека разгледаме няколко проблема по тази тема.
Задача 1.
Какъв набор от точки е даден от неравенството x · y ≤ 4?
Решение.
1) Изграждаме графика на уравнението x · y = 4. За да направим това, първо го трансформираме. Очевидно x в този случай не се превръща в 0, тъй като в противен случай ще имаме 0 · y = 4, което е неправилно. Това означава, че можем да разделим нашето уравнение на x. Получаваме: y = 4/x. Графиката на тази функция е хипербола. Той разделя цялата равнина на две области: тази между двата клона на хиперболата и тази извън тях.
2) Нека изберем произволна точка от първия регион, нека да е точка (4; 2).
Да проверим неравенството: 4 · 2 ≤ 4 – невярно.
Това означава, че точките от тази област не удовлетворяват първоначалното неравенство. Тогава можем да заключим, че множеството от решения на неравенството ще бъде втората област, към която избраната точка не принадлежи.
3) Тъй като неравенството не е строго, начертаваме граничните точки, т.е. точките от графиката на функцията y = 4/x, с плътна линия.
Нека оцветим набора от точки, който определя първоначалното неравенство в жълто (Фиг. 1).
Задача 2.
Начертайте зоната, определена върху координатната равнина от системата
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.
Решение.
Като начало изграждаме графики на следните функции (фиг. 2):
y = x 2 + 2 – парабола,
y + x = 1 – права линия
x 2 + y 2 = 9 – кръг.
1) y > x 2 + 2.
Вземаме точката (0; 5), която се намира над графиката на функцията.
Нека проверим неравенството: 5 > 0 2 + 2 – вярно.
Следователно всички точки, лежащи над дадената парабола y = x 2 + 2, удовлетворяват първото неравенство на системата. Да ги боядисаме в жълто.
2) y + x > 1.
Вземаме точката (0; 3), която се намира над графиката на функцията.
Нека проверим неравенството: 3 + 0 > 1 – вярно.
Следователно всички точки, лежащи над правата линия y + x = 1, удовлетворяват второто неравенство на системата. Нека ги боядисаме със зелено засенчване.
3) x 2 + y 2 ≤ 9.
Вземете точката (0; -4), която се намира извън кръга x 2 + y 2 = 9.
Да проверим неравенството: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неправилно.
Следователно всички точки, лежащи извън окръжността x 2 + y 2 = 9, 
не удовлетворяват третото неравенство на системата. Тогава можем да заключим, че всички точки, лежащи вътре в окръжността x 2 + y 2 = 9, удовлетворяват третото неравенство на системата. Нека ги боядисаме с лилаво оцветяване.
Не забравяйте, че ако неравенството е строго, тогава съответната гранична линия трябва да бъде начертана с пунктирана линия. Получаваме следната картина (фиг. 3).
(фиг. 4).
Задача 3.
Начертайте областта, определена върху координатната равнина от системата:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.
Решение.
Като начало изграждаме графики на следните функции: 
x 2 + y 2 = 16 – кръг,
x = -y – права линия
x 2 + y 2 = 4 – кръг (фиг. 5).
Сега нека разгледаме всяко неравенство поотделно.
1) x 2 + y 2 ≤ 16.
Вземете точката (0; 0), която се намира вътре в окръжността x 2 + y 2 = 16.
Нека проверим неравенството: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – вярно.
Следователно всички точки, лежащи вътре в окръжността x 2 + y 2 = 16, удовлетворяват първото неравенство на системата.
Нека ги боядисаме с червено оцветяване. 
Вземаме точка (1; 1), която се намира над графиката на функцията.
Нека проверим неравенството: 1 ≥ -1 – вярно.
Следователно всички точки, лежащи над правата x = -y, удовлетворяват второто неравенство на системата. Нека ги нарисуваме със синьо оцветяване.
3) x 2 + y 2 ≥ 4.
Вземете точката (0; 5), която се намира извън окръжността x 2 + y 2 = 4.
Нека проверим неравенството: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – вярно.
Следователно всички точки, лежащи извън окръжността x 2 + y 2 = 4, удовлетворяват третото неравенство на системата. Нека ги боядисаме в синьо.
В тази задача всички неравенства не са строги, което означава, че чертаем всички граници с плътна линия. Получаваме следната картина (фиг. 6).
Зоната за търсене е зоната, където и трите цветни области се пресичат една с друга (Фигура 7).
Все още имате въпроси? Не знаете как да решите система от неравенства с две променливи?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!
blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.
