Треугольник - это многоугольник с 3-мя сторонами (либо 3-мя углами). Стороны треугольника нередко обозначаются малеханькими буквами, которые соответствуют большим буквам, обозначающим обратные вершины.

Остроугольным треугольником именуется треугольник, у которого все три угла острые.

Тупоугольным треугольником именуется треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольным треугольником именуется треугольник, у которого один из углов прямой, другими словами равен 90°; стороны a, b, образующие прямой угол, именуются катетами ; сторона c, обратная прямому углу, именуется гипотенузой .

Равнобедренным треугольником именуется треугольник, у которого две его стороны равны (a = c); эти равные стороны именуются боковыми , 3-я сторона именуется основанием треугольника .

Равносторонним треугольником именуется треугольник, у которого все его стороны равны (a = b = c). В том случае в треугольнике не равна ни одна из его сторон (abc), то это неравносторонний треугольник .

Главные характеристики треугольников

В любом треугольнике:

Признаки равенства треугольников

Треугольники равны, в том случае у их соответственно равны:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, в том случае производится одно из последующих критерий:

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из хоть какой вершины на обратную сторону (либо её продолжение). Эта сторона именуется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, именуемой ортоцентром треугольника .

Ортоцентр остроугольного треугольника размещен снутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника - снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с верхушкой прямого угла.

Медиана - это отрезок, соединяющий всякую верхушку треугольника с серединой обратной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей снутри треугольника и являющейся его центром масс. Эта точка разделяет каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса - это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки скрещения с обратной стороной. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, всегда лежащей снутри треугольника и являющейся центром вписанного круга. Биссектриса разделяет обратную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам.

Срединный перпендикуляр - это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.

В остроугольном треугольнике эта точка лежит снутри треугольника, в тупоугольном - снаружи, в прямоугольном - посреди гипотенузы. Ортоцентр, центр масс, центр описанного и центр вписанного круга совпадают исключительно в равностороннем треугольнике.

Аксиома Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Подтверждение аксиомы Пифагора

Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Потом продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтоб получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b. Сейчас ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b) 2. С иной стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, другими словами,

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

c 2 + 2 ab = (a + b) 2,

и совсем имеем:

c 2 = a 2 + b 2 .

Соотношение сторон в случайном треугольнике

В общем случае (для случайного треугольника) имеем:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,

где С - угол меж сторонами а и b.

Дополнительно на сайт:

Геометрия - один из школьных предметов, который пригодится в будущем всем. По одной простой причине - геометрия, а впоследствии стереометрия развивает пространственное мышление. И если понять те законы, на которых строится само Пространство, будет легче понять другие, куда более интересные вещи, которые в этом пространстве работают.

Общий случай

Но вернёмся к нашим треугольникам. Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как найти основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Так как основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала выберем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, чтобы он на ней стоял, и будем искать её длину.

В этом нам поможет знаменитая теорема косинусов, частным случаем которой является теорема Пифагора. Теорема косинусов гласит, что квадрат одной из сторон треугольника равен сумме двух других сторон треугольника, предварительно возведенных в квадрат, минус произведение этих сторон, умноженное на два, и умноженное на косинус угла между ними. Если известна длина двух сторон и угол между ними, то подставляем их в формулу и задача решена. Если же данные отличаются от этого, то необходимо опустить на основание высоту, получив два прямоугольных треугольника. Ну, а как найти основание прямоугольного треугольника - тривиальная задача. Соотношения сторон и углов позволяют вычислить длину основания при минимальных данных. Так как задачи в учебнике по определению должны быть решаемы, то всё получится.

Равнобедренный треугольник

Упростим задачу. В некоторых заданиях треугольник задан как равнобедренный. Напомним, равнобедренным называется треугольник, имеющий две равные стороны. Основанием же будет считаться третья сторона. Как найти основание равнобедренного треугольника в этом случае? Потребуется знать одну из сторон и угол, противолежащий основанию. Так как бёдра равны - вторая сторона известна и равна первой. А далее по теореме косинусов всё так же находим основание.

Прямоугольный треугольник

Сказка для ученика. Прямоугольный, он же треугольник с углом в девяносто градусов, - самый удобный треугольник. Как найти длину основания треугольника с прямым углом - вопрос, помогающий найти соотношения сторон в других, непрямоугольных треугольниках. Другие задачи часто сводят к этой путём проведения в треугольнике высоты, что разбивает фигуру на два прямоугольных треугольника. Здесь в силу вступает частный случай теоремы косинусов - теорема Пифагора. Так как косинус прямого угла равен нулю, произведение сторон обращается в ноль, оставляя в правой части только сумму квадратов катетов, в левой же части равенства находится квадрат гипотенузы - стороны, противолежащей прямому углу. И соответственно, основанием прямоугольного треугольника может считаться любой из его катетов.

Равносторонний треугольник

Как найти основание равностороннего треугольника - вопрос, вообще говоря, необычный. Для решения этой "сложной" задачи надо знать длину хотя бы одной стороны треугольника. И так как все стороны треугольника равны (он равносторонний) - основание будет равно длине стороны. Эта задачка скорее на сообразительность, чем на знание геометрии.

Первые - это отрезки, которые прилегают к прямому углу, а гипотенуза является самой длинной частью фигуры и находится напротив угла в 90 о. Пифагоровым треугольником называется тот, стороны которого равны натуральным числам; их длины в таком случае имеют название «пифагорова тройка».

Египетский треугольник

Для того чтобы нынешнее поколение узнало геометрию в том виде, в котором ее преподают в школе сейчас, она развивалась несколько веков. Основополагающим моментом считается теорема Пифагора. Стороны прямоугольного известна на весь мир) составляют 3, 4, 5.

Мало кто не знаком с фразой «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Однако на самом деле теорема звучит так: c 2 (квадрат гипотенузы) = a 2 +b 2 (сумма квадратов катетов).

Среди математиков треугольник со сторонами 3, 4, 5 (см, м и т. д.) называется "египетским". Интересно то, что которая вписана в фигуру, равняется единице. Название возникло примерно в V столетии до н.э., когда философы Греции ездили в Египет.

При построении пирамид архитекторы и землемеры пользовались соотношением 3:4:5. Такие сооружения получались пропорциональными, приятными на вид и просторными, а также редко рушились.

Для того чтобы построить прямой угол, строители использовали веревку, на которой было завязано 12 узлов. В таком случае вероятность построения именно прямоугольного треугольника повышалась до 95%.

Признаки равенства фигур

• Острый угол в прямоугольном треугольнике и большая сторона, которые равны тем же элементам во втором треугольнике, - бесспорный признак равенства фигур. Беря во внимание сумму углов, легко доказать, что вторые острые углы также равны. Таким образом, треугольники одинаковы по второму признаку.
• При наложении двух фигур друг на друга повернем их таким образом, чтобы они, совместившись, стали одним равнобедренным треугольником. По его свойству стороны, а точнее, гипотенузы, равны, так же как и углы при основании, а значит, эти фигуры одинаковые.

По первому признаку очень просто доказать то, что треугольники действительно равны, главное, чтобы две меньшие стороны (т. е. катеты) были равными между собой.

Треугольники будут одинаковыми по II признаку, суть которого заключается в равенстве катета и острого угла.

Свойства треугольника с прямым углом

Высота, которую опустили из прямого угла, разбивает фигуру на две равные части.

Стороны прямоугольного треугольника и его медианы легко узнать по правилу: медиана, которая опущена на гипотенузу, равна ее половине. можно найти как по формуле Герона, так и по утверждению, что она равна половине произведению катетов.

В прямоугольном треугольнике действуют свойства углов в 30 о, 45 о и 60 о.

• При угле, который равен 30 о, следует помнить, что противолежащий катет будет равен 1/2 самой большой стороны.
• Если угол 45 о, значит, второй острый угол также 45 о. Это говорит о том, что треугольник равнобедренный, и его катеты одинаковы.
• Свойство угла в 60 о заключается в том, что третий угол имеет градусную меру в 30 о.

Площадь легко узнать по одной из трех формул:

1. через высоту и сторону, на которую она опускается;
2. по формуле Герона;
3. по сторонам и углу между ними.

Стороны прямоугольного треугольника, а точнее катеты, сходятся с двумя высотами. Для того чтобы найти третью, необходимо рассматривать образовавшийся треугольник, и тогда по теореме Пифагора вычислить необходимую длину. Помимо этой формулы существует также соотношение удвоенной площади и длины гипотенузы. Наиболее распространенным выражением среди учеников является первое, так как требует меньше расчетов.

Теоремы, применяемые к прямоугольному треугольнику

Геометрия прямоугольного треугольника включает в себя использование таких теорем, как:

Часто в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется найти основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько методов.

Вам понадобится

• Калькулятор

Инструкция

• Строгого определения понятия «основание треугольника» в геометрии не существует. Как правило, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Поэтому выберем из всего многообразия примеров, известного в математике под понятием «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.
  Если известны высота и площадь треугольника, то для того чтобы найти основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь любого треугольника можно посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты:
  S=1/2*c*h, где:
  S - площадь треугольника,с - длина его основания,h - длина высоты треугольника.
  Из этой формулы находим:
  с=2*S/h.
  Например, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты - 10 см, то основание треугольника будет:
  с=2*20/10=4 (см).
• Если известны боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=Р-2*а, где:
  Р - периметр треугольника,а - длина боковой стороны треугольника,с - длина его основания.
• Если известны боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=а*√(2*(1-cosC)), где:
  C - величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,а - длина боковой стороны треугольника.с - длина его основания.
  (Формула является прямым следствием теоремы косинусов)
  Имеется и более компактная запись этой формулы:
  с=2*а*sin(B/2)
• Если известны боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей легко запоминающейся формуле:
  с=2*а*cosA
  A - величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,а - длина боковой стороны треугольника.с - длина его основания.
  Эта формула является следствием теоремы о проекциях.
• Если известен радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания можно посчитать по следующей формуле:
  с=2*R*sinC, где:
  C - величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,R - радиус описанной вокруг треугольника окружности,с - длина его основания.
  Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Зачастую в задачах по планиметрии и тригонометрии требуется обнаружить основание треугольника. Для этой операции существует даже несколько способов.

Вам понадобится

• Калькулятор

Инструкция

1. Сурового определения представления «основание треугольника» в геометрии не существует. Как водится, этим термином обозначается, сторона треугольника, к которой из противоположной вершины проведен перпендикуляр (опущена высота). Также этим термином принято называть «неравную» сторону равностороннего треугольника. Следственно предпочтем из каждого разнообразия примеров, вестимого в математике под представлением «решение треугольников», варианты, в которых встречаются высоты и равносторонние треугольники.Если знамениты высота и площадь треугольника, то для того дабы обнаружить основание треугольника (длину стороны, на которую опущена высота), воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, утверждающей, что площадь всякого треугольника дозволено посчитать, умножив половину длины основания на длину высоты: S=1/2*c*h, где: S – площадь треугольника,с – длина его основания,h – длина высоты треугольника.Из этой формулы находим:с=2*S/h.Скажем, если площадь треугольника равняется 20 кв.см., а длина высоты – 10 см, то основание треугольника будет:с=2*20/10=4 (см).

2. Если знамениты боковая сторона и периметр равностороннего треугольника, то длину основания дозволено посчитать по дальнейшей формуле:с=Р-2*а, где:Р – периметр треугольника,а – длина боковой стороны треугольника,с – длина его основания.

3. Если знамениты боковая сторона и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания дозволено посчитать по дальнейшей формуле:с=а*?(2*(1-cosC)), где:C – величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,а – длина боковой стороны треугольника.с – длина его основания.(Формула является прямым следствием теоремы косинусов)Имеется и больше суперкомпактная запись этой формулы:с=2*а*sin(B/2)

4. Если знамениты боковая сторона и величина смежного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания дозволено посчитать по дальнейшей легко запоминающейся формуле:с=2*а*cosA A – величина смежного основанию угла равностороннего треугольника,а – длина боковой стороны треугольника.с – длина его основания.Эта формула является следствием теоремы о проекциях.

5. Если знаменит радиус описанной окружности и величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника, то длину основания дозволено посчитать по дальнейшей формуле:с=2*R*sinC, где:C – величина противоположного основанию угла равностороннего треугольника,R – радиус описанной вокруг треугольника окружности,с – длина его основания.Эта формула является прямым следствием теоремы синусов.

Совет 2: Как обнаружить площадь равностороннего треугольника

Равносторонним называют треугольник, имеющий три равные стороны и три идентичных угла. Такой треугольник еще называют положительным. Высота, проведенная из вершины к основанию, единовременно является биссектрисой и медианой, из чего следует, что эта линия делит угол вершины на два равных угла, а основание, на которую опускается, на два равных отрезка. Эти свойства треугольника помогут вычислить его площадь , равную половине произведения высоты на всякую из его сторон.

Вам понадобится

• – знать, что такое высота и ее свойства
• – знать, что такое прямоугольный треугольник
• – знать, что такое гипотенуза и катеты
• – уметь решать уравнения с одной переменной со скобками

Инструкция

1. Если в верном треугольнике знамениты правда бы одна сторона и его высота, то для определения площади фигуры умножьте высоту на длину стороны и поделите получившееся число на два.

2. Для вычисления площади треугольника при неведомой высоте и знаменитой стороне вначале обнаружьте высоту. Для этого разглядите один из равных прямоугольных треугольников, образованных высотой.

3. Сторона, противолежащая прямому углу, будет являться гипотенузой, а две остальные – катетами. Значит, высота равностороннего треугольника будет одним из катетов меньшего прямоугольного треугольника . 2-й катет будет равняться половине стороны большого треугольника , потому что высота в положительном прямоугольнике делит ее напополам, являясь медианой.

4. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следственно для того, дабы узнать высоту, из квадрата гипотенузы (то есть из квадрата одной из сторон равностороннего треугольника ) вычтите квадрат катета, образованного половиной стороны равностороннего треугольника , позже чего неукоснительно из итога этого вычисления извлеките квадратный корень.

5. Сейчас, когда высота вестима, обнаружьте площадь фигуры, умножив высоту на длину стороны и поделив получившееся значение на два.

6. В случае, если вам знаменита только высота, то вновь разглядите один из прямоугольных треугольников, образующихся при проведении высоты, которая делит напополам угол и сторону положительного многоугольника. Опираясь на теорему Пифагора, составьте уравнение a² = c²-(1/2*с)², где a² – высота, c² – сторона равностороннего треугольника . В этом уравнении обнаружьте значение переменной a.

7. Узнав высоту, вычислите площадь положительного треугольника . Для этого умножьте высоту на сторону треугольника и поделите полученный позже умножения итог напополам.

Видео по теме

Обратите внимание!
Для начала абстрагируемся от частностей и посмотрим, как обнаружить основание треугольника, не являющегося ни равносторонним, ни равнобедренным, ни прямоугольным. Потому что основанием в такой фигуре может служить любая сторона, для начала предпочтем какую-то грань и «обзовём» её основанием. Соответственно, повернём треугольник так, дабы он на ней стоял, и будем искать её длину.

Полезный совет
Как обнаружить основание равнобедренного треугольника? Смотря, что дано в данном треугольнике. Если в равнобедренном треугольнике дана сторона и угол, тот, что находится наоборот основания, то можете провести из этого угла высоту треугольника. В итоге, по свойству равностороннего треугольника вы получите два равных прямоугольника.