Линеен (вектор)Пространството е набор V от произволни елементи, наречени вектори, в който са дефинирани операциите за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, т.е. на всеки два вектора \mathbf(u) и (\mathbf(v)) се присвоява вектор \mathbf(u)+\mathbf(v), наречена сума от вектори \mathbf(u) и (\mathbf(v)), всеки вектор (\mathbf(v)) и всяко число \lambda от полето на реалните числа \mathbb(R) е свързано с вектор \lambda\mathbf(v), наречен продукт на вектора \mathbf(v) с числото \lambda ; така че са изпълнени следните условия:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(комутативност на събирането);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(асоциативност на добавянето);
3. има елемент \mathbf(o)\в V , наречен нулев вектор, такъв че \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\за всички \mathbf(v)\in V;
4. за всеки вектор (\mathbf(v)) има вектор, наречен противоположен на вектора \mathbf(v), така че \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\за всички \lambda\в \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ в\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Извикват се условия 1-8 аксиоми на линейното пространство. Знакът за равенство, поставен между векторите, означава, че лявата и дясната страна на равенството представляват един и същ елемент от множеството V; такива вектори се наричат ​​равни.

В дефиницията на линейното пространство е въведена операцията за умножение на вектор по число за реални числа. Такова пространство се нарича линейно пространство над полето от реални числа, или накратко, реално линейно пространство. Ако в дефиницията, вместо полето \mathbb(R) от реални числа, вземем полето от комплексни числа \mathbb(C) , тогава получаваме линейно пространство над полето от комплексни числа, или накратко, сложно линейно пространство. Като числово поле можем също да изберем полето \mathbb(Q) от рационални числа и в този случай получаваме линейно пространство върху полето от рационални числа. В това, което следва, освен ако не е посочено друго, ще се разглеждат реални линейни пространства. В някои случаи, за краткост, ще говорим за пространство, като пропускаме думата линейно, тъй като всички пространства, разгледани по-долу, са линейни.

Бележки 8.1

1. Аксиоми 1-4 показват, че линейното пространство е комутативна група по отношение на операцията събиране.

2. Аксиоми 5 и 6 определят разпределимостта на операцията за умножаване на вектор по число по отношение на операцията за събиране на вектори (аксиома 5) или към операцията за събиране на числа (аксиома 6). Аксиома 7, понякога наричана закон за асоциативност на умножението по число, изразява връзката между две различни операции: умножаване на вектор по число и умножение на числа. Свойството, дефинирано от аксиома 8, се нарича унитарност на операцията за умножаване на вектор по число.

3. Линейното пространство е непразно множество, тъй като задължително съдържа нулев вектор.

4. Операциите за събиране на вектори и умножение на вектор по число се наричат ​​линейни операции върху вектори.

5. Разликата между векторите \mathbf(u) и \mathbf(v) е сумата от вектора \mathbf(u) с противоположния вектор (-\mathbf(v)) и се обозначава: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Два ненулеви вектора \mathbf(u) и \mathbf(v) се наричат ​​колинеарни (пропорционални), ако има число \lambda такова, че \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Концепцията за колинеарност се простира до всеки краен брой вектори. Нулевият вектор \mathbf(o) се счита за колинеарен с всеки вектор.

Следствия от аксиомите за линейно пространство

1. В линейното пространство има само един нулев вектор.

2. В линейното пространство за всеки вектор \mathbf(v)\in V има уникален противоположен вектор (-\mathbf(v))\in V.

3. Произведението на произволен пространствен вектор и числото нула е равно на нулевия вектор, т.е. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Произведението на нулев вектор с произволно число е равно на нулев вектор, т.е. за всяко число \lambda.

5. Векторът, противоположен на даден вектор, е равен на произведението на този вектор с числото (-1), т.е. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\за всички \mathbf(v)\in V.

6. В изрази на формата \mathbf(a+b+\ldots+z)(сума от краен брой вектори) или \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(произведението на вектор и краен брой множители) можете да поставите скобите в произволен ред или изобщо да не ги посочвате.

Нека докажем, например, първите две свойства. Уникалност на нулевия вектор. Ако \mathbf(o) и \mathbf(o)" са два нулеви вектора, тогава чрез аксиома 3 получаваме две равенства: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)"или \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), чиито леви страни са равни съгласно аксиома 1. Следователно десните страни също са равни, т.е. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Уникалност на противоположния вектор. Ако векторът \mathbf(v)\in V има два противоположни вектора (-\mathbf(v)) и (-\mathbf(v))", тогава чрез аксиоми 2, 3,4 получаваме тяхното равенство:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Останалите свойства се доказват по подобен начин.

Примери за линейни пространства

1. Нека означим \(\mathbf(o)\) - множество, съдържащо един нулев вектор, с операциите \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o)И \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). За посочените операции са изпълнени аксиоми 1-8. Следователно множеството \(\mathbf(o)\) е линейно пространство над всяко числово поле. Това линейно пространство се нарича нулево.

2. Нека обозначим V_1,\,V_2,\,V_3 - набори от вектори (насочени отсечки) на права линия, на равнина, в пространството, съответно с обичайните операции за събиране на вектори и умножение на вектори по число. Изпълнението на аксиоми 1-8 на линейното пространство следва от курса на елементарната геометрия. Следователно множествата V_1,\,V_2,\,V_3 са реални линейни пространства. Вместо свободни вектори, можем да разгледаме съответните набори от радиус вектори. Например набор от вектори в равнина, които имат общ произход, т.е. начертано от една фиксирана точка на равнината е реално линейно пространство. Наборът от радиус вектори с единична дължина не образува линейно пространство, тъй като за всеки от тези вектори сумата \mathbf(v)+\mathbf(v)не принадлежи към разглеждания набор.

3. Нека означим \mathbb(R)^n - набор от матрици-колони с размери n\times1 с операциите за добавяне на матрици и умножение на матрици по число. Аксиоми 1-8 на линейното пространство са изпълнени за този набор. Нулевият вектор в този набор е нулевата колона o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Следователно множеството \mathbb(R)^n е реално линейно пространство. По подобен начин набор от \mathbb(C)^n колони с размер n\times1 със сложни елементи е сложно линейно пространство. Наборът от колонни матрици с неотрицателни реални елементи, напротив, не е линейно пространство, тъй като не съдържа противоположни вектори.

4. Нека означим \(Ax=o\) - множеството от решения на хомогенна система Ax=o от линейни алгебрични уравнения с и неизвестни (където A е реалната матрица на системата), разглеждана като набор от колони на размери n\times1 с операциите за добавяне на матрици и умножение на матрици по число. Обърнете внимание, че тези операции наистина са дефинирани в множеството \(Ax=o\) . От свойство 1 на решенията на хомогенна система (вижте раздел 5.5) следва, че сумата от две решения на хомогенна система и произведението на нейното решение с число също са решения на хомогенна система, т.е. принадлежат на множеството \(Ax=o\) . Аксиомите на линейното пространство за колони са изпълнени (вижте точка 3 в примерите за линейни пространства). Следователно множеството от решения на една хомогенна система е реално линейно пространство.

Множеството \(Ax=b\) от решения на нехомогенната система Ax=b,~b\ne o, напротив, не е линейно пространство, дори само защото не съдържа нулев елемент (x=o е не е решение на нехомогенната система).

5. Нека означим M_(m\times n) - набор от матрици с размер m\times n с операциите за събиране на матрици и умножение на матрици по число. Аксиоми 1-8 на линейното пространство са изпълнени за този набор. Нулевият вектор е нулева матрица O с подходящи размери. Следователно множеството M_(m\times n) е линейно пространство.

6. Нека означим P(\mathbb(C)) - множеството от полиноми на една променлива с комплексни коефициенти. Операциите за добавяне на много членове и умножаване на полином по число, разглеждано като полином от нулева степен, са дефинирани и отговарят на аксиоми 1-8 (по-специално, нулев вектор е полином, който е идентично равен на нула). Следователно множеството P(\mathbb(C)) е линейно пространство над полето от комплексни числа. Множеството P(\mathbb(R)) от полиноми с реални коефициенти също е линейно пространство (но, разбира се, над полето от реални числа). Множеството P_n(\mathbb(R)) от полиноми със степен най-много n с реални коефициенти също е реално линейно пространство. Обърнете внимание, че операцията за добавяне на много членове е дефинирана върху това множество, тъй като степента на сумата от полиноми не надвишава степените на членовете.

Наборът от полиноми от степен n не е линейно пространство, тъй като сумата от такива полиноми може да се окаже полином от по-ниска степен, който не принадлежи на разглежданото множество. Наборът от всички полиноми със степен не по-висока от n с положителни коефициенти също не е линейно пространство, тъй като умножаването на такъв полином по отрицателно число ще доведе до полином, който не принадлежи на това множество.

7. Нека обозначим C(\mathbb(R)) - множеството от реални функции, дефинирани и непрекъснати върху \mathbb(R) . Сумата (f+g) на функциите f,g и произведението \lambda f на функцията f и реалното число \lambda се определят от равенствата:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)за всички x\in \mathbb(R)

Тези операции наистина са дефинирани на C(\mathbb(R)), тъй като сумата от непрекъснати функции и произведението на непрекъсната функция и число са непрекъснати функции, т.е. елементи на C(\mathbb(R)) . Нека проверим изпълнението на аксиомите на линейното пространство. Тъй като събирането на реални числа е комутативно, следва, че равенството f(x)+g(x)=g(x)+f(x)за всяко x\in \mathbb(R) . Следователно f+g=g+f, т.е. аксиома 1 е изпълнена. Аксиома 2 следва по подобен начин от асоциативността на събирането. Нулевият вектор е функцията o(x), идентично равна на нула, която, разбира се, е непрекъсната. За всяка функция f е в сила равенството f(x)+o(x)=f(x), т.е. Вярна е аксиома 3. Противоположният вектор на вектора f ще бъде функцията (-f)(x)=-f(x) . Тогава f+(-f)=o (аксиома 4 е вярна). Аксиоми 5, 6 следват от дистрибутивността на операциите събиране и умножение на реални числа, а аксиома 7 - от асоциативността на умножението на числата. Последната аксиома е изпълнена, тъй като умножението по едно не променя функцията: 1\cdot f(x)=f(x) за всяко x\in \mathbb(R), т.е. 1\cdot f=f . Така разглежданото множество C(\mathbb(R)) с въведените операции е реално линейно пространство. По същия начин е доказано, че C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)),\ldots, C^m(\mathbb(R))- набори от функции, които имат непрекъснати производни на първи, втори и т.н. редовете, съответно, също са линейни пространства.

Нека обозначим набора от тригонометрични биноми (често \omega\ne0 ) с реални коефициенти, т.е. много функции на формата f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Където a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Сумата от такива биноми и произведението на бином с реално число са тригонометрични биноми. Аксиомите за линейното пространство за разглежданото множество са изпълнени (тъй като T_(\omega)(\mathbb(R))\подмножество C(\mathbb(R))). Следователно мн T_(\omega)(\mathbb(R))с обичайните операции на събиране и умножение с число за функции, това е реално линейно пространство. Нулевият елемент е биномът o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, идентично равно на нула.

Наборът от реални функции, дефинирани и монотонни на \mathbb(R) не е линейно пространство, тъй като разликата на две монотонни функции може да се окаже немонотонна функция.

8. Нека означим \mathbb(R)^X - множеството от реални функции, дефинирани върху множеството X с операциите:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Това е реално линейно пространство (доказателството е същото като в предишния пример). В този случай множеството X може да бъде избрано произволно. По-специално, ако X=\(1,2,\lточки,n\), тогава f(X) е подреден набор от числа f_1,f_2,\lточки,f_n, Където f_i=f(i),~i=1,\ldots,nТакова множество може да се счита за матрица-колона с размери n\times1 , т.е. няколко \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))съвпада с множеството \mathbb(R)^n (вижте точка 3 за примери за линейни пространства). Ако X=\mathbb(N) (припомнете си, че \mathbb(N) е набор от естествени числа), тогава получаваме линейно пространство \mathbb(R)^(\mathbb(N))- много числови последователности \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). По-специално, наборът от конвергентни числови последователности също образува линейно пространство, тъй като сумата от две конвергентни последователности се събира и когато всички членове на конвергентна последователност се умножат по число, ние получаваме конвергентна последователност. За разлика от това, множеството от разминаващи се последователности не е линейно пространство, тъй като, например, сумата от разминаващи се последователности може да има ограничение.

9. Нека означим \mathbb(R)^(+) - множеството от положителни реални числа, в които сумата a\oplus b и произведението \lambda\ast a (означенията в този пример се различават от обичайните) са определени от равенствата: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), с други думи, сумата от елементи се разбира като произведение на числа, а умножението на елемент по число се разбира като повдигане на степен. И двете операции наистина са дефинирани в множеството \mathbb(R)^(+), тъй като произведението на положителни числа е положително число и всяка реална степен на положително число е положително число. Нека проверим валидността на аксиомите. Равенства

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

показват, че аксиоми 1 и 2 са изпълнени. Нулевият вектор на това множество е единица, тъй като a\oplus1=a\cdot1=a, т.е. o=1. Противоположният вектор за a е векторът \frac(1)(a) , който е дефиниран от a\ne o . Наистина, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Нека проверим изпълнението на аксиоми 5, 6,7,8:

\begin(gathered) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(gathered)

Всички аксиоми са изпълнени. Следователно, разглежданото множество е реално линейно пространство.

10. Нека V е реално линейно пространство. Нека разгледаме набора от линейни скаларни функции, дефинирани върху V, т.е. функции f\двоеточие V\до \mathbb(R), приемащи реални стойности и отговарящи на условията:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(адитивност);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(хомогенност).

Линейните операции върху линейни функции са посочени по същия начин, както в параграф 8 от примерите за линейни пространства. Сумата f+g и произведението \lambda\cdot f се определят от равенствата:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ във V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Изпълнението на аксиомите на линейното пространство се потвърждава по същия начин, както в параграф 8. Следователно множеството от линейни функции, дефинирани в линейното пространство V, е линейно пространство. Това пространство се нарича спрегнато на пространството V и се означава с V^(\ast) . Неговите елементи се наричат ​​ковектори.

Например наборът от линейни форми на n променливи, разглеждани като набор от скаларни функции на векторния аргумент, е линейното пространство, спрегнато към пространството \mathbb(R)^n.

4.3.1 Дефиниция на линейно пространство

Позволявам ā , , - елементи на някакво множество ā , , Земя λ , μ - реални числа, λ , μ Р..

Множеството L се наричалинеен иливекторно пространство, ако са дефинирани две операции:

1 0 . Допълнение. Всяка двойка елементи от това множество е свързана с елемент от същото множество, наречен тяхна сума

ā + =

2°.Умножение с число. Всяко реално число λ и елемент ā Лсъвпада с елемент от същото множество λ ā Ли са удовлетворени следните свойства:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. съществува нулев елемент
, така че ā +=ā ;

4. съществува противоположен елемент -
такова, че ā +(-ā )=.

Ако λ , μ - реални числа, тогава:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Елементи на линейното пространство ā, , ... се наричат ​​вектори.

Упражнение.Покажете сами, че тези множества образуват линейни пространства:

1) Набор от геометрични вектори на равнина;

2) Много геометрични вектори в триизмерното пространство;

3) Набор от полиноми от някаква степен;

4) Набор от матрици с еднаква размерност.

4.3.2 Линейно зависими и независими вектори. Измерение и основа на пространството

Линейна комбинация вектори ā 1 , ā 2 , …, ā н Лсе нарича вектор от същото пространство от вида:

,

Където λ аз съм реални числа.

Вектори ā 1 , .. , ā н са нареченилинейно независим, ако тяхната линейна комбинация е нулев вектор тогава и само ако всички λаз са равни на нула,това е

λ i =0

Ако линейната комбинация е нулев вектор и поне един от λ азе различен от нула, тогава тези вектори се наричат ​​линейно зависими. Последното означава, че поне един от векторите може да бъде представен като линейна комбинация от други вектори. Всъщност, дори ако напр.
. Тогава,
, Където

.

Нарича се максимално линейно независима подредена система от вектори база пространство Л. Броят на базисните вектори се нарича измерение пространство.

Да приемем, че има нлинейно независими вектори, тогава пространството се нарича н-измерителен. Други пространствени вектори могат да бъдат представени като линейна комбинация нбазисни вектори. На основа н- може да се вземе пространствено пространство всякакви нлинейно независими вектори на това пространство.

Пример 17.Намерете основата и размерността на тези линейни пространства:

а) набор от вектори, лежащи на права (колинеарна на някаква права)

б) набор от вектори, принадлежащи на равнината

в) набор от вектори на триизмерното пространство

г) набор от полиноми със степен не по-висока от две.

Решение.

а)Всеки два вектора, лежащи на права линия, ще бъдат линейно зависими, тъй като векторите са колинеарни
, Че
, λ - скаларни. Следователно основата на дадено пространство е само един (всеки) вектор, различен от нула.

Обикновено това място е определено Р, размерността му е 1.

б)всеки два неколинеарни вектора
ще бъдат линейно независими и всеки три вектора в равнината ще бъдат линейно независими. За всеки вектор , има цифри  И  такова, че
. Пространството се нарича двумерно, означавано с Р 2 .

Основата на двумерното пространство се формира от всеки два неколинеарни вектора.

V)Всеки три некомпланарни вектора ще бъдат линейно независими, те формират основата на триизмерното пространство Р 3 .

G)Като основа за пространството на полиномите със степен не по-висока от две можем да изберем следните три вектора: ē 1 = х 2 ; ē 2 = х; ē 3 =1 .

(1 е полином, идентично равен на единица). Това пространство ще бъде триизмерно.

Съответстващо на такова векторно пространство. В тази статия първото определение ще бъде взето като отправна точка.

N (\displaystyle n)обикновено се обозначава -мерно евклидово пространство E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); нотацията също често се използва, когато от контекста е ясно, че пространството е снабдено с естествена евклидова структура.

Формална дефиниция

За да се дефинира евклидовото пространство, най-лесният начин е да се приеме като основно понятие скаларното произведение. Евклидовото векторно пространство се дефинира като крайномерно векторно пространство над полето от реални числа, върху чиито двойки вектори е определена функция с реална стойност (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),)има следните три свойства:

Пример за евклидово пространство - координатно пространство R n, (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)състоящ се от всички възможни набори от реални числа (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),)скаларно произведение, в което се определя по формулата (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n. (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Дължини и ъгли

Скаларното произведение, дефинирано в евклидовото пространство, е достатъчно за въвеждане на геометричните понятия за дължина и ъгъл. Дължина на вектора u (\displaystyle u)определен като (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))и е обозначен | u | . (\displaystyle |u|.)Положителната определеност на скаларното произведение гарантира, че дължината на ненулевия вектор е различна от нула, а от билинейността следва, че | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)това означава, че дължините на пропорционалните вектори са пропорционални.

Ъгъл между векторите u (\displaystyle u)И v (\displaystyle v)определена по формулата φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).)От косинусовата теорема следва, че за двумерно евклидово пространство ( Евклидова равнина) тази дефиниция на ъгъла съвпада с обичайната. Ортогоналните вектори, както в триизмерното пространство, могат да бъдат дефинирани като вектори, ъгълът между които е равен на π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Неравенството на Коши-Буняковски-Шварц и неравенството на триъгълника

Остава една празнина в определението за ъгъл, дадено по-горе: за да arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right))е дефинирано, е необходимо неравенството | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Това неравенство е валидно в произволно евклидово пространство и се нарича неравенство на Коши–Буняковски–Шварц. От това неравенство на свой ред следва неравенството на триъгълника: | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Неравенството на триъгълника, заедно със свойствата на дължината, изброени по-горе, означава, че дължината на вектор е норма в евклидовото векторно пространство и функцията d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)дефинира структурата на метрично пространство в евклидовото пространство (тази функция се нарича евклидова метрика). По-специално, разстоянието между елементите (точките) x (\displaystyle x)И y (\displaystyle y)координатно пространство R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))се дава по формулата d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Алгебрични свойства

Ортонормални основи

Конюгирани пространства и оператори

Всеки вектор x (\displaystyle x)Евклидовото пространство дефинира линеен функционал x ∗ (\displaystyle x^(*))на това пространство, определено като x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Това сравнение е изоморфизъм между евклидовото пространство и неговото дуално пространство и позволява те да бъдат идентифицирани без компромис с изчисленията. По-специално, спрегнатите оператори могат да се разглеждат като действащи върху оригиналното пространство, а не върху неговото двойствено, а самосвързаните оператори могат да бъдат дефинирани като оператори, които съвпадат с техните спрегнати. В ортонормална база матрицата на съпоставения оператор се транспонира към матрицата на оригиналния оператор, а матрицата на самосопряжения оператор е симетрична.

Движения на евклидовото пространство

Движенията на евклидовото пространство са трансформации, запазващи метриката (наричани също изометрии). Пример за движение - паралелен превод към вектор v (\displaystyle v), което превежда точката p (\displaystyle p)точно p + v (\displaystyle p+v). Лесно е да се види, че всяко движение е композиция от паралелен превод и трансформация, която поддържа една точка фиксирана. Като се избере фиксирана точка като начало на координатите, всяко такова движение може да се счита за

Лекция 6. Векторно пространство.

Основни въпроси.

1. Векторно линейно пространство.

2. Основа и измерение на пространството.

3. Ориентиране в пространството.

4. Разлагане на вектор по базис.

5. Векторни координати.

1. Векторно линейно пространство.

Множество, състоящо се от елементи от произволно естество, в които са дефинирани линейни операции: събиране на два елемента и умножение на елемент по число се наричат пространства, а техните елементи са векторитова пространство и се означават по същия начин като векторните величини в геометрията: . ВекториТакива абстрактни пространства като правило нямат нищо общо с обикновените геометрични вектори. Елементите на абстрактните пространства могат да бъдат функции, система от числа, матрици и т.н., а в конкретен случай и обикновени вектори. Следователно такива пространства обикновено се наричат векторни пространства .

Векторните пространства са, Например, набор от колинеарни вектори, означени V1 , набор от копланарни вектори V2 , набор от вектори на обикновено (реално пространство) V3 .

За този конкретен случай можем да дадем следната дефиниция на векторно пространство.

Определение 1.Наборът от вектори се нарича векторно пространство, ако линейна комбинация от произволни вектори от набор също е вектор на този набор. Самите вектори се наричат елементивекторно пространство.

По-важно, както теоретично, така и приложно, е общата (абстрактна) концепция за векторно пространство.

Определение 2.Няколко Релементи, в които сумата се определя за всеки два елемента и за всеки елемент https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> т.нар. вектор(или линеен) пространство, а неговите елементи са вектори, ако операциите за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число отговарят на следните условия ( аксиоми) :

1) събирането е комутативно, т.е..gif" width="184" height="25">;

3) има такъв елемент (нулев вектор), който за всеки https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) за всякакви вектори и и произволно число λ равенството е в сила;

6) за всякакви вектори и всякакви числа λ И µ равенството е вярно: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и всякакви числа λ И µ справедлив ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Най-простите аксиоми, които дефинират векторно пространство, са следните: последствия :

1. Във векторното пространство има само една нула - елементът - нулевият вектор.

2. Във векторното пространство всеки вектор има един противоположен вектор.

3. За всеки елемент е изпълнено равенството.

4. За всяко реално число λ и нулев вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> е вектор, който удовлетворява равенството https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Така че наистина множеството от всички геометрични вектори е линейно (векторно) пространство, тъй като за елементите на това множество са определени действията на събиране и умножение с число, които удовлетворяват формулираните аксиоми.

2. Основа и измерение на пространството.

Основните понятия на векторното пространство са понятията за база и измерение.

Определение.Набор от линейно независими вектори, взети в определен ред, чрез който всеки вектор на пространството може да бъде линейно изразен, се нарича базатова пространство. Вектори. Компонентите на основата на пространството се наричат основен .

Основата на набор от вектори, разположени на произволна права, може да се счита за един колинеарен вектор на тази права.

База на самолетанека наречем два неколинеарни вектора в тази равнина, взети в определен ред https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Ако базисните вектори са по двойки перпендикулярни (ортогонални), тогава основата се нарича ортогонален, и ако тези вектори имат дължина, равна на единица, тогава основата се нарича ортонормална .

Най-големият брой линейно независими вектори в пространството се нарича измерениена това пространство, т.е. измерението на пространството съвпада с броя на базисните вектори на това пространство.

И така, според тези определения:

1. Едномерно пространство V1 е права линия, а основата се състои от един колинеаренвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Обикновеното пространство е триизмерно пространство V3 , чиято основа се състои от три некомпланарнивектори

Оттук виждаме, че броят на базисните вектори на права, на равнина, в реално пространство съвпада с това, което в геометрията обикновено се нарича брой измерения (измерение) на права, равнина, пространство. Затова е естествено да се въведе по-общо определение.

Определение.Векторно пространство РНаречен н– размерен, ако има не повече от нлинейно независими вектори и се обозначава Р н. Номер нНаречен измерениепространство.

В съответствие с размерите на пространството се разделят на крайномеренИ безкрайно-измерен. Размерът на нулевото пространство се счита за равен на нула по дефиниция.

Бележка 1.Във всяко пространство можете да посочите колкото желаете бази, но всички бази на дадено пространство се състоят от еднакъв брой вектори.

Бележка 2. IN н– в пространствено векторно пространство база е всяка подредена колекция нлинейно независими вектори.

3. Ориентиране в пространството.

Нека базисните вектори в пространството V3 имат общо началоИ поръчан, т.е. посочва се кой вектор се счита за първи, кой за втори и кой за трети. Например в основата векторите са подредени според индексацията.

За това за да се ориентира пространството, е необходимо да се постави някаква основа и да се обяви за положителна .

Може да се покаже, че множеството от всички основи на пространството попада в два класа, тоест в две несвързани подмножества.

а) всички бази, принадлежащи към едно подмножество (клас), имат същотоориентация (основи със същото име);

б) произволни две основи, принадлежащи на различниподмножества (класове), имат обратнотоориентация, ( различни именабази).

Ако единият от двата класа бази на едно пространство е обявен за положителен, а другият за отрицателен, тогава се казва, че това пространство ориентиран .

Често при ориентиране на пространството се наричат ​​някои основи точно, и други - наляво .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> се наричат точно, ако, когато се наблюдава от края на третия вектор, най-краткото завъртане на първия вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > се извършва обратно на часовниковата стрелка(Фиг. 1.8, а).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Ориз. 1.8. Дясна основа (a) и лява основа (b)

Обикновено дясната основа на пространството се обявява за положителна основа

Дясната (лявата) основа на пространството също може да се определи с помощта на правилото на „десен“ („ляв“) винт или гилза.

По аналогия с това се въвежда понятието дясно и ляво тройкинекомпланарни вектори, които трябва да бъдат подредени (фиг. 1.8).

Така в общия случай две подредени тройки некомпланарни вектори имат еднаква ориентация (едно и също име) в пространството V3 ако и двете са десни или и двете леви, и - противоположна ориентация (срещу), ако единият от тях е десен, а другият е ляв.

Същото се прави и в случай на пространство V2 (самолет).

4. Разлагане на вектор по базис.

За по-лесно разсъждение нека разгледаме този въпрос, като използваме примера на триизмерно векторно пространство Р3 .

Нека https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> е произволен вектор на това пространство.

ГЛАВА 8. ЛИНЕЙНИ ПРОСТРАНСТВА § 1. Дефиниция на линейно пространство

Обобщавайки концепцията за вектор, позната от училищната геометрия, ще дефинираме алгебрични структури (линейни пространства), в които е възможно да се конструира n-мерна геометрия, частен случай на която ще бъде аналитичната геометрия.

Определение 1. Дадено е множество L=(a,b,c,…) и поле P=( ,…). Нека алгебричната операция събиране е дефинирана в L и умножението на елементи от L по елементи от полето P е дефинирано:

Множеството L се нарича линейно пространство над полето P, ако са изпълнени следните изисквания (аксиоми на линейното пространство):

1. L комутативна група по отношение на събирането;

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;

5. a L е вярно следното равенство: 1 a=a (където 1 е единицата на полето P).

Елементите на линейното пространство L се наричат ​​вектори (отбелязваме още веднъж, че ще ги обозначаваме с латинските букви a, b, c,...), а елементите на полето P се наричат ​​числа (ще ги обозначаваме с гръцките букви α,

Забележка 1. Виждаме, че добре познатите свойства на „геометричните“ вектори се приемат като аксиоми на линейното пространство.

Забележка 2. Някои добре познати учебници по алгебра използват различни обозначения за числа и вектори.

Основни примери за линейни пространства

1. R 1 е множеството от всички вектори на дадена права.

IN по-нататък ще наричаме такива векторисегментни векторина права линия. Ако приемем R като P, тогава очевидно R1 е линейно пространство над полето R.

2. R 2 , R3 – сегментни вектори в равнината и в тримерното пространство. Лесно се вижда, че R2 и R3 са линейни пространства над R.

3. Нека P е произволно поле. Разгледайте множеството P(n) всички подредени набори от n елемента на полето P:

P(n) = (α1,α2,α3,...,αn)| αi P, i=1,2,..,n .

Множеството a=(α1,α2,…,αn) ще наричаме n-мерно редов вектор.Числата i ще се наричат ​​компоненти

вектор a.

За вектори от P(n) , по аналогия с геометрията, естествено въвеждаме операциите събиране и умножение с число, като приемаме за всяко (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) и (β1 ,β2 ,.. .,βn ) P(n) :

(α1 ,α2 ,…,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ),
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) R.

От дефиницията за събиране на редови вектори става ясно, че то се извършва покомпонентно. Лесно се проверява, че P(n) е линейно пространство върху P.

Вектор 0=(0,…,0) е нулевият вектор (a+0=a a P(n)), а векторът -a=(-α1,-α2,…,-αn) е обратното на a (тъй като .a+(-a)=0).

Линейно пространство P(n) се нарича n-мерно пространство на редови вектори или n-мерно аритметично пространство.

Забележка 3. Понякога ще обозначаваме също с P(n) n-мерното аритметично пространство на колонни вектори, което се различава от P(n) само по начина, по който са записани векторите.

4. Разгледайте множеството M n (P) от всички матрици от n-ти ред с елементи от полето P. Това е линейно пространство над P, където нулевата матрица е матрица, в която всички елементи са нули.

5. Разгледайте множеството P[x] от всички полиноми в променливата x с коефициенти от полето P. Лесно е да се провери, че P[x] е линейно пространство над P. Нека го наречемпространство от полиноми.

6. Нека P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) множеството от всички полиноми със степен не по-висока от n заедно с

0. Това е линейно пространство над полето P.P n [x] ще извикаме пространство от полиноми със степен най-висока n.

7. Нека означим с Ф множеството от всички функции на реална променлива със същата област на дефиниране. Тогава Ф е линейно пространство над R.

IN В това пространство могат да се намерят други линейни пространства, например пространството на линейните функции, диференцируемите функции, непрекъснатите функции и т.н.

8. Всяко поле е линейно пространство над себе си.

Някои следствия от аксиомите на линейното пространство

Следствие 1. Нека L е линейно пространство над полето P. L съдържа нулевия елемент 0 и L (-а) L (тъй като L е събирателна група).

IN По-нататък нулевият елемент на полето P и линейното пространство L ще бъдат обозначени еднакво с

0. Това обикновено не предизвиква объркване.

Следствие 2. 0 a=0 a L (0 P от лявата страна, 0 L от дясната страна).

Доказателство. Нека разгледаме α a, където α е произволно число от P. Имаме: α a=(α+0)a=α a+0 a, откъдето 0 a= α a +(-α a)=0.

Следствие 3. α 0=0 α P.

Доказателство. Да разгледаме α a=α(a+0)=α a+α 0; следователно α 0=0. Следствие 4. α a=0 тогава и само ако α=0 или a=0.

Доказателство. Адекватност доказано в следствия 2 и 3.

Нека докажем необходимостта. Нека α a=0 (2). Да приемем, че α 0. Тогава, тъй като α P, тогава съществува α-1 P. Умножавайки (2) по α-1, получаваме:

α-1 (α a)=α-1 0. По следствие 2 α-1 0=0, т.е. α-1 (α a)=0. (3)

От друга страна, използвайки аксиоми 2 и 5 на линейното пространство, имаме: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.

От (3) и (4) следва, че a=0. Разследването е доказано.

Представяме следните твърдения без доказателства (тяхната валидност се проверява лесно).

Следствие 5. (-α) a=-α a α P, a L. Следствие 6. α (-a)=-α a α P, a L. Следствие 7. α (a–b)=α a–α b α P, a,b L.

§ 2. Линейна зависимост на векторите

Нека L е линейно пространство над полето P и a1,a2,...as (1) е някакъв краен набор от вектори от L.

Множеството a1 ,a2 ,...as ще се нарича система от вектори.

Ако b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs като , (αi P), тогава те казват, че векторът b линейно изразеночрез система (1), или е линейна комбинациявектори на система (1).

Както в аналитичната геометрия, в линейното пространство могат да се въведат понятията за линейно зависими и линейно независими системи от вектори. Нека направим това по два начина.

Определение I. Крайната система от вектори (1) за s 2 се нарича линейно зависими,ако поне един от неговите вектори е линейна комбинация от останалите. В противен случай (т.е. когато нито един от неговите вектори не е линейна комбинация от другите), се извиква линейно независими.

Определение II. Крайната система от вектори (1) се нарича линейно зависими, ако има множество от числа α1 ,α2 ,…,αs , αi P, поне едно от които не е равно на 0 (такова множество се нарича ненулево), тогава равенството е в сила: α1 a1 +…+ αs като =0 (2).

От Определение II можем да получим няколко еквивалентни дефиниции на линейно независима система:

Определение 2.

а) система (1) линейно независими, ако от (2) следва, че α1 =…=αs =0.

б) система (1) линейно независими, ако равенство (2) е изпълнено само за всички αi =0 (i=1,…,s).

в) система (1) линейно независими, ако всяка нетривиална линейна комбинация от вектори на тази система е различна от 0, т.е. ако β1 , …, βs е всеки ненулев набор от числа, тогава β1 a1 +…βs като 0.

Теорема 1. За s 2 дефинициите на линейна зависимост I и II са еквивалентни.

Доказателство.

I) Нека (1) е линейно зависим по дефиниция I. Тогава можем да приемем, без загуба на общост, че as =α1 a1 +…+αs-1 as-1 . Нека добавим вектора (-as) към двете страни на това равенство. Получаваме:

0= α1 a1 +…+αs-1 as-1 +(-1) като (3) (тъй като по следствие 5

(–as ) =(-1) as ). В равенство (3) коефициентът (-1) е 0 и следователно системата (1) е линейно зависима и по дефиниция

II) Нека системата (1) е линейно зависима по определение II, т.е. съществува ненулево множество α1 ,…,αs, което удовлетворява (2). Без загуба на общост, можем да приемем, че αs 0. В (2) добавяме (-αs as) към двете страни. Получаваме:

α1 a1 +α2 a2 +…+αs as - αs as = -αs as , откъдето α1 a1 +…+αs-1 as-1 = -αs as .

защото αs 0, тогава има αs -1 P. Нека умножим двете страни на равенството (4) по (-αs -1 ) и използваме някои аксиоми на линейното пространство. Получаваме:

(-αs -1 ) (-αs as )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 ), което следва: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 as-1 =as.

Нека въведем обозначението β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Тогава равенството, получено по-горе, ще бъде пренаписано като:

as = β1 a1 +…+ βs-1 as-1 .

Тъй като s 2, ще има поне един вектор ai от дясната страна. Открихме, че системата (1) е линейно зависима от дефиниция I.

Теоремата е доказана.

По силата на теорема 1, ако е необходимо, за s 2 можем да приложим всяко от горните определения на линейна зависимост.

Забележка 1. Ако системата се състои само от един вектор a1, то към нея е приложима само дефиницията

Нека a1 =0; тогава 1a1 =0. защото 1 0, тогава a1 =0 е линейно зависима система.

Нека a1 0; тогава α1 a1 ≠0, за всяко α1 0. Това означава, че ненулевият вектор a1 е линейно независим

Съществуват важни връзки между линейната зависимост на векторната система и нейните подсистеми.

Теорема 2. Ако някаква подсистема (т.е. част) от крайна система от вектори е линейно зависима, тогава цялата система е линейно зависима.

Доказателството на тази теорема не е трудно да направите сами. Може да се намери във всеки учебник по алгебра или аналитична геометрия.

Следствие 1. Всички подсистеми на една линейно независима система са линейно независими. Получава се от теорема 2 от противното.

Забележка 2. Лесно е да се види, че линейно зависимите системи могат да имат подсистеми като линейни

Следствие 2. Ако една система съдържа 0 или два пропорционални (равни) вектора, тогава тя е линейно зависима (тъй като подсистема от 0 или два пропорционални вектора е линейно зависима).

§ 3. Максимални линейно независими подсистеми

Определение 3. Нека a1, a2,…,ak,…. (1) е крайна или безкрайна система от вектори на линейното пространство L. Нейната крайна подсистема ai1, ai2, …, air (2) се нарича основа на системата (1)или максимална линейно независима подсистематази система, ако са изпълнени следните две условия:

1) подсистема (2) е линейно независима;

2) ако произволен вектор аj от система (1) се присвои на подсистема (2), тогава получаваме линейно зависим

система ai1, ai2, …, въздух, aj (3).

Пример 1. В пространството Pn [x] разгледайте системата от полиноми 1,x1 , …, xn (4). Нека докажем, че (4) е линейно независимо. Нека α0, α1,…, αn са числа от P, така че α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Тогава, по дефиницията за равенство на полиноми, α0 =α1 =…=αn =0. Това означава, че системата от полиноми (4) е линейно независима.

Нека сега докажем, че система (4) е базис на линейното пространство Pn [x].

За всяко f(x) Pn [x] имаме: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; следователно f(x) е линейна комбинация от вектори (4); тогава системата 1,x1 , …, xn ,f(x) е линейно зависима (по дефиниция I). Така (4) е основа на линейното пространство Pn [x].

Пример 2. На фиг. 1 a1, a3 и a2, a3 – бази на системата от вектори a1,a2,a3.

Теорема 3. Подсистема (2) ai1 ,…, air на крайна или безкрайна система (1) a1 , a2 ,…,as ,… е максимална линейно независима подсистема (базис) на система (1) тогава и само ако

а) (2) линейно независими; б) всеки вектор от (1) се изразява линейно чрез (2).

Необходимост . Нека (2) е максимална линейно независима подсистема на система (1). Тогава са изпълнени две условия от Дефиниция 3:

1) (2) линейно независими.

2) За всеки вектор a j от (1) системата ai1 ,…, ais ,aj (5) е линейно зависима. Необходимо е да се докаже, че твърдения а) и б) са верни.

Условие а) съвпада с 1); следователно, а) е изпълнено.

Освен това, по силата на 2) има ненулево множество α1 ,...,αr ,β P (6) такова, че α1 ai1 +…+αr въздух +βaj =0 (7). Нека докажем, че β 0 (8). Да приемем, че β=0 (9). Тогава от (7) получаваме: α1 ai1 +…+αr въздух =0 (10). От факта, че множество (6) е ненулево и β=0 следва, че α1 ,...,αr е ненулево множество. И тогава от (10) следва, че (2) е линейно зависимо, което противоречи на условие а). Това доказва (8).

Като добавим вектора (-βaj) към двете страни на равенства (7), получаваме: -βaj = α1 ai1 +…+αr въздух. Тъй като β 0, тогава

има β-1 P; умножете двете страни на последното равенство по β-1: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )air =aj . Нека се запознаем

означение: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; така получаваме: 1 ai1 +…+ r air =aj ; следователно, изпълнимостта на условие b) е доказана.

Необходимостта е доказана.

Достатъчност. Нека са изпълнени условия а) и б) от теорема 3. Необходимо е да се докаже, че са изпълнени условия 1) и 2) от определение 3.

Тъй като условие а) съвпада с условие 1), то 1) е изпълнено.

Нека докажем, че 2) е валидно. По условие b) всеки вектор aj (1) се изразява линейно чрез (2). Следователно (5) е линейно зависим (по определение 1), т.е. 2) е изпълнено.

Теоремата е доказана.

Коментирайте. Не всяко линейно пространство има основа. Например, няма основа в пространството P[x] (в противен случай степените на всички полиноми в P[x] биха били, както следва от параграф b) на теорема 3, колективно ограничени).

§ 4. Основната теорема за линейната зависимост. Неговите последици

Определение 4. Нека две крайни системи от вектори на линейно пространство L:a1,a2,…,al (1) и

b1 ,b2 ,…,bs (2).

Ако всеки вектор на система (1) е линейно изразен чрез (2), тогава ще кажем, че системата (1)

се изразява линейно чрез (2). Примери:

1. Всяка подсистема на система 1 ,…,ai ,…,ak се изразява линейно през цялата система, защото

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ak .

2. Всяка система от сегментни вектори от R2 се изразява линейно чрез система, състояща се от два неколинеарни равнинни вектора.

Определение 5. Ако две крайни системи от вектори са линейно изразени една през друга, тогава те се наричат ​​еквивалентни.

Забележка 1. Броят на векторите в две еквивалентни системи може да бъде различен, както може да се види от следващите примери.

3. Всяка система е еквивалентна на своя базис (това следва от теорема 3 и пример 1).

4. Всякакви две системисегментни вектори от R2, всеки от които съдържа два неколинеарни вектора, са еквивалентни.

Следващата теорема е едно от най-важните твърдения в теорията на линейните пространства. Основна теорема за линейната зависимост.Нека в линейно пространство L над поле P са дадени две

векторни системи:

a1 ,a2 ,…,al (1) и b1 ,b2 ,…,bs (2) и (1) е линейно независим и линейно изразен чрез (2). Тогава l s (3). Доказателство. Трябва да докажем неравенство (3). Нека приемем обратното, нека l>s (4).

По условие всеки вектор ai от (1) се изразява линейно чрез система (2):

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .

Нека съставим следното уравнение: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), където xi са неизвестни, вземащи стойности от полето P (i=1,…,s).

Нека умножим всяко от равенствата (5) съответно по x1,x2,...,xl, заместим в (6) и съберем членовете, съдържащи b1, след това b2 и накрая bs. Получаваме:

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0.
Нека се опитаме да намерим ненулево решение	уравнение (6). За да направим това, нека приравним към нула всички
коефициенти за bi (i=1, 2,…,s) и съставете следната система от уравнения:
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 +α22 x2 +…+αl2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.

(8) хомогенна система s от уравнения за неизвестни x 1 ,…,xl . Тя винаги е кооперативна.

IN По силата на неравенството (4) в тази система броят на неизвестните е по-голям от броя на уравненията и следователно, както следва от метода на Гаус, тя се свежда до трапецовидна форма. Това означава, че има различни от нула

решения на системата (8). Нека означим един от тях с x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).

Замествайки числата (9) в лявата страна на (7), получаваме: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)

И така, (9) е ненулево решение на уравнение (6). Следователно системата (1) е линейно зависима, а това противоречи на условието. Следователно нашето предположение (4) е неправилно и l s.

Теоремата е доказана.

Следствия от основната теорема за линейната зависимост Следствие 1. Две крайни еквивалентни линейно независими векторни системи се състоят от

същия брой вектори.

Доказателство. Нека системите от вектори (1) и (2) са еквивалентни и линейно независими. За да докажем това, прилагаме основната теорема два пъти.

защото система (2) е линейно независима и линейно изразена чрез (1), след това чрез основната теорема l s (11).

От друга страна, (1) е линейно независима и се изразява линейно чрез (2) и чрез основната теорема s l (12).

От (11) и (12) следва, че s=l. Твърдението е доказано.

Следствие 2. Ако в някаква система от вектори a1 ,…,as ,… (13) (крайна или безкрайна) има две бази, то те се състоят от еднакъв брой вектори.

Доказателство. Нека ai1 ,…,ail (14) и aj1 ,..ajk (15) са основите на система (13). Нека покажем, че те са еквивалентни.

Съгласно теорема 3, всеки вектор на система (13) се изразява линейно чрез своя базис (15), по-специално, всеки вектор на система (14) се изразява линейно чрез система (15). По подобен начин системата (15) се изразява линейно чрез (14). Това означава, че системи (14) и (15) са еквивалентни и по следствие 1 имаме: l=k.

Твърдението е доказано.

Определение 6. Броят на векторите в произволен базис на крайна (безкрайна) система от вектори се нарича ранг на тази система (ако няма бази, тогава рангът на системата не съществува).

Съгласно следствие 2, ако системата (13) има поне една основа, нейният ранг е уникален.

Забележка 2. Ако една система се състои само от нулеви вектори, тогава приемаме, че нейният ранг е 0. Използвайки концепцията за ранг, можем да засилим основната теорема.

Следствие 3. Дадени са две крайни системи от вектори (1) и (2), и (1) се изразява линейно чрез (2). Тогава рангът на системата (1) не надвишава ранга на системата (2).

доказателство Нека означим ранга на система (1) с r1, ранга на система (2) с r2. Ако r1 =0, тогава твърдението е вярно.

Нека r1 0. Тогава r2 0, защото (1) се изразява линейно чрез (2). Това означава, че системите (1) и (2) имат бази.

Нека a1 ,…,ar1 (16) е основата на система (1) и b1 ,…,br2 (17) е основата на система (2). Те са линейно независими по дефиниция на базиса.

защото (16) е линейно независима, тогава основната теорема може да се приложи към двойката системи (16), (17). С това

теорема r1 r2 . Твърдението е доказано.

Следствие 4. Две крайни еквивалентни системи от вектори имат еднакви рангове. За да докажем това твърдение, трябва да приложим следствие 3 два пъти.

Забележка 3. Забележете, че рангът на линейно независима система от вектори е равен на броя на нейните вектори (тъй като в линейно независима система нейният единствен базис съвпада със самата система). Следователно следствие 1 е специален случай на следствие 4. Но без доказателство за този специален случай не бихме могли да докажем следствие 2, да въведем понятието за ранг на система от вектори и да получим следствие 4.

§ 5. Крайномерни линейни пространства

Определение 7. Линейно пространство L над поле P се нарича крайномерно, ако в L има поне един базис.

Основни примери за крайномерни линейни пространства:

1. Векторни отсечки на права линия, равнина и в пространството (линейни пространства R1, R2, R3).

2. n-мерно аритметично пространство P(n) . Нека покажем, че в P(n) има следната основа: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

en =(0,0,…1).

Нека първо докажем, че (1) е линейно независима система. Нека създадем уравнението x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).

Използвайки формата на вектори (1), пренаписваме уравнение (2), както следва: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1, x2, …,xn)=(0,0,…,0).

По дефиницията за равенство на редови вектори следва:

x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Следователно (1) е линейно независима система. Нека докажем, че (1) е базис на пространството P(n), като използваме Теорема 3 за базисите.

За всяко a=(α1,α2,…,αn) Pn имаме:

а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n en .

Това означава, че всеки вектор в пространството P(n) може да бъде линейно изразен чрез (1). Следователно (1) е основа на пространството P(n) и следователно P(n) е крайномерно линейно пространство.

3. Линейно пространство Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P).

Лесно се проверява, че основата на пространството Pn [x] е системата от полиноми 1,x,…,xn. Така че Pn

[х] е крайномерно линейно пространство.

4. Линейно пространство М n(P). Може да се провери, че наборът от матрици във формата Eij , в който единственият ненулев елемент 1 е в пресечната точка на i-тия ред и j-тата колона (i,j=1,…,n) , представляват основата Mn (P).

Следствия от основната теорема за линейната зависимост за крайномерни линейни пространства

Наред със следствията от основната теорема за линейна зависимост 1–4, от тази теорема могат да бъдат получени няколко други важни твърдения.

Следствие 5. Всякакви две бази на крайномерно линейно пространство се състоят от еднакъв брой вектори.

Това твърдение е специален случай на следствие 2 от основната теорема за линейната зависимост, приложена към цялото линейно пространство.

Определение 8. Броят на векторите в произволен базис на крайномерно линейно пространство L се нарича размерност на това пространство и се означава с dim L.

Съгласно следствие 5 всяко крайномерно линейно пространство има уникално измерение. Определение 9. Ако линейно пространство L има размерност n, то се нарича n-мерно

линейно пространство. Примери:

1. dim R 1 =1;

2. dimR 2 =2;

3. dimP (n) =n, т.е. P(n) е n-мерно линейно пространство, защото по-горе, в пример 2 е показано, че (1) е основата

P(n);

4. dimP n [x]=(n+1), тъй като, както е лесно да се провери, 1,x,x2 ,…,xn е база от n+1 вектора на това пространство;

5. dimM n (P)=n2, защото има точно n2 матрици с формата Eij, посочени в пример 4.

Следствие 6. В n-мерно линейно пространство L всеки n+1 вектора a1,a2,…,an+1 (3) съставлява линейно зависима система.

Доказателство. По дефиниция на размерността на пространството в L има база от n вектора: e1 ,e2 ,…,en (4). Нека разгледаме двойка системи (3) и (4).

Да приемем, че (3) е линейно независимо. защото (4) е базис на L, то всеки вектор от пространството L може да се изрази линейно чрез (4) (по Теорема 3 от §3). По-специално, система (3) се изразява линейно чрез (4). По предположение (3) той е линейно независим; тогава основната теорема за линейната зависимост може да се приложи към двойката системи (3) и (4). Получаваме: n+1 n, което е невъзможно. Противоречието доказва, че (3) е линейно зависимо.

Разследването е доказано.

Забележка 1. От следствие 6 и теорема 2 от §2 получаваме, че в n-мерно линейно пространство всяка крайна система от вектори, съдържаща повече от n вектора, е линейно зависима.

От тази забележка следва

Следствие 7. В n-мерно линейно пространство всяка линейно независима система съдържа най-много n вектора.

Забележка 2. Използвайки това твърдение можем да установим, че някои линейни пространства не са крайномерни.

Пример. Нека разгледаме пространството на полиномите P[x] и докажем, че то не е крайномерно. Да приемем, че dim P[x]=m, m N. Да разгледаме 1, x,…, xm – набор от (m+1) вектори от P[x]. Тази система от вектори, както беше отбелязано по-горе, е линейно независима, което противоречи на предположението, че измерението на P[x] е равно на m.

Лесно е да се провери (използвайки P[x]), че крайномерните линейни пространства не са пространства на всички функции на реална променлива, пространства на непрекъснати функции и т.н.

Следствие 8. Всяка крайна линейно независима система от вектори a1 , a2 ,…,ak (5) на крайномерно линейно пространство L може да бъде допълнена до основата на това пространство.

Доказателство. Нека n=dim L. Нека разгледаме два възможни случая.

1. Ако k=n, тогава a 1 , a2 ,…,ak е линейно независима система от n вектора. Съгласно следствие 7 за всяко b L системата a1 , a2 ,…,ak , b е линейно зависима, т.е. (5) – основа L.

2. Нека k n. Тогава системата (5) не е базис на L, което означава, че съществува вектор a k+1 L, че a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) е линейно независима система. Ако (k+1)

Съгласно следствие 7 този процес завършва след краен брой стъпки. Получаваме базис a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an на линейното пространство L, съдържащ (5).

Разследването е доказано.

От следствие 8 следва

Следствие 9. Всеки ненулев вектор на крайномерно линейно пространство L се съдържа в някакъв базис L (тъй като такъв вектор е линейно независима система).

От това следва, че ако P е безкрайно поле, то в крайномерно линейно пространство над полето P има безкрайно много бази (тъй като в L има безкрайно много вектори от вида a, a 0, P\0).

§ 6. Изоморфизъм на линейни пространства

Определение 10. Две линейни пространства L и L` над едно поле P се наричат ​​изоморфни, ако има биекция: L L`, удовлетворяваща следните условия:

1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L,

2. (a) = (a) P, a L.

Самото такова картографиране се нарича изоморфизъм или изоморфно картографиране.

Свойства на изоморфизмите.

1. При изоморфизъм нулевият вектор става нула.

Доказателство. Нека L и: L L` е изоморфизъм. Тъй като a=a+0, тогава (a)= (a+0)= (a)+ (0).

защото (L)=L` тогава от последното равенство е ясно, че (0) (означаваме го с 0`) е нулевият вектор от

2. При изоморфизъм линейно зависима система се трансформира в линейно зависима система. Доказателство. Нека a1 , a2 ,…,as (2) е някаква линейно зависима система от L. Тогава съществува

ненулев набор от числа 1 ,…, s (3) от P, така че 1 a1 +…+ s като =0. Нека подложим двете страни на това равенство на изоморфно картографиране. Като вземем предвид определението за изоморфизъм, получаваме:

1 (a1 )+…+ s (as )= (0)=0` (използвахме свойство 1). защото множество (3) е ненулево, то от последното равенство следва, че (1),..., (s) е линейно зависима система.

3. Ако: L L` е изоморфизъм, тогава -1 : L` L също е изоморфизъм.

Доказателство. Тъй като е биекция, тогава има биекция -1 : L` L. Трябва да докажем, че ако a`,

Тъй като това е изоморфизъм, тогава a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). Това предполага:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)).

От (5) и (6) имаме -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`).

По същия начин се проверява, че -1 (a`)= -1 (a`). И така, -1 е изоморфизъм.

Имотът е доказан.

4. При изоморфизъм линейно независима система се трансформира в линейно независима система. Доказателство. Нека: L L` е изоморфизъм и a1, a2,…,as (2) е линейно независима система. Задължително

докажете, че (a1), (a2),…, (as) (7) също е линейно независим.

Да приемем, че (7) е линейно зависим. След това, когато се показва -1, той отива в системата a1,...,as.

По свойство 3 -1 е изоморфизъм, а след това по свойство 2 системата (2) също ще бъде линейно зависима, което противоречи на условието. Следователно нашето предположение е неправилно.

Имотът е доказан.

5. При изоморфизма основата на всяка система от вектори преминава в основата на системата от нейни изображения. Доказателство. Нека a1 , a2 ,…,as ,… (8) е крайна или безкрайна система от линейни вектори

пространство L, : L L` е изоморфизъм. Нека системата (8) има базис ai1 , …,air (9). Нека покажем, че системата

(a1),…, (ak),… (10) има основа (ai1),…, (въздух) (11).

Тъй като (9) е линейно независима, то по свойство 4 система (11) е линейно независима. Нека присвоим на (11) всеки вектор от (10); получаваме: (ai1), …, (въздух), (aj) (12). Да разгледаме системата ai1 , …,air , aj (13). Тя е линейно зависима, тъй като (9) е основата на система (8). Но (13) при изоморфизъм се превръща в (12). Тъй като (13) е линейно зависима, то по свойство 2 системата (12) също е линейно зависима. Това означава, че (11) е в основата на система (10).

Прилагайки свойство 5 към цялото крайномерно линейно пространство L, получаваме

Твърдение 1. Нека L е n-мерно линейно пространство над полето P, : L L` изоморфизъм. Тогава L` също е крайномерно пространство и dim L`= dim L = n.

По-специално, вярно е твърдение 2. Ако крайномерните линейни пространства са изоморфни, тогава техните измерения са равни.

Коментирайте. В §7 ще бъде установена и валидността на обратното на това твърдение.

§ 7. Векторни координати

Нека L е крайномерно линейно пространство над полето P и e1 ,...,en (1) е някакъв базис на L.

Определение 11. Нека a L. Нека изразим вектора a чрез базис (1), т.е. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). Извиква се колона (1,…, n)t (3). координатна колонавектор a в базис (1).

Координатната колона на вектор a в базис e също се означава с [a], [a]e или [1,.., n].

Както и в аналитичната геометрия се доказва уникалността на векторния израз чрез базиса, т.е. уникалността на координатната колона на вектора в даден базис.

Забележка 1. В някои учебници вместо координатни колони се разглеждат координатни линии (например в книгата). В този случай получените там формули на езика на координатните колони изглеждат различно.

Теорема 4. Нека L е n-мерно линейно пространство над полето P и (1) е някакъв базис на L. Разгледайте преобразуването: a (1,..., n)t, което свързва всеки вектор a от L с неговата координатна колона в основата (1). Тогава е изоморфизъм на пространствата L и P(n) (P(n) е n-мерно аритметично пространство от колонни вектори).

доказателство Картографирането е уникално поради уникалността на векторните координати. Лесно се проверява, че е биекция и (a)= (a), (a)+ (b)= (a+b). Това означава изоморфизъм.

Теоремата е доказана.

Следствие 1. Система от вектори a1 ,a2 ,…,as на крайномерно линейно пространство L е линейно зависима тогава и само тогава, когато системата, състояща се от координатните колони на тези вектори в някакъв базис на пространството L е линейно зависима.

Валидността на това твърдение следва от теорема 1 и второто и четвъртото свойство на изоморфизма. Забележка 2. Следствие 1 ни позволява да изследваме въпроса за линейната зависимост на системите от вектори в

в крайномерно линейно пространство може да се сведе до решаване на същия въпрос за колоните на определена матрица.

Теорема 5 (критерий за изоморфизъм на крайномерни линейни пространства). Две крайномерни линейни пространства L и L` над едно поле P са изоморфни тогава и само ако имат една и съща размерност.

Необходимост. Нека L L` По силата на твърдение 2 от §6 размерността на L съвпада с размерността на L1.

Адекватност. Нека dim L = dim L`= n. Тогава по теорема 4 имаме: L P(n)		и L` P(n) . Оттук
не е трудно да се получи това L L`.
Теоремата е доказана.
Забележка. В това, което следва, често ще обозначаваме n-мерно линейно пространство с Ln.
§ 8. Преходна матрица
Определение 12. Нека в линейното пространство Ln	дадени са две бази:
e= (е1,...еn) и e`=(e1`,...,e`n) (стари и нови).
Нека разширим векторите на основата e` в основата e:
e`1 =t11 e1 +…+tn1 en
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn en .

t11………t1n

T= ……………

tn1………tnn

Наречен преходна матрицаот основа e към основа e`.

Забележете, че е удобно равенствата (1) да се записват в матрична форма, както следва: e` = eT (2). Това равенство е еквивалентно на дефинирането на преходната матрица.

Забележка 1. Нека формулираме правило за построяване на преходна матрица: за да се построи преходна матрица от базис e към базис e`, е необходимо всички вектори ej` на новия базис e` да намерят своите координатни колони в стара основа e и ги запишете като съответните колони на матрицата T.

Забележка 2. В книгата матрицата на прехода се компилира ред по ред (от координатните редове на векторите на новата основа в старата).

Теорема 6. Преходната матрица от единия базис на n-мерното линейно пространство Ln над полето P към другия му базис е неизродена матрица от n-ти ред с елементи от полето P.

Доказателство. Нека T е матрицата на прехода от основа e към основа e`. Стълбовете на матрицата T по дефиниция 12 са координатните колони на векторите на базиса e` в базиса e. Тъй като e` е линейно независима система, то по следствие 1 от теорема 4 колоните на матрицата T са линейно независими и следователно |T|≠0.

Теоремата е доказана.

Обратното също е вярно.

Теорема 7. Всяка неизродена квадратна матрица от n-ти ред с елементи от полето P служи като преходна матрица от един базис на n-мерното линейно пространство Ln над полето P към някакъв друг базис Ln.

доказателство Нека са дадени основата e = (e1, ..., en) на линейното пространство L и неособена квадратна матрица

Т= t11………t1n

tn1………tnn

n-ти ред с елементи от полето P. В линейното пространство Ln да разгледаме подредена система от вектори e`=(e1 `,…,e`n), за която колоните на матрицата T са координатни колони в базиса e .

Системата от вектори e` се състои от n вектора и по силата на следствие 1 от теорема 4 е линейно независима, тъй като колоните на неособена матрица T са линейно независими. Следователно тази система е основата на линейното пространство Ln и поради избора на системни вектори e` е в сила равенството e`=eT. Това означава, че T е матрицата на прехода от основа e към основа e`.

Теоремата е доказана.

Връзка между координатите на вектор a в различни базиси

Нека базисите e=(е1,...еn) и e`=(e1`,...,e`n) са дадени в линейното пространство Ln с матрицата на прехода T от базиса e към базиса e` , т.е. (2) е вярно. Вектор a има координати в основите e и e` [a]e =(1 ,…, n)T и [a]e` =(1 `,…,

n `)T , т.е. a=e[a]e и a=e`[a]e` .

Тогава, от една страна, a=e[a]e , а от друга a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (използвахме равенството ( 2)). От тези равенства получаваме: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Следователно, поради уникалността на векторното разлагане в основата

Това предполага равенството [a]e =Т[a]e` (3), или

	n` .

Релациите (3) и (4) се наричат формули за трансформация на координатикогато се променя основата на линейното пространство. Те изразяват старите векторни координати чрез новите. Тези формули могат да бъдат разрешени спрямо новите векторни координати чрез умножаване на (4) отляво по T-1 (съществува такава матрица, тъй като T е неособена матрица).

Тогава получаваме: [a]e` =T-1 [a]e . Използвайки тази формула, знаейки координатите на вектора в стария базис e на линейното пространство Ln, можете да намерите неговите координати в новия базис, e`.

§ 9. Подпространства на линейното пространство

Определение 13. Нека L е линейно пространство над полето P и H L. Ако H също е линейно пространство над P по отношение на същите операции като L, тогава H се нарича подпространстволинейно пространство L.

Твърдение 1. Подмножество H на линейно пространство L над поле P е подпространство на L, ако са изпълнени следните условия:

1. h 1 +h2 H за произволни h1, h2 H;

2. h H за всякакви h H и P.

Доказателство. Ако условия 1 и 2 са изпълнени в H, тогава събирането и умножението по елементи от полето P са определени в H. Валидността на повечето аксиоми за линейно пространство за H следва от тяхната валидност за L. Нека проверим някои от тях:

а) 0 h=0 H (поради условие 2);

b) h H имаме: (-h)=(-1)h H (поради условие 2).

Твърдението е доказано.

1. Подпространствата на всяко линейно пространство L са 0 и L.

2. R 1 – подпространство на пространството R2 от сегментни вектори на равнината.

3. Пространството от функции на реална променлива има по-специално следните подпространства:

а) линейни функции от вида ax+b;

б) непрекъснати функции; в) диференцируеми функции.

Един универсален начин за идентифициране на подпространства на всяко линейно пространство е свързан с концепцията за линейна обвивка.

Определение 14. Нека a1 ,…as (1) е произволна крайна система от вектори в линейното пространство L. Нека наречем линейна обвивкаот този системен набор ( 1 a1 +…+ s като | i P) = . Линейната обвивка на система (1) също се означава с L(a1 ,…,as ).

Теорема 8. Линейната обвивка H на всяка крайна система от вектори (1) на линейно пространство L е крайномерно подпространство на линейното пространство L. Базисът на система (1) също е базис на H, а размерността на H е равен на ранга на системата (1).

Доказателство. Нека H= . От дефиницията на линейна обвивка лесно следва, че са изпълнени условия 1 и 2 от твърдение 1. По силата на това твърдение H е подпространство на линейното пространство L. Нека ai1 ,….,air (2) е основата на системата (1). Тогава имаме: всеки вектор h H се изразява линейно чрез (1) - по дефиниция на линейна обвивка, а (1) се изразява линейно чрез своя базис (2). Тъй като (2) е линейно независима система, тя е основата на N. Но броят на векторите в (2) е равен на ранга на системата (1). Това означава dimH=r.

Теоремата е доказана.

Забележка 1. Ако H е крайномерно подпространство на линейно пространство L и h1 ,...,hm е база на H, тогава е лесно да се види, че H=

. Това означава, че линейните обвивки са универсален начин за конструиране на крайномерни подпространства на линейни пространства.

Определение 15. Нека A и B са две подпространства на линейно пространство L над поле P. Нека наречем тяхната сума A+B следното множество: A+B=(a+b| a A, b B).

Пример. R2 е сумата от подпространствата OX (осевектори OX) и OY. Лесно е да се докаже следното

Твърдение 2. Сумата и пресечната точка на две подпространства на линейно пространство L са подпространства на L (достатъчно е да се провери изпълнението на условия 1 и 2 от Твърдение 1).

Справедлива

Теорема 9. Ако A и B са две крайномерни подпространства на линейно пространство L, тогава dim(A+B)=dimA+ dimB–dim A B.

Доказателството на тази теорема може да се намери например в.

Забележка 2. Нека A и B са две крайномерни подпространства на линейно пространство L. За да се намери тяхната сума A+B, е удобно да се използва дефиницията на A и B като линейни обвивки. Нека A= , V= . Тогава е лесно да се покаже, че A + B = . Размерността A+B, съгласно теорема 7, доказана по-горе, е равна на ранга на системата a1,…,am, b1,…,bs. Следователно, ако намерим основата на тази система, ще намерим и dim (A+B).