Формула допускаемое напряжение для материала. Допускаемые напряженияи механические свойства материалов. Расчет ступенчатых стержней на статическую прочность

Допускаемое (допустимое) напряжение - это значение напряжения, которое считается предельно приемлемым при вычислении размеров поперечного сечения элемента, рассчитываемого на заданную нагрузку. Можно говорить о допускаемых напряжениях растяжения, сжатия и сдвига. Допускаемые напряжения либо предписываются компетентной инстанцией (скажем, отделом мостов управления железной дороги), либо выбираются конструктором, хорошо знающим свойства материала и условия его применения. Допускаемым напряжением ограничивается максимальное рабочее напряжение конструкции.

При проектировании конструкций ставится цель создать конструкцию, которая, будучи надежной, в то же время была бы предельно легкой и экономной. Надежность обеспечивается тем, что каждому элементу придают такие размеры, при которых максимальное рабочее напряжение в нем будет в определенной степени меньше напряжения, вызывающего потерю прочности этим элементом. Потеря прочности не обязательно означает разрушение. Машина или строительная конструкция считается отказавшей, когда она не может удовлетворительно выполнять свою функцию. Деталь из пластичного материала, как правило, теряет прочность, когда напряжение в ней достигает предела текучести, так как при этом из-за слишком большой деформации детали машина или конструкция перестает соответствовать своему назначению. Если же деталь выполнена из хрупкого материала, то она почти не деформируется, и потеря ею прочности совпадает с ее разрушением.

Разность напряжения, при котором материал теряет прочность, и допускаемого напряжения есть тот "запас прочности", который необходимо предусматривать, учитывая возможность случайной перегрузки, неточностей расчета, связанных с упрощающими предположениями и неопределенными условиями, наличия не обнаруженных (или не обнаружимых) дефектов материала и последующего снижения прочности из-за коррозии металла, гниения дерева и пр.

Коэффициент запаса прочности какого-либо элемента конструкции равен отношению предельной нагрузки, вызывающей потерю прочности элемента, к нагрузке, создающей допускаемое напряжение. При этом под потерей прочности понимается не только разрушение элемента, но и появление в нем остаточных деформаций. Поэтому для элемента конструкции, выполненного из пластичного материала, предельным напряжением является предел текучести. В большинстве случаев рабочие напряжения в элементах конструкции пропорциональны нагрузкам, а поэтому коэффициент запаса определяется как отношение предела прочности к допускаемому напряжению (коэффициент запаса по пределу прочности).

Допускаемые напряжения. Условие прочности.

Предел прочности и предел текучести, определенные опытным путем являются среднестатистическими величинами, т.е. имеют отклонения в большую или меньшую сторону, поэтому максимальные напряжения при расчетах на прочность сравнивают не с пределом текучести и прочности, а с напряжениями несколько меньшими, которые называются допускаемыми напряжениями.
Пластичные материалы одинаково работают на растяжение и сжатие. Опасным напряжением для них является предел текучести.
Допускаемое напряжение обозначается [σ]:

где n- коэффициент запаса прочности; n>1.Хрупкие металлы хуже работают на растяжение, а лучше на сжатие. Поэтому опасное напряжение для них предел прочности σвр.Допускаемые напряжения для хрупких материалов определяются по формулам: где n- коэффициент запаса прочности; n>1.Хрупкие металлы хуже работают на растяжение, а лучше на сжатие. Поэтому опасное напряжение для них предел прочности σвр.Допускаемые напряжения для хрупких материалов определяются по формулам:

где n- коэффициент запаса прочности; n>1.

Хрупкие металлы хуже работают на растяжение, а лучше на сжатие. Поэтому опасное напряжение для них предел прочности σвр.
Допускаемые напряжения для хрупких материалов определяются по формулам:

σвр - предел прочности при растяжении;

σвс - предел прочности при сжатии;

nр, nс - коэффициенты запаса по пределу прочности.

Условие прочности при осевом растяжении (сжатии) для пластичных материалов:

Условия прочности при осевом растяжении (сжатии) для хрупких материалов:

Nmax- максимальная продольная сила, определяется по эпюре; А - площадь поперечного сечения бруса.

Существует три типа задач расчета на прочность:
I тип задач- проверочный расчет или проверка напряжений. Производится, когда размеры конструкции уже известны и назначены и необходимо осуществить только проверку на прочность. В таком случае пользуются уравнениями (4.11) или (4.12).
II тип задач - проектировочный расчет. Производится, когда конструкция находится на стадии проектирования и некоторые характерные размеры должны быть назначены непосредственно из условия прочности.

Для пластичных материалов:

Для хрупких материалов:

Где А- площадь поперечного сечения бруса. Из двух полученных значений площади выбираем наибольшее.
III тип задач - определение допускаемой нагрузки [N]:

для пластичных материалов:

для хрупких материалов:

Из двух значений допускаемой нагрузки выбираем минимальное.

Расчёт на прочность и жёсткость осуществляется двумя методами: методом допускаемых напряжений, деформаций и методом допускаемых нагрузок.

Напряжения , при которых образец из данного материала разрушается или при которых развиваются значительные пластические деформации, называются предельными . Эти напряжения зависят от свойств материала и вида деформации.

Напряжение , величина которого регламентируется техническими условиями, называется допускаемым .

Допускаемое напряжение – это наибольшее напряжение, при котором обеспечивается требуемая прочность, жёсткость и долговечность элемента конструкции в заданных условиях его эксплуатации.

Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от предельного напряжения:

где – нормативный коэффициент запаса , число, показывающее, во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного.

Для пластичных материалов допускаемое напряжение выбирают так, чтобы при любых неточностях расчёта или непредвиденных условиях эксплуатации в материале не возникло остаточных деформаций, т. е. (предел текучести):

где – коэффициент запаса прочности по отношению к .

Для хрупких материалов допускаемые напряжения назначаются из условия, что материал не разрушится, т. е (предел прочности):

где – коэффициент запаса прочности по отношению к .

В машиностроении (при статическом нагружении) коэффициенты запаса прочности принимают: для пластичных материалов =1,4 – 1,8 ; для хрупких – =2,5 – 3,0 .

Расчёт на прочность по допускаемым напряжениям основан на том, что наибольшее расчётное напряжение в опасном сечении стержневой конструкции не превосходит допускаемого значения (меньше – не более 10 %, больше – не более 5 %) :

Оценка жёсткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жёсткости при растяжении:

Величина допускаемой абсолютной деформации [∆l] назначается отдельно для каждой конструкции.

Метод допускаемых нагрузок заключается в том, что внутренние силы, возникающие в наиболее опасном сечении конструкции в процессе эксплуатации, не должны превышать допускаемых значений нагрузок:

, (2.23)

где - разрушающая нагрузка, полученная в результате расчётов или экспериментов с учётом опыта изготовления и эксплуатации;

– коэффициент запаса прочности.

В дальнейшем будем использовать метод допускаемых напряжений и деформаций.

2.6. Проверочный и проектировочный расчёты

на прочность и жёсткость

Условие прочности (2.21) даёт возможность проводить три вида расчетов:

– проверочный – по известным размерам и материалу стержневого элемента (заданы площадь сечения А и [σ] ) проверить, в состоянии ли он выдержать заданную нагрузку (N ):

; (2.24)

– проектировочный – по известным нагрузкам (N – задано) и материалу элемента, т. е. по известному [σ], подобрать необходимые размеры поперечного сечения, обеспечивающего его безопасную работу:

– определение допускаемой внешней нагрузки – по известным размерам (А – задано) и материалу элемента конструкции, т. е. по известному [σ], найти допускаемую величину внешней нагрузки:

Оценка жёсткости стержневой конструкции проводится на основе проверки условия жёсткости (2.22) и формулы (2.10) при растяжении:

. (2.27)

Величина допускаемой абсолютной деформации [∆l ] назначается отдельно для каждой конструкции.

Аналогично расчётам по условию прочности условие жёсткости также предполагает три вида расчётов:

– проверка жёсткости данного элемента конструкции, т. е. проверка выполнения условия (2.22);

– расчёт проектируемого стержня , т. е. подбор его поперечного сечения:

– установка работоспособности данного стержня, т. е. определение допустимой нагрузки:

. (2.29)

Прочностной анализ любой конструкции содержит следующие основные этапы:

1. Определение всех внешних сил и сил реакций опор.

2. Построение графиков (эпюр) силовых факторов, действующих в поперечных сечениях по длине стержня.

3. Построение графиков (эпюр) напряжений вдоль оси конструкции, нахождение максимума напряжений. Проверка условий прочности в местах максимальных значений напряжений.

4. Построение графика (эпюры) деформации стержневой конструкции, нахождение максимумов деформации. Проверка в сечениях условий жёсткости.

Пример 2.1 . Для стального стержня, изображённого на рис. 9а , определить во всех поперечных сечениях продольную силу N и напряжение σ . Определить также вертикальные перемещения δ для всех поперечных сечений стержня. Результаты изобразить графически, построив эпюры N, σ и δ . Известно: F 1 = 10 кН; F 2 = 40 кН; А 1 = 1 см 2 ; А 2 = 2 см 2 ; l 1 = 2 м; l 2 = 1 м.

Решение. Для определения N , используя метод РОЗУ, мысленно разрезаем стержень по сечениям I−I и II−II . Из условия равновесия части стержня ниже сечения I−I (рис. 9.б) получим (растяжение). Из условия равновесия стержня ниже сечения II−II (рис. 9в) получим

откуда (сжатие). Выбрав масштаб, строим эпюру продольных сил (рис. 9г ). При этом растягивающую силу считаем положительной, сжимающую − отрицательной.

Напряжения равны: в сечениях нижней части стержня (рис. 9б )

(растяжение);

в сечениях верхней части стержня

(сжатие).

В выбранном масштабе строим эпюру напряжений (рис. 9д ).

Для построения эпюры δ определяем перемещения характерных сечений В−В и С−С (перемещение сечения А−А равно нулю).

Сечение В−В будет перемещаться вверх, поскольку верхняя часть сжимается:

Перемещение сечения, вызванное растяжением, считается положительным, вызванное сжатием – отрицательным.

Перемещение сечения С−С является алгебраической суммой перемещений В−В (δ В ) и удлинения части стержня длиной l 1:

В определённом масштабе откладываем значения и , соединяем полученные точки прямыми линиями, так как при действии сосредоточенных внешних сил перемещения линейно зависят от абсцисс сечений стержня, и получаем график (эпюру) перемещений (рис. 9е ). Из эпюры видно, что некоторое сечение D–D не перемещается. Сечения, расположенные выше сечения D–D , перемещаются вверх (стержень сжимается); сечения, расположенные ниже, перемещаются вниз (стержень растягивается).

Вопросы для самоконтроля

1. Как вычисляются значения продольной силы в поперечных сечениях стержня?

2. Что представляет собой эпюра продольных сил и как она строится?

3. Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого (сжатого) стержня и чему они равны?

4. Как строится эпюра нормальных напряжений при растяжении (сжатии)?

5. Что называется абсолютной и относительной продольной деформацией? Их размерности?

6. Что называется жёсткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии)?

8. Как формулируется закон Гука?

9. Абсолютная и относительная поперечные деформации стержня. Коэффициент Пуассона.

10. Что называется допускаемым напряжением? Как оно выбирается для пластичных и хрупких материалов?

11. Что называется коэффициентом запаса прочности и от каких основных факторов зависит его величина?

12. Назовите механические характеристики прочности и пластичности конструкционных материалов.

Таблица 2.4

Рис.2.22

Рис.2.18

Рис.2.17

Рис. 2.15

Для испытаний на растяжение применяют разрывные машины, позволяющие в процессе испытания записать диаграмму в координатах “нагрузка – абсолютное удлинение”. Характер диаграммы растяжения зависит от свойств испытуемого материала и от скорости деформирования. Типичный вид такой диаграммы для малоуглеродистой стали при статическом приложении нагрузки изображен на рис. 2.16.

Рассмотрим характерные участки и точки этой диаграммы, а также соответствующие им стадии деформирования образца:

ОА – справедлив закон Гука;

АВ – появились остаточные (пластические) деформации;

ВС – пластические деформации растут;

СД – площадка текучести (рост деформации происходит при постоянной нагрузке);

ДК – участок упрочнения (материал вновь приобретает способность увеличивать сопротивление дальнейшей деформации и воспринимает возрастающее до некоторого предела усилие);

Точка K – испытание остановили и произвели разгрузку образца;

KN – линия разгрузки;

NKL – линия повторного нагружения образца (KL – участок упрочнения);

LM – участок падения нагрузки, в этот момент на образце появляется так называемая шейка - местное сужение;

Точка M – разрыв образца;

После разрыва образец имеет вид, примерно показанный на рис.2.17. Обломки можно сложить и измерить длину после испытания ℓ 1 , а также диаметр шейки d 1 .

В результате обработки диаграммы растяжения и измерений образца получаем ряд механических характеристик, которые можно разделить на две группы – характеристики прочности и характеристики пластичности.

Характеристики прочности

Предел пропорциональности:

Наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука.

Предел текучести:

Наименьшее напряжение, при котором деформация образца происходит при постоянном растягивающем усилии.

Предел прочности (временное сопротивление):

Наибольшее напряжение, отмеченное в процессе испытания.

Напряжение в момент разрыва:

Определяемое таким образом напряжение при разрыве весьма условно и не может быть использовано в качестве характеристики механических свойств стали. Условность состоит в том, что получено оно делением силы в момент разрыва на первоначальную площадь поперечного сечения образца, а не на действительную его площадь при разрыве, которая значительно меньше начальной вследствие образования шейки.

Характеристики пластичности

Напомним, что пластичность – это способность материала деформироваться без разрушения. Характеристики пластичности – деформационные, поэтому определяются по данным измерения образца после разрушения:

∆ℓ ос = ℓ 1 - ℓ 0 – остаточное удлинение,

– площадь шейки.

Относительное удлинение после разрыва:

. (2.25)

Эта характеристика зависит не только от материала, но и от соотношения размеров образца. Именно поэтому стандартные образцы имеют фиксированное отношение ℓ 0 = 5d 0 или ℓ 0 = 10d 0 и величина δ всегда приводится с индексом – δ 5 или δ 10 , причём δ 5 > δ 10 .

Относительное сужение после разрыва:

. (2.26)

Удельная работа деформации:

где А – работа, затраченная на разрушение образца; находится как площадь, ограниченная диаграммой растяжения и осью абсцисс (площадь фигуры OABCDKLMR). Удельная работа деформации характеризует способность материала сопротивляться ударному действию нагрузки.

Из всех полученных при испытании механических характеристик основными характеристиками прочности являются предел текучести σ т и предел прочности σ пч, а основными характеристиками пластичности – относительное удлинение δ и относительное сужение ψ после разрыва.

Разгрузка и повторное нагружение

При описании диаграммы растяжения было указано, что в точке К испытание остановили и произвели разгрузку образца. Процесс разгрузки описывался прямой KN (рис.2.16), параллельной прямолинейному участку OA диаграммы. Это означает, что удлинение образца ∆ℓ′ П, полученное до начала разгрузки, полностью не исчезает. Исчезнувшая часть удлинения на диаграмме изображается отрезком NQ, оставшаяся – отрезком ОN. Следовательно, полное удлинение образца за пределом упругости состоит из двух частей – упругой и остаточной (пластической):

∆ℓ′ П = ∆ℓ′ уп + ∆ℓ′ ос.

Так будет вплоть до разрыва образца. После разрыва упругая составляющая полного удлинения (отрезок ∆ℓ уп) исчезает. Остаточное удлинение изображается отрезком ∆ℓ ос. Если же прекратить нагружение и разгрузить образец в пределах участка OB, то процесс разгрузки изобразится линией, совпадающей с линией нагрузки – деформация чисто упругая.

При повторном нагружении образца длиною ℓ 0 + ∆ℓ′ ос линия нагружения практически совпадает с линией разгрузки NK. Предел пропорциональности повысился и стал равным тому напряжению, от которого производилась разгрузка. Далее прямая NK перешла в кривую KL без площадки текучести. Часть диаграммы, расположенная левее линии NK, оказалась отрезанной, т.е. начало координат переместилось в точку N. Таким образом, в результате вытяжки за предел текучести, образец изменил свои механические свойства:

1). повысился предел пропорциональности;

2). исчезла площадка текучести;

3). уменьшилось относительное удлинение после разрыва.

Такое изменение свойств называется наклёпом .

При наклёпе повышаются упругие свойства и понижается пластичность. В некоторых случаях (например, при механической обработке) явление наклёпа нежелательно и его устраняют термообработкой. В других случаях его создают искусственно для улучшения упругости деталей или конструкций (обработка дробью рессор или вытяжка тросов грузоподъёмных машин).

Диаграммы напряжений

Чтобы получить диаграмму, характеризующую механические свойства материала, первичную диаграмму растяжения в координатах Р – ∆ℓ перестраивают в координатах σ – ε. Так как ординаты σ = Р/F и абсциссы σ = ∆ℓ/ℓ получают делением на постоянные, диаграмма имеет такой же вид, как и первоначальная (рис. 2.18,а).

Из диаграммы σ – ε видно, что

т.е. модуль нормальной упругости равен тангенсу угла наклона прямолинейного участка диаграммы к оси абсцисс.

По диаграмме напряжений удобно определять так называемый условный предел текучести. Дело в том, что большинство конструкционных материалов не имеет площадки текучести – прямая линия плавно переходит в кривую. В этом случае за величину предела текучести (условного) принимается напряжение, при котором относительное остаточное удлинение равно 0,2%. На рис. 2.18,б показано, как определяется величина условного предела текучести σ 0,2 . Предел текучести σ т, определяемый при наличии площадки текучести, часто называют физическим .

Нисходящий участок диаграммы носит условный характер, поскольку действительная площадь поперечного сечения образца после образования шейки значительно меньше первоначальной площади, по которой определяются координаты диаграммы. Можно получить истинное напряжение, если величину силы в каждый момент времени P t делить на действительную площадь поперечного сечения в этот же момент времени F t:

На рис. 2.18,а, этим напряжениям соответствует штриховая линия. До предела прочности S и σ практически совпадают. В момент разрыва истинное напряжение значительно превышает и предел прочности σ пч и тем более напряжение в момент разрыва σ р. Выразим площадь шейки F 1 через ψ и найдем S р.

Þ Þ .

Для пластичной стали ψ = 50 – 65%. Если принять ψ = 50% = 0,5, то получим S р = 2σ р, т.е. истинное напряжение наибольшее в момент разрыва, что вполне логично.

2.6.2. Испытание на сжатие различных материалов

Испытание на сжатие дает меньше информации о свойствах материала, чем испытание на растяжение. Тем не менее, оно совершенно необходимо для характеристики механических свойств материала. Осуществляется на образцах в виде цилиндров, высота которых не более 1,5 диаметра, или на образцах в виде кубиков.

Рассмотрим диаграммы сжатия стали и чугуна. Для наглядности изобразим их на одном рисунке с диаграммами растяжения этих материалов (рис.2.19). В первой четверти – диаграммы растяжения, а в третьей – сжатия.

В начале загружения диаграмма сжатия стали – наклонная прямая с таким же наклоном, как и при растяжении. Потом диаграмма переходит в участок текучести (площадка текучести выражена не так отчетливо, как при растяжении). Далее кривая слегка изгибается и не обрывается, т.к. стальной образец не разрушается, а только сплющивается. Модуль упругости стали Е при сжатии и растяжении одинаков. Также одинаковы и предел текучести σ т + = σ т - . Предел прочности при сжатии получить невозможно, как и невозможно получить характеристики пластичности.

Диаграммы растяжения и сжатия чугуна по форме похожи: искривляются с самого начала и по достижении максимальной нагрузки обрываются. Однако на сжатие чугун работает лучше, чем на растяжение (σ пч - = 5 σ пч +). Предел прочности σ пч – это единственная механическая характеристика чугуна, получаемая при испытании на сжатие.

Трение, возникающее во время испытания между плитами машины и торцами образца, оказывает существенное влияние на результаты испытания и на характер разрушения. Цилиндрический стальной образец принимает бочкообразную форму (рис. 2.20,а), в чугунном кубике возникают трещины под углом 45 0 к направлению нагрузки. Если исключить влияние трения, смазав торцы образца парафином, трещины возникнут по направлению нагрузки и наибольшая сила будет меньше (рис.2.20,б и в). Большинство хрупких материалов (бетон, камень) разрушается при сжатии так же, как чугун, и имеет аналогичную диаграмму сжатия.

Представляет интерес испытание древесины – анизотропного, т.е. обладающего различной прочностью в зависимости от направления силы по отношению к направлению волокон, материала. Анизотропными являются и все более широко применяемые стеклопластики. При сжатии вдоль волокон древесина значительно прочнее, чем при сжатии поперек волокон (кривые 1 и 2 на рис.2.21). Кривая 1 похожа на кривые сжатия хрупких материалов. Разрушение происходит вследствие сдвига одной части кубика относительно другой (рис.2.20,г). При сжатии поперек волокон древесина не разрушается, а прессуется (рис. 2.20,д).

При испытании на растяжение стального образца мы обнаружили изменение механических свойств в результате вытяжки до появления заметных остаточных деформаций – наклёп. Посмотрим, как ведет себя образец после наклёпа при испытании на сжатие. На рис.2.19 диаграмма показана пунктиром. Сжатие идет по кривой NC 2 L 2 , которая располагается выше диаграммы сжатия образца, не подвергавшегося наклёпу OC 1 L 1 , и почти параллельно последней. После наклёпа растяжением пределы пропорциональности и текучести при сжатии уменьшаются. Это явление называется эффектом Баушингера по имени учёного, впервые его описавшего.

2.6.3. Определение твёрдости

Очень распространённым механико-технологическим испытанием является определение твёрдости. Это обусловлено быстротой и простотой таких испытаний и ценностью получаемой информации: твёрдостью характеризует состояние поверхности детали до и после технологической обработки (закалки, азотирования и т.п.), по ней можно косвенно судить о величине предела прочности.

Твёрдостью материала называется способность оказывать сопротивление механическому проникновению в него другого, более твёрдого тела. Величины, характеризующие твёрдость, называют числами твёрдости. Определяемые разными методами, они различны по величине и по размерности и всегда сопровождаются указанием способа их определения.

Наиболее распространённый метод – по Бринелю. Испытание заключается в том, что в образец вдавливают стальной закалённый шарик диаметра D (рис.2.22,а). Шарик выдерживается некоторое время под нагрузкой P, в результате чего на поверхности остается отпечаток (лунка) диаметром d. Отношение нагрузки в кН к площади поверхности отпечатка в см 2 называется числом твёрдости по Бринелю

. (2.30)

Для определения числа твёрдости по Бринелю используют специальные испытательные приборы, диаметр отпечатка измеряется портативным микроскопом. Обычно HB не считают по формуле (2.30) , а находят из таблиц.

Пользуясь числом твёрдости HB, можно без разрушения образца получить приближённое значение предела прочности некоторых металлов, т.к. существует линейная связь между σ пч и HB: σ пч = k ∙ HB (для малоуглеродистой стали k = 0,36, для высокопрочной стали k = 0,33, для чугуна k = 0,15, для алюминиевых сплавов k = 0,38, для титановых сплавов k = 0,3).

Весьма удобен и широко распространён метод определения твердости по Роквеллу . В этом способе в качестве индентора, вдавливаемого в образец, используется алмазный конус с углом при вершине 120 градусов и радиусом закругления 0,2 мм, или стальной шарик диаметром 1,5875 мм (1/16 дюйма). Испытание происходит по схеме, приведённой на рис. 2.22,б. Сначала конус вдавливается предварительной нагрузкой P 0 = 100 H, которая не снимается до конца испытания. При этой нагрузке конус погружается на глубину h 0 . Затем на конус подается полная нагрузка P = P 0 + P 1 (два варианта: A – P 1 = 500 H и C – P 1 = 1400 H), при этом глубина вдавливания увеличивается. После снятия основной нагрузки P 1 остается глубина h 1 . Глубина отпечатка, полученная за счёт основной нагрузки P 1 , равная h = h 1 – h 0 , характеризует твердость по Роквеллу. Число твёрдости определяется по формуле

, (2.31)