Lineaarne (vektor) Ruum on suvaliste elementide hulk V, mida nimetatakse vektoriteks, milles on määratletud vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise operatsioonid, s.t. mis tahes kahele vektorile \mathbf(u) ja (\mathbf(v)) on määratud vektor \mathbf(u)+\mathbf(v), mida nimetatakse vektorite \mathbf(u) ja (\mathbf(v)) summaks, mis tahes vektor (\mathbf(v)) ja mis tahes arv \lambda reaalarvude väljast \mathbb(R) on seotud vektoriga \lambda\mathbf(v), mida nimetatakse vektori \mathbf(v) korrutiseks arvuga \lambda ; seega on täidetud järgmised tingimused:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(liitmise kommutatiivsus);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(liitumise assotsiatiivsus);
3. V-s on element \mathbf(o)\, mida nimetatakse nullvektoriks, nii et \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. iga vektori (\mathbf(v)) jaoks on vektor, mida nimetatakse vektori \mathbf(v) vastandiks, nii et \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ in\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Tingimusi 1-8 kutsutakse lineaarruumi aksioomid. Vektorite vahele asetatud võrdusmärk tähendab, et võrdsuse vasak ja parem pool tähistavad hulga V sama elementi, selliseid vektoreid nimetatakse võrdseteks.

Lineaarruumi definitsioonis võetakse reaalarvude puhul kasutusele vektori arvuga korrutamise operatsioon. Sellist ruumi nimetatakse lineaarruum reaalarvude välja kohal või lühidalt tõeline lineaarne ruum. Kui definitsioonis võtame reaalarvude välja \mathbb(R) asemel kompleksarvude välja \mathbb(C) , siis saame lineaarruum kompleksarvude välja kohal või lühidalt keeruline lineaarruum. Arvväljaks saame valida ka ratsionaalarvude välja \mathbb(Q) ja sel juhul saame lineaarruumi ratsionaalarvude välja kohal. Kui pole öeldud teisiti, siis järgnevas käsitletakse reaalseid lineaarruume. Mõnel juhul räägime lühiduse huvides ruumist, jättes välja sõna lineaarne, kuna kõik allpool käsitletavad ruumid on lineaarsed.

Märkused 8.1

1. Aksioomid 1-4 näitavad, et lineaarruum on liitmise operatsiooni suhtes kommutatiivne rühm.

2. Aksioomid 5 ja 6 määravad vektori arvuga korrutamise operatsiooni distributiivsuse vektorite liitmise (aksioom 5) või arvude liitmise operatsiooni (aksioom 6) suhtes. Aksioom 7, mida mõnikord nimetatakse ka arvuga korrutamise assotsiatiivsuse seaduseks, väljendab seost kahe erineva tehte vahel: vektori korrutamine arvuga ja arvude korrutamine. Aksioomiga 8 defineeritud omadust nimetatakse vektori arvuga korrutamise operatsiooni unitaarsuseks.

3. Lineaarruum on mittetühi hulk, kuna see sisaldab tingimata nullvektorit.

4. Tehteid vektorite liitmiseks ja vektori arvuga korrutamiseks nimetatakse lineaartehteteks vektoritega.

5. Vektorite \mathbf(u) ja \mathbf(v) erinevus on vektori \mathbf(u) ja vastupidise vektoriga (-\mathbf(v)) summa ja tähistatakse: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Kaht nullist erinevat vektorit \mathbf(u) ja \mathbf(v) nimetatakse kollineaarseks (proportsionaalseks), kui on olemas arv \lambda, \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Kollineaarsuse mõiste laieneb mis tahes lõplikule arvule vektoridele. Nullvektorit \mathbf(o) peetakse kollineaarseks mis tahes vektoriga.

Lineaarse ruumi aksioomide järeldused

1. Lineaarruumis on ainult üks nullvektor.

2. Lineaarruumis on mis tahes vektoris \mathbf(v)\in V ainulaadne vastandvektor (-\mathbf(v))\in V.

3. Suvalise ruumivektori ja arvu null korrutis on võrdne nullvektoriga, s.t. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Nullvektori korrutis mis tahes arvuga on võrdne nullvektoriga, see tähendab mis tahes arvu \lambda korral.

5. Antud vektorile vastandlik vektor on võrdne selle vektori korrutisega arvuga (-1), s.o. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

6. Vormi väljendites \mathbf(a+b+\ldots+z)(lõpliku arvu vektorite summa) või \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(vektori ja lõpliku arvu tegurite korrutis) võid paigutada sulud suvalises järjekorras või üldse mitte määrata.

Tõestame näiteks kaks esimest omadust. Nullvektori unikaalsus. Kui \mathbf(o) ja \mathbf(o)" on kaks nullvektorit, siis aksioomi 3 abil saame kaks võrdsust: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" või \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), mille vasakpoolsed küljed on aksioomi 1 järgi võrdsed. Järelikult on ka paremad küljed võrdsed, s.t. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Vastandvektori unikaalsus. Kui vektoril \mathbf(v)\in V on kaks vastandlikku vektorit (-\mathbf(v)) ja (-\mathbf(v))", siis aksioomide 2, 3,4 abil saame nende võrdsuse:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\undersulg(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \undersulg( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Ülejäänud omadused on tõestatud sarnasel viisil.

Lineaarruumide näited

1. Tähistame \(\mathbf(o)\) - ühte nullvektorit sisaldavat hulka koos tehtega \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) Ja \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Näidatud tehte puhul on aksioomid 1-8 täidetud. Järelikult on hulk \(\mathbf(o)\) lineaarruum mis tahes arvuvälja kohal. Seda lineaarset ruumi nimetatakse nulliks.

2. Tähistame V_1,\,V_2,\,V_3 - vektorite hulgad (suunatud lõigud) vastavalt sirgel, tasapinnal, ruumis tavaliste vektorite liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonidega. Lineaarruumi aksioomide 1-8 täitumine tuleneb elementaargeomeetria käigust. Järelikult on hulgad V_1,\,V_2,\,V_3 reaalsed lineaarruumid. Vabade vektorite asemel võime vaadelda vastavaid raadiusvektorite komplekte. Näiteks vektorite hulk tasapinnal, millel on ühine algus, s.t. tasapinna ühest fikseeritud punktist joonistatud on reaalne lineaarruum. Ühiku pikkusega raadiusvektorite hulk ei moodusta lineaarruumi, kuna ühegi sellise vektori puhul on summa \mathbf(v)+\mathbf(v) ei kuulu vaadeldavasse komplekti.

3. Tähistame \mathbb(R)^n - maatriks-veergude kogumit, mille suurus on n\times1 maatriksite liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonidega. Selle hulga jaoks on täidetud lineaarruumi aksioomid 1-8. Selle komplekti nullvektor on nulli veerg o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Järelikult on hulk \mathbb(R)^n tõeline lineaarruum. Samamoodi on komplekssete elementidega \mathbb(C)^n veergu, mille suurus on n\times1, kompleksne lineaarruum. Mittenegatiivsete reaalelementidega veerumaatriksite komplekt, vastupidi, ei ole lineaarne ruum, kuna see ei sisalda vastandvektoreid.

4. Tähistame \(Ax=o\) - lineaarsete algebraliste võrrandite ja tundmatutega (kus A on süsteemi reaalmaatriks) homogeense süsteemi Ax=o lahendite kogumit, mida vaadeldakse kui veergude hulka. suurused n\times1 maatriksite liitmise ja maatriksite arvuga korrutamise operatsioonidega . Pange tähele, et need toimingud on tõepoolest määratletud komplektis \(Ax=o\) . Homogeense süsteemi lahenduste omadusest 1 (vt punkt 5.5) järeldub, et homogeense süsteemi kahe lahendi summa ja selle lahenduse korrutis arvuga on samuti homogeense süsteemi lahendid, s.t. kuuluvad hulka \(Ax=o\) . Veergude lineaarruumi aksioomid on täidetud (vt lineaarruumide näidete punkti 3). Seetõttu on homogeense süsteemi lahenduste hulk reaalne lineaarruum.

Ebahomogeense süsteemi Ax=b,~b\ne o lahenduste hulk \(Ax=b\), vastupidi, ei ole lineaarne ruum, kasvõi juba sellepärast, et see ei sisalda nullelementi (x=o on mitte lahendus ebahomogeensele süsteemile).

5. Tähistame M_(m\x n) - maatriksite kogumit suurusega m\ korda n maatriksite liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonidega. Selle hulga jaoks on täidetud lineaarruumi aksioomid 1-8. Nullvektor on sobiva suurusega nullmaatriks O. Seetõttu on hulk M_(m\times n) lineaarne ruum.

6. Tähistame P(\mathbb(C)) - ühe muutuja komplekssete kordajatega polünoomide hulka. Tehted paljude liikmete liitmiseks ja polünoomi korrutamiseks arvuga, mida peetakse nullkraadise polünoomiks, on määratletud ja vastavad aksioomidele 1–8 (eelkõige on nullvektor polünoom, mis on identselt võrdne nulliga). Seetõttu on hulk P(\mathbb(C)) lineaarruum kompleksarvude välja kohal. Reaalkoefitsientidega polünoomide hulk P(\mathbb(R)) on samuti lineaarruum (aga loomulikult üle reaalarvude välja). Reaalkoefitsientidega maksimaalselt n astme polünoomide hulk P_n(\mathbb(R)) on samuti reaalne lineaarruum. Pange tähele, et paljude terminite liitmise operatsioon on defineeritud selles hulgas, kuna polünoomide summa aste ei ületa liikmete astmeid.

N-astmega polünoomide hulk ei ole lineaarruum, kuna selliste polünoomide summa võib osutuda madalama astme polünoomiks, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Kõigi mitte kõrgema kui n astme polünoomide hulk positiivsete koefitsientidega ei ole samuti lineaarne ruum, kuna sellise polünoomi korrutamine negatiivse arvuga annab tulemuseks polünoomi, mis sellesse hulka ei kuulu.

7. Tähistame C(\mathbb(R)) - reaalfunktsioonide hulka, mis on defineeritud ja pidevad \mathbb(R) . Funktsioonide f,g summa (f+g) ja funktsiooni f korrutis \lambda f ja reaalarv \lambda on defineeritud võrratustega:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) kõigile x\in \mathbb(R)

Need tehted on tõepoolest defineeritud C(\mathbb(R)), kuna pidevate funktsioonide summa ning pideva funktsiooni ja arvu korrutis on pidevad funktsioonid, st. C(\mathbb(R)) elemendid. Kontrollime lineaarruumi aksioomide täitumist. Kuna reaalarvude liitmine on kommutatiivne, järeldub, et võrdsus f(x)+g(x)=g(x)+f(x) mis tahes x\in \mathbb(R) jaoks. Seetõttu f+g=g+f, st. aksioom 1 on täidetud. Aksioom 2 tuleneb sarnaselt liitmise assotsiatiivsusest. Nullvektor on funktsioon o(x), mis on identselt võrdne nulliga, mis on loomulikult pidev. Iga funktsiooni f korral kehtib võrdus f(x)+o(x)=f(x), s.t. Tõene on aksioom 3. Vektori f vastandvektor on funktsioon (-f)(x)=-f(x) . Siis f+(-f)=o (aksioom 4 on tõene). Aksioomid 5, 6 tulenevad reaalarvude liitmise ja korrutamise operatsioonide distributiivsusest ning aksioom 7 - arvude korrutamise assotsiatiivsusest. Viimane aksioom on täidetud, kuna ühega korrutamine ei muuda funktsiooni: 1\cdot f(x)=f(x) mis tahes x\in \mathbb(R) korral, st. 1\cdot f=f . Seega vaadeldav hulk C(\mathbb(R)) koos sisseviidud tehtega on reaalne lineaarruum. Samamoodi on tõestatud, et C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- funktsioonide komplektid, millel on pidevad tuletised esimesest, teisest jne. järjekorrad on vastavalt ka lineaarsed ruumid.

Tähistame trigonomeetriliste binoomide hulka (sageli \omega\ne0 ) reaalkoefitsientidega, s.t. vormi paljusid funktsioone f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Kus a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Selliste binoomide summa ja binoomarvu korrutis reaalarvuga on trigonomeetrilised binoomid. Vaadeldava hulga lineaarruumi aksioomid on täidetud (kuna T_(\omega)(\mathbb(R))\alamhulk C(\mathbb(R))). Seetõttu paljud T_(\omega)(\mathbb(R)) funktsioonide tavaliste liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonidega on see tõeline lineaarruum. Nullelement on binoom o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, võrdne nulliga.

Funktsioonis \mathbb(R) defineeritud ja monotoonsete reaalsete funktsioonide hulk ei ole lineaarne ruum, kuna kahe monotoonse funktsiooni erinevus võib osutuda mittemonotoonseks funktsiooniks.

8. Tähistame \mathbb(R)^X - hulgal X defineeritud reaalfunktsioonide hulka tehtega:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

See on tõeline lineaarruum (tõestus on sama, mis eelmises näites). Sel juhul saab komplekti X valida meelevaldselt. Eelkõige siis, kui X=\(1,2,\ldots,n\), siis f(X) on järjestatud arvude hulk f_1,f_2,\ldots,f_n, Kus f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Sellist hulka võib pidada mõõtmetega n\times1 maatriks-veeruks, s.t. trobikond \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) langeb kokku hulgaga \mathbb(R)^n (lineaarruumide näiteid vt punktist 3). Kui X=\mathbb(N) (tuletame meelde, et \mathbb(N) on naturaalarvude hulk), siis saame lineaarruumi \mathbb(R)^(\mathbb(N))- palju numbrijadasid \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Eelkõige moodustab koonduvate arvujadade hulk ka lineaarruumi, kuna kahe koonduva jada summa koondub ja kui koonduva jada kõik liikmed korrutada arvuga, saame koonduva jada. Seevastu lahknevate jadade hulk ei ole lineaarne ruum, kuna näiteks lahknevate jadade summal võib olla piir.

9. Tähistame \mathbb(R)^(+) - positiivsete reaalarvude hulka, milles on summa a\oplus b ja korrutis \lambda\ast a (tähistused selles näites erinevad tavalistest) määratletud võrdustega: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda) Teisisõnu mõistetakse elementide summat arvude korrutisena ja elemendi korrutamist arvuga mõistetakse astmeni tõstmisena. Mõlemad toimingud on tõepoolest defineeritud hulgaga \mathbb(R)^(+), kuna positiivsete arvude korrutis on positiivne arv ja positiivse arvu iga reaalvõimsus on positiivne arv. Kontrollime aksioomide kehtivust. Võrdsused

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

näitavad, et aksioomid 1 ja 2 on täidetud. Selle hulga nullvektor on üks, kuna a\oplus1=a\cdot1=a, st. o=1. Vastandvektor a jaoks on vektor \frac(1)(a) , mis on defineeritud kuna a\ne o . Tõepoolest, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Kontrollime aksioomide 5, 6, 7, 8 täitumist:

\begin(kogutud) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(kogutud)

Kõik aksioomid on täidetud. Järelikult on vaadeldav hulk tõeline lineaarruum.

10. Olgu V reaalne lineaarruum. Vaatleme V-ga defineeritud lineaarsete skalaarfunktsioonide hulka, s.o. funktsioonid f\koolon V\mathbb(R), võttes tegelikke väärtusi ja täites tingimused:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(liituvus);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(homogeensus).

Lineaarfunktsioonide lineaartehted on määratletud samamoodi nagu lineaarruumide näidete lõigus 8. Summa f+g ja korrutis \lambda\cdot f määratakse võrratustega:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Lineaarruumi aksioomide täitumist kinnitatakse samamoodi nagu punktis 8. Seetõttu on lineaarruumil V defineeritud lineaarfunktsioonide hulk lineaarruum. Seda ruumi nimetatakse konjugaadiks ruumiga V ja seda tähistatakse V^(\ast) . Selle elemente nimetatakse kovektoriteks.

Näiteks n muutujaga lineaarsete vormide hulk, mida peetakse vektori argumendi skalaarfunktsioonide kogumiks, on lineaarruum konjugaat ruumiga \mathbb(R)^n.

4.3.1 Lineaarruumi definitsioon

Lase ā , , - mõne komplekti elemendid ā , , L ja λ , μ - reaalarvud, λ , μ R..

Hulk L kutsutakselineaarne võivektorruum, kui on määratletud kaks toimingut:

1 0 . Lisand. Iga selle hulga elementide paar on seotud sama hulga elemendiga, mida nimetatakse nende summaks

ā + =

2°.Korrutamine arvuga. Mis tahes reaalarv λ ja element ā L sobib sama komplekti elemendiga λ ā L ja järgmised omadused on täidetud:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. on olemas null element
, selline, et ā +=ā ;

4. on olemas vastandelement -
selline, et ā +(-ā )=.

Kui λ , μ - reaalarvud, siis:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Lineaarruumi elemendid ā, , ... nimetatakse vektoriteks.

Harjutus. Näidake endale, et need hulgad moodustavad lineaarseid ruume:

1) Geomeetriliste vektorite hulk tasapinnal;

2) palju geomeetrilisi vektoreid kolmemõõtmelises ruumis;

3) teatud astme polünoomide hulk;

4) Sama mõõtmega maatriksite hulk.

4.3.2 Lineaarselt sõltuvad ja sõltumatud vektorid. Ruumi mõõtmed ja alus

Lineaarne kombinatsioon vektorid ā 1 , ā 2 , …, ā n Lnimetatakse vormi sama ruumi vektoriks:

,

Kus λ ma olen reaalsed numbrid.

Vektorid ā 1 , .. , ā n kutsutakselineaarselt sõltumatu, kui nende lineaarne kombinatsioon on nullvektor siis ja ainult siis, kui kõik λ i on võrdsed nulliga, see on

λ i = 0

Kui lineaarne kombinatsioon on nullvektor ja vähemalt üks λ i on nullist erinev, siis nimetatakse neid vektoreid lineaarselt sõltuvateks. Viimane tähendab, et vähemalt ühte vektoritest saab esitada teiste vektorite lineaarse kombinatsioonina. Tõepoolest, isegi kui näiteks
. Siis
, Kus

.

Nimetatakse maksimaalselt lineaarselt sõltumatut järjestatud vektorite süsteemi alus ruumi L. Alusvektorite arvu nimetatakse dimensioon ruumi.

Oletame, et on olemas n lineaarselt sõltumatud vektorid, siis ruumi nimetatakse n-mõõtmeline. Teisi ruumivektoreid saab esitada lineaarse kombinatsioonina n baasvektorid. Põhimõtteliselt n- mõõtmete ruumi saab võtta ükskõik milline n selle ruumi lineaarselt sõltumatud vektorid.

Näide 17. Leidke nende lineaarsete ruumide alus ja mõõde:

a) vektorite hulk, mis asub joonel (kollineaarne mõne joonega)

b) tasapinnale kuuluvate vektorite hulk

c) kolmemõõtmelise ruumi vektorite hulk

d) polünoomide hulk, mille aste ei ole suurem kui kaks.

Lahendus.

A) Kõik kaks vektorit, mis asuvad sirgel, on lineaarselt sõltuvad, kuna vektorid on kollineaarsed
, See
, λ - skalaar. Järelikult on antud ruumi aluseks ainult üks (ükskõik milline) vektor, mis erineb nullist.

Tavaliselt on see ruum määratud R, selle mõõde on 1.

b) mis tahes kaks mittekollineaarset vektorit
on lineaarselt sõltumatud ja mis tahes kolm vektorit tasapinnal on lineaarselt sõltumatud. Iga vektori jaoks , seal on numbrid  Ja  selline, et
. Ruumi nimetatakse kahemõõtmeliseks, tähistatakse tähisega R 2 .

Kahemõõtmelise ruumi aluse moodustavad mis tahes kaks mittekollineaarset vektorit.

V) Kõik kolm mittetasatasandilist vektorit on lineaarselt sõltumatud, need moodustavad kolmemõõtmelise ruumi aluse R 3 .

G) Polünoomide ruumi aluseks, mille aste ei ole suurem kui kaks, saame valida järgmised kolm vektorit: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 on polünoom, mis on identselt võrdne ühega). See ruum on kolmemõõtmeline.

Vastab sellisele vektorruumile. Selles artiklis võetakse lähtepunktiks esimene määratlus.

N (\displaystyle n) Tavaliselt tähistatakse -mõõtmelist eukleidilist ruumi E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); tähistust kasutatakse sageli ka siis, kui kontekstist on selgelt näha, et ruum on varustatud loomuliku eukleidilise struktuuriga.

Ametlik määratlus

Eukleidilise ruumi defineerimiseks on lihtsaim viis võtta põhikontseptsiooniks skalaarkorrutis. Eukleidiline vektorruum on defineeritud kui lõpliku mõõtmega vektorruum reaalarvude välja kohal, mille vektoripaaridel on määratud reaalväärtuslik funktsioon (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot)) millel on kolm järgmist omadust:

Eukleidilise ruumi näide – koordinaatide ruum R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) mis koosneb kõigist võimalikest reaalarvude komplektidest (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skalaarkorrutis, milles määratakse valemiga (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Pikkused ja nurgad

Eukleidese ruumis defineeritud skalaarkorrutis on piisav pikkuse ja nurga geomeetriliste mõistete tutvustamiseks. Vektori pikkus u (\displaystyle u) defineeritud kui (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) ja on määratud | u | . (\displaystyle |u|.) Skalaarkorrutise positiivne määratlus garanteerib, et nullist erineva vektori pikkus on nullist erinev ja bilineaarsusest järeldub, et | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) see tähendab, et võrdeliste vektorite pikkused on võrdelised.

Nurk vektorite vahel u (\displaystyle u) Ja v (\displaystyle v) määratakse valemiga φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Koosinusteoreemist järeldub, et kahemõõtmelise eukleidilise ruumi korral ( Eukleidiline tasapind) see nurga määratlus langeb kokku tavalisega. Ortogonaalvektoreid, nagu ka kolmemõõtmelises ruumis, saab defineerida kui vektoreid, mille vaheline nurk on võrdne π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Cauchy-Bunyakovsky-Schwartzi ebavõrdsus ja kolmnurga ebavõrdsus

Ülaltoodud nurga definitsioonis on jäänud üks lünk: selleks, et arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) on määratletud, on vajalik, et ebavõrdsus | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) See ebavõrdsus kehtib suvalises eukleidilises ruumis ja seda nimetatakse Cauchy-Bunyakovsky-Schwartzi ebavõrdsuseks. Sellest ebavõrdsusest tuleneb omakorda kolmnurga ebavõrdsus: | u + v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Kolmnurga ebavõrdsus koos ülaltoodud pikkuseomadustega tähendab, et vektori pikkus on Eukleidilise vektorruumi norm ja funktsioon d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) defineerib eukleidilise ruumi meetrilise ruumi struktuuri (seda funktsiooni nimetatakse eukleidiliseks meetrikaks). Eelkõige elementide (punktide) vaheline kaugus x (\displaystyle x) Ja y (\displaystyle y) koordinaatide ruum R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) on antud valemiga d (x, y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebralised omadused

Ortonormaalsed alused

Konjugeerige tühikud ja operaatorid

Mis tahes vektor x (\displaystyle x) Eukleidiline ruum määratleb lineaarse funktsionaali x ∗ (\displaystyle x^(*)) sellel ruumil, määratletud kui x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) See võrdlus on isomorfism Eukleidilise ruumi ja selle kaksikruumi vahel ning võimaldab neid tuvastada ilma arvutusi kahjustamata. Eelkõige võib pidada konjugeeritud operaatoreid, mis toimivad algsel ruumil, mitte selle duaalil, ja iseadjungeeritud operaatoreid võib defineerida kui operaatoreid, mis langevad kokku nende konjugaatidega. Ortonormaalsel alusel transponeeritakse adjointoperaatori maatriks algse operaatori maatriksiks ja iseadjointoperaatori maatriks on sümmeetriline.

Eukleidilise ruumi liikumised

Eukleidilise ruumi liikumised on meetrikat säilitavad teisendused (nimetatakse ka isomeetriateks). Liikumise näide – paralleeltõlge vektoriks v (\displaystyle v), mis tõlgib punkti p (\displaystyle p) täpselt p + v (\displaystyle p+v). On lihtne näha, et iga liikumine on paralleeltõlke ja teisenduse kompositsioon, mis hoiab ühte punkti paigas. Valides koordinaatide lähtepunktiks fikseeritud punkti, võib iga sellist liikumist käsitleda kui

Loeng 6. Vektorruum.

Peamised küsimused.

1. Vektori lineaarruum.

2. Ruumi alus ja mõõde.

3. Ruumi orientatsioon.

4. Vektori dekomponeerimine baasi järgi.

5. Vektori koordinaadid.

1. Vektori lineaarruum.

Nimetatakse mis tahes laadi elementidest koosnev hulk, milles on määratletud lineaartehted: kahe elemendi liitmine ja elemendi korrutamine arvuga. ruumid, ja nende elemendid on vektorid see ruum ja on tähistatud samamoodi nagu vektorkogused geomeetrias: . Vektorid Sellistel abstraktsetel ruumidel pole reeglina tavaliste geomeetriliste vektoritega midagi ühist. Abstraktsete ruumide elementideks võivad olla funktsioonid, arvude süsteem, maatriksid jne ning konkreetsel juhul tavalised vektorid. Seetõttu nimetatakse selliseid ruume tavaliselt vektorruumid .

Vektorruumid on Näiteks, kollineaarsete vektorite kogum, tähistatud V1 , koplanaarsete vektorite hulk V2 , tavaliste (reaalruumi) vektorite kogum V3 .

Selle konkreetse juhtumi jaoks saame anda vektorruumi järgmise definitsiooni.

Definitsioon 1. Vektorite hulka nimetatakse vektorruum, kui hulga mis tahes vektorite lineaarne kombinatsioon on ka selle hulga vektor. Vektoreid endid nimetatakse elemendid vektorruum.

Nii teoreetiliselt kui ka rakenduslikult olulisem on vektorruumi üldine (abstraktne) mõiste.

2. definitsioon. Trobikond R elemendid, milles summa määratakse iga kahe elemendi ja iga elemendi jaoks, mida nimetatakse https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> vektor(või lineaarne) ruumi, ja selle elemendid on vektorid, kui vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise operatsioonid vastavad järgmistele tingimustele ( aksioomid) :

1) liitmine on kommutatiivne, st.gif" width="184" height="25">;

3) on olemas selline element (nullvektor), et mis tahes https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) mis tahes vektorite ja arvu λ korral kehtib võrdsus;

6) mis tahes vektorite ja arvude jaoks λ Ja µ võrdsus on tõsi: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> ja mis tahes arvud λ Ja µ õiglane ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Lihtsamad aksioomid, mis defineerivad vektorruumi, on järgmised: tagajärjed :

1. Vektorruumis on ainult üks null - element - nullvektor.

2. Vektorruumis on igal vektoril üks vastandvektor.

3. Iga elemendi võrdsus on täidetud.

4. Mis tahes reaalarvu jaoks λ ja nullvektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> on vektor, mis rahuldab võrdsuse https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Seega on kõigi geomeetriliste vektorite hulk lineaarne (vektori)ruum, kuna selle hulga elementide jaoks on defineeritud liitmise ja arvuga korrutamise toimingud, mis vastavad sõnastatud aksioomidele.

2. Ruumi alus ja mõõde.

Vektorruumi põhimõisted on aluse ja dimensiooni mõisted.

Definitsioon. Nimetatakse kindlas järjekorras võetud lineaarselt sõltumatute vektorite kogumit, mille kaudu saab lineaarselt väljendada mis tahes ruumivektorit. alus see ruum. Vektorid. Ruumi aluse komponente nimetatakse põhilised .

Suvalisel sirgel paikneva vektorite hulga aluseks võib pidada selle sirge üheks kollineaarseks vektoriks.

Lennuki alusel nimetame sellel tasapinnal kaht mittekollineaarset vektorit, mis on võetud teatud järjekorras https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Kui baasvektorid on paarikaupa risti (ortogonaalsed), siis nimetatakse baasiks ortogonaalne, ja kui nende vektorite pikkus on võrdne ühega, siis nimetatakse alust ortonormaalne .

Suurimat arvu lineaarselt sõltumatuid vektoreid ruumis nimetatakse dimensioon sellest ruumist, st ruumi mõõde langeb kokku selle ruumi baasvektorite arvuga.

Niisiis, vastavalt nendele määratlustele:

1. Ühemõõtmeline ruum V1 on sirgjoon ja alus koosneb üks kollineaarne vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Tavaline ruum on kolmemõõtmeline ruum V3 , mille alus koosneb kolm mittetasapinnalist vektorid

Siit näeme, et baasvektorite arv sirgel, tasapinnal, reaalruumis langeb kokku sellega, mida geomeetrias tavaliselt nimetatakse sirge, tasandi, ruumi mõõtmete (mõõtme) arvuks. Seetõttu on loomulik võtta kasutusele üldisem määratlus.

Definitsioon. Vektorruum R helistas n– mõõtmetega, kui neid ei ole rohkem kui n lineaarselt sõltumatud vektorid ja tähistatakse R n. Number n helistas dimensioon ruumi.

Vastavalt ruumi mõõtmetele jagatakse lõpliku mõõtmega Ja lõpmatu mõõtmega. Nullruumi dimensioon loetakse definitsiooni järgi võrdseks nulliga.

Märkus 1. Igas ruumis saate määrata nii palju aluseid, kui soovite, kuid kõik antud ruumi alused koosnevad samast arvust vektoritest.

Märkus 2. IN n– dimensioonilises vektorruumis on aluseks mis tahes järjestatud kogum n lineaarselt sõltumatud vektorid.

3. Ruumi orientatsioon.

Laske baasvektorid ruumis V3 on üldine algus Ja tellitud, st näidatakse, millist vektorit peetakse esimeseks, millist teiseks ja millist kolmandaks. Näiteks baasis on vektorid järjestatud vastavalt indekseerimisele.

Selle eest ruumi orienteerimiseks on vaja panna mingi alus ja kuulutada see positiivseks .

Võib näidata, et kõigi ruumi aluste hulk jaguneb kahte klassi, see tähendab kaheks mitteühendatud alamhulgaks.

a) kõik ühte alamhulka (klassi) kuuluvatel alustel on sama orientatsioon (sama nimega alused);

b) mis tahes kaks alust, mis kuuluvad mitmesugused alamhulgad (klassid), on vastupidine orientatsioon, ( erinevad nimed alused).

Kui üks kahest ruumi aluste klassist on kuulutatud positiivseks ja teine ​​negatiivseks, siis öeldakse, et see ruum orienteeritud .

Sageli kutsutakse ruumi orienteerides mingeid aluseid õige, ja teised - vasakule .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> nimetatakse õige, kui kolmanda vektori lõpust vaadeldes on esimese vektori lühim pööre https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > viiakse läbi vastupäeva(Joon. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Riis. 1.8. Parem alus (a) ja vasak alus (b)

Tavaliselt tunnistatakse ruumi õige alus positiivseks aluseks

Ruumi parempoolset (vasakpoolset) alust saab määrata ka "parema" ("vasakpoolse") kruvi või klambri reegli abil.

Selle analoogia põhjal tutvustatakse parema ja vasaku mõistet kolmesed mitte-tasapinnalised vektorid, mis tuleb järjestada (joon. 1.8).

Seega on kahel mitte-tasapinnaliste vektorite järjestatud kolmikul üldjuhul ruumis sama orientatsioon (sama nimi) V3 kui nad on mõlemad parempoolsed või mõlemad vasakpoolsed, ja - vastupidine orientatsioon (vastand), kui üks neist on parem ja teine ​​vasakpoolne.

Sama tehakse ka ruumi puhul V2 (lennuk).

4. Vektori dekomponeerimine baasi järgi.

Arutluse lihtsuse huvides käsitleme seda küsimust kolmemõõtmelise vektorruumi näitel R3 .

Olgu https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> selle ruumi suvaline vektor.

PEATÜKK 8. LINEAARRUUMID § 1. Lineaarruumi mõiste

Üldistades kooligeomeetriast tuntud vektori mõistet, defineerime algebralised struktuurid (lineaarruumid), milles on võimalik konstrueerida n-mõõtmelist geomeetriat, mille erijuhuks saab olema analüütiline geomeetria.

Definitsioon 1. Antud hulk L=(a,b,c,…) ja väli P=( ,…). Olgu defineeritud L-s liitmise algebraline tehe ja määratletud L-i elementide korrutamine välja P elementidega:

Hulk L kutsutakse lineaarne ruum üle välja P, kui on täidetud järgmised nõuded (lineaarruumi aksioomid):

1. L kommutatiivne rühm liitmise suhtes;

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;

5. a L on tõene järgmine võrdsus: 1 a=a (kus 1 on välja P ühik).

Lineaarruumi L elemente nimetatakse vektoriteks (märkame veel kord, et neid tähistatakse ladina tähtedega a, b, c,...) ja välja P elemente numbriteks (tähistame neid kreeka tähtedega α,

Märkus 1. Näeme, et “geomeetriliste” vektorite üldtuntud omadused on võetud lineaarruumi aksioomidena.

Märkus 2. Mõned tuntud algebraõpikud kasutavad arvude ja vektorite jaoks erinevaid tähistusi.

Lineaarruumide põhinäited

1. R 1 on mõne sirge kõigi vektorite hulk.

IN edaspidi nimetame selliseid vektoreidsegmendivektorid sirgjoonel. Kui võtta R kui P, siis ilmselgelt on R1 lineaarne ruum välja R kohal.

2. R 2 , R3 – segmendivektorid tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis. On lihtne näha, et R2 ja R3 on lineaarsed ruumid R kohal.

3. Olgu P suvaline väli. Mõelge komplektile P n) kõik välja P n elemendi järjestatud komplektid:

P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, i=1,2,...,n .

Hulka a=(α1,α2,…,αn) nimetatakse n-mõõtmeliseks rea vektor. Arve i nimetatakse komponentideks

vektor a.

P(n) vektorite puhul rakendame analoogselt geomeetriaga loomulikult arvuga liitmise ja korrutamise toimingud, eeldades mis tahes (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) ja (β1 ,β2 ,..) puhul. .,βn ) P(n) :

(α1,α2,…,αn)+(β1,β2,...,βn)=(α1 +β1,α2 +b2,...,αn +βn),
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) R.

Reavektorite liitmise definitsioonist on selge, et see toimub komponentide kaupa. Lihtne on kontrollida, et P(n) on lineaarne ruum P kohal.

Vektor 0=(0,…,0) on nullvektor (a+0=a a P(n)) ja vektor -a=(-α1,-α2,…,-αn) on a vastand (kuna .a+(-a)=0).

Lineaarruum P(n) nimetatakse reavektorite n-mõõtmeliseks ruumiks ehk n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks.

Märkus 3. Mõnikord tähistame P(n)-ga ka veeruvektorite n-mõõtmelist aritmeetilist ruumi, mis erineb P(n)-st ainult vektorite kirjutamisviisi poolest.

4. Mõelge komplektile M n (P) kõigist n-ndat järku maatriksitest koos elementidega väljast P. See on lineaarne ruum P kohal, kus nullmaatriks on maatriks, milles kõik elemendid on nullid.

5. Vaatleme kõigi muutuja x polünoomide hulka P[x], mille koefitsiendid on väljast P. On lihtne kontrollida, et P[x] on lineaarruum P kohal. Nimetagem sedapolünoomide ruum.

6. Olgu P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) kõigi n-st mitte kõrgemate polünoomide hulk koos

0. See on lineaarne ruum P.P välja kohal n [x] me helistame polünoomide ruum astmega maksimaalselt n.

7. Tähistame Ф-ga reaalmuutuja kõigi sama definitsioonipiirkonnaga funktsioonide hulka. Siis Ф ​​on lineaarne ruum üle R.

IN Selles ruumis võib leida muid lineaarruume, näiteks lineaarfunktsioonide ruumi, diferentseeruvaid funktsioone, pidevaid funktsioone jne.

8. Iga väli on lineaarne ruum iseenda kohal.

Mõned järeldused lineaarruumi aksioomidest

Järeldus 1. Olgu L lineaarruum üle välja P. L sisaldab nullelementi 0 ja L (-a) L (kuna L on liitrühm).

IN Järgnevalt tähistatakse välja P nullelementi ja lineaarruumi L identselt

0. Tavaliselt see segadust ei tekita.

Järeldus 2. 0 a=0 a L (0 P vasakul, 0 L paremal).

Tõestus. Vaatleme α a, kus α on suvaline arv P-st. Meil ​​on: α a=(α+0)a=α a+0 a, kust 0 a= α a +(-α a)=0.

Järeldus 3. α 0=0 α P.

Tõestus. Vaatleme α a=α(a+0)=α a+α 0; seega α 0=0. Järeldus 4. α a=0 siis ja ainult siis, kui α=0 või a=0.

Tõestus. Adekvaatsus tõestatud järeldustes 2 ja 3.

Tõestame vajalikkust. Olgu α a=0 (2). Oletame, et α 0. Siis, kuna α P, siis eksisteerib α-1 P. Korrutades (2) α-1-ga, saame:

α-1 (α a)=α-1 0. Järeldus 2 järgi α-1 0=0, s.o. α-1 (a a) = 0. (3)

Teisest küljest, kasutades lineaarruumi aksioome 2 ja 5, saame: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.

(3) ja (4) järeldub, et a=0. Uurimine on tõestatud.

Esitame järgmised väited ilma tõestuseta (nende paikapidavust on lihtne kontrollida).

Järeldus 5. (-α) a=-α a α P, a L. Järeldus 6. α (-a)=-α a α P, a L. Järeldus 7. α (a–b)=α a–α b α P, a, b L.

§ 2. Vektorite lineaarne sõltuvus

Olgu L lineaarruum üle välja P ja a1 ,a2 ,…as (1) mingi lõplik vektorite hulk L-st.

Hulka a1 ,a2 ,...nagu nimetatakse vektorite süsteemiks.

Kui b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs kui , (αi P), siis öeldakse, et vektor b lineaarselt väljendatud süsteemi (1) kaudu või on lineaarne kombinatsioon süsteemi (1) vektorid.

Nagu analüütilises geomeetrias, saab ka lineaarruumis kasutusele võtta lineaarselt sõltuvate ja lineaarselt sõltumatute vektorisüsteemide mõisted. Teeme seda kahel viisil.

Definitsioon I. Nimetatakse vektorite lõplik süsteem (1) s 2 jaoks lineaarselt sõltuv, kui vähemalt üks selle vektor on teiste lineaarne kombinatsioon. Vastasel juhul (st kui ükski selle vektor ei ole teiste lineaarne kombinatsioon), nimetatakse seda lineaarselt sõltumatu.

Määratlus II. Lõplikku vektorite süsteemi (1) nimetatakse lineaarselt sõltuv, kui on arvude hulk α1 ,α2 ,…,αs , αi P, millest vähemalt üks ei võrdu 0-ga (sellist hulka nimetatakse nullist erinevaks), siis kehtib võrdus: α1 a1 +…+ αs kui =0 (2).

Definitsioonist II võime saada mitu samaväärset lineaarselt sõltumatu süsteemi definitsiooni:

2. definitsioon.

a) süsteem (1) lineaarselt sõltumatu, kui punktist (2) järeldub, et α1 =…=αs =0.

b) süsteem (1) lineaarselt sõltumatu, kui võrdus (2) on täidetud ainult kõigi αi =0 (i=1,…,s) korral.

c) süsteem (1) lineaarselt sõltumatu, kui selle süsteemi mistahes mittetriviaalne vektorite lineaarne kombinatsioon erineb 0-st, st. kui β1 , …,βs on mis tahes nullist erinev arvude hulk, siis β1 a1 +…βs on 0.

Teoreem 1. S 2 korral on lineaarse sõltuvuse I ja II definitsioonid samaväärsed.

Tõestus.

I) Olgu (1) lineaarselt sõltuv definitsiooni I järgi. Siis võime üldistust kaotamata eeldada, et as =α1 a1 +…+αs-1 as-1 . Lisame selle võrdsuse mõlemale poolele vektori (-as). Saame:

0= α1 a1 +…+αs-1 as-1 +(-1) kui (3) (alates 5. järelduse järgi

(–as ) =(-1) as ). Võrdsuses (3) on koefitsient (-1) 0 ja seetõttu on süsteem (1) lineaarselt sõltuv ja definitsiooni järgi

II) Olgu süsteem (1) II definitsiooni järgi lineaarselt sõltuv, s.o. on nullist erinev hulk α1 ,…, αs, mis rahuldab (2). Üldisust kaotamata võime eeldada, et αs 0. Punktis (2) liidame mõlemale poolele (-αs as). Saame:

α1 a1 +α2 a2 +…+αs as - αs as = -αs as , kust α1 a1 +…+αs-1 as-1 = -αs as .

Sest αs 0, siis on αs -1 P. Korrutame võrdsuse (4) mõlemad pooled (-αs -1 ) ja kasutame mõningaid lineaarruumi aksioome. Saame:

(-αs -1 ) (-αs as )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 ), mis on järgmine: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 as-1 =as.

Toome sisse tähise β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Seejärel kirjutatakse ülaltoodud võrdsus ümber järgmiselt:

as = β1 a1 +…+ βs-1 as-1 .

Kuna s 2, on paremal pool vähemalt üks vektor ai. Leidsime, et süsteem (1) sõltub I definitsioonist lineaarselt.

Teoreem on tõestatud.

Teoreemi 1 alusel saame vajadusel s 2 puhul rakendada mis tahes ülaltoodud lineaarse sõltuvuse definitsiooni.

Märkus 1. Kui süsteem koosneb ainult ühest vektorist a1, siis kehtib sellele ainult definitsioon

Olgu a1 =0; siis 1a1 =0. Sest 1 0, siis a1 =0 on lineaarselt sõltuv süsteem.

Olgu a1 0; siis α1 a1 ≠0 iga α1 0 korral. See tähendab, et nullist erinev vektor a1 on lineaarselt sõltumatu

Vektorsüsteemi ja selle alamsüsteemide lineaarse sõltuvuse vahel on olulised seosed.

Teoreem 2. Kui mingi lõpliku vektorite süsteemi alamsüsteem (s.o osa) on lineaarselt sõltuv, siis on lineaarselt sõltuv kogu süsteem.

Selle teoreemi tõestust pole keeruline iseseisvalt teha. Seda võib leida igast algebra või analüütilise geomeetria õpikust.

Järeldus 1. Kõik lineaarselt sõltumatu süsteemi alamsüsteemid on lineaarselt sõltumatud. Saadud teoreemist 2 vastuoluga.

Märkus 2. On lihtne näha, et lineaarselt sõltuvatel süsteemidel võivad olla ka lineaarsed alamsüsteemid

Järeldus 2. Kui süsteem sisaldab 0 või kahte võrdelist (võrdset) vektorit, siis on see lineaarselt sõltuv (kuna 0 või kahe võrdelise vektori alamsüsteem on lineaarselt sõltuv).

§ 3. Maksimaalsed lineaarselt sõltumatud allsüsteemid

Definitsioon 3. Olgu a1, a2,…,ak,…. (1) on lineaarruumi L vektorite lõplik või lõpmatu süsteem. Selle lõplikku alamsüsteemi ai1, ai2, …, air (2) nimetatakse süsteemi alus (1) või maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem see süsteem, kui on täidetud järgmised kaks tingimust:

1) allsüsteem (2) on lineaarselt sõltumatu;

2) kui süsteemi (1) mis tahes vektor аj on määratud alamsüsteemile (2), siis saame lineaarselt sõltuva

süsteem ai1, ai2, …, õhk, aj (3).

Näide 1. Vaatleme ruumis Pn [x] polünoomide süsteemi 1,x1 , …, xn (4). Tõestame, et (4) on lineaarselt sõltumatu. Olgu α0, α1,…, αn sellised arvud P-st, et α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Siis polünoomide võrdsuse definitsiooni järgi α0 =α1 =…=αn =0. See tähendab, et polünoomide süsteem (4) on lineaarselt sõltumatu.

Tõestame nüüd, et süsteem (4) on lineaarruumi Pn [x] alus.

Iga f(x) Pn [x] jaoks on meil: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; seetõttu on f(x) vektorite (4) lineaarne kombinatsioon; siis süsteem 1,x1 , …, xn ,f(x) on lineaarselt sõltuv (definitsiooni I järgi). Seega (4) on lineaarruumi Pn [x] alus.

Näide 2. Joonisel fig. 1 a1, a3 ja a2, a3 – vektorite süsteemi a1,a2,a3 alused.

Teoreem 3. Alamsüsteem (2) ai1 ,…, lõpliku või lõpmatu süsteemi õhk (1) a1 , a2 ,…,as ,… on süsteemi (1) maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem (alus) siis ja ainult siis, kui

a) (2) lineaarselt sõltumatu; b) mis tahes vektorit punktist (1) väljendatakse lineaarselt läbi (2).

Vajadus . Olgu (2) süsteemi (1) maksimaalne lineaarselt sõltumatu alamsüsteem. Siis on 3. definitsioonist täidetud kaks tingimust:

1) (2) lineaarselt sõltumatu.

2) Mis tahes vektori jaoks a j alates (1) on süsteem ai1 ,…, ais ,aj (5) lineaarselt sõltuv. On vaja tõestada, et väited a) ja b) on tõesed.

Tingimus a) langeb kokku 1); seega a) on rahuldatud.

Lisaks on 2) alusel nullist erinev hulk α1,...,αr,β P (6), nii et α1 ai1 +…+αr õhk +βaj =0 (7). Tõestame, et β 0 (8). Oletame, et β=0 (9). Siis (7) saame: α1 ai1 +…+αr õhk =0 (10). Sellest, et hulk (6) on nullist erinev ja β=0, järeldub, et α1 ,...,αr on nullist erinev hulk. Ja siis (10) järeldub, et (2) on lineaarselt sõltuv, mis on vastuolus tingimusega a). See tõestab (8).

Lisades vektori (-βaj) võrdsete (7) mõlemale poolele, saame: -βaj = α1 ai1 +…+αr õhk. Kuna β 0, siis

on β-1 P; korrutage viimase võrrandi mõlemad pooled β-1-ga: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )air =aj . Tutvustame

tähistus: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; seega saime: 1 ai1 +…+ r air =aj ; seega on tingimuse b) rahuldatavus tõestatud.

Vajadus on tõestatud.

Piisav. Olgu täidetud tingimused a) ja b) teoreemist 3. Vaja on tõestada, et definitsiooni 3 tingimused 1) ja 2) on täidetud.

Kuna tingimus a) langeb kokku tingimusega 1), siis 1) on täidetud.

Tõestame, et 2) kehtib. Tingimuse b kohaselt väljendatakse mis tahes vektorit aj (1) lineaarselt läbi (2). Järelikult (5) on lineaarselt sõltuv (definitsiooni järgi 1), st. 2) on täidetud.

Teoreem on tõestatud.

Kommenteeri. Igal lineaarsel ruumil pole alust. Näiteks ruumis P[x] pole alust (muidu oleksid P[x] kõigi polünoomide astmed, nagu tuleneb teoreemi 3 lõigust b, kollektiivselt piiratud).

§ 4. Põhiteoreem lineaarse sõltuvuse kohta. Selle tagajärjed

Definitsioon 4. Olgu kaks lineaarruumi L:a1 ,a2 ,…,al (1) lõplikku vektorite süsteemi

b1,b2,…,bs (2).

Kui süsteemi (1) iga vektorit väljendatakse lineaarselt läbi (2), siis ütleme, et süsteem (1)

väljendatakse lineaarselt läbi (2). Näited:

1. Süsteemi mis tahes alamsüsteem 1 ,…,ai ,…,ak on lineaarselt väljendatud läbi kogu süsteemi, sest

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ak .

2. Iga R2 segmendivektorite süsteemi väljendatakse lineaarselt süsteemi kaudu, mis koosneb kahest mittekollineaarsest tasapinnalisest vektorist.

Definitsioon 5. Kui kaks lõplikku vektorisüsteemi väljendatakse üksteise kaudu lineaarselt, siis nimetatakse neid ekvivalentseteks.

Märkus 1. Vektorite arv kahes ekvivalentsüsteemis võib olla erinev, nagu on näha järgmistest näidetest.

3. Iga süsteem on samaväärne oma alusega (see tuleneb teoreemist 3 ja näitest 1).

4. Suvalised kaks süsteemi R2 segmendivektorid, millest igaüks sisaldab kahte mittekollineaarset vektorit, on samaväärsed.

Järgnev teoreem on lineaarruumide teooria üks olulisemaid väiteid. Põhiteoreem lineaarse sõltuvuse kohta. Olgu lineaarruumis L välja P kohal kaks

vektorsüsteemid:

a1 ,a2 ,…,al (1) ja b1 ,b2 ,…,bs (2) ja (1) on lineaarselt sõltumatud ja väljendatakse lineaarselt läbi (2). Siis l s (3). Tõestus. Peame tõestama ebavõrdsust (3). Oletame vastupidist, olgu l>s (4).

Tingimuse kohaselt on iga vektor ai alates (1) lineaarselt väljendatud süsteemi (2) kaudu:

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .

Teeme järgmise võrrandi: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), kus xi on tundmatud, mis võtavad väärtused väljalt P (i=1,…,s).

Korrutame kõik võrrandid (5) vastavalt x1,x2,…,xl-ga, asendame (6) ja paneme kokku liikmed, mis sisaldavad b1, seejärel b2 ja lõpuks bs. Saame:

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 + α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0.
Proovime leida nullist erineva lahenduse	võrrand (6). Selleks võrdsustame kõik nulliga
koefitsiendid bi jaoks (i=1, 2,…,s) ja koostada järgmine võrrandisüsteem:
α11 x1 + α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 + α22 x2 +…+αl2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.

(8) homogeenne võrrandisüsteem s tundmatute x jaoks 1,…,xl. Ta on alati koostööaldis.

IN Ebavõrdsuse (4) tõttu on selles süsteemis tundmatute arv suurem kui võrrandite arv ja seetõttu, nagu Gaussi meetodist tuleneb, taandatakse see trapetsikujuliseks. See tähendab, et neid on nullist erinevalt

lahendused süsteemile (8). Tähistame ühte neist x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).

Asendades arvud (9) arvu (7) vasakpoolsesse serva, saame: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)

Seega (9) on võrrandi (6) nullist erinev lahend. Seetõttu on süsteem (1) lineaarselt sõltuv ja see on tingimusega vastuolus. Seetõttu on meie eeldus (4) vale ja l s.

Teoreem on tõestatud.

Järeldused lineaarse sõltuvuse põhiteoreemist Järeldus 1. Kaks lõplikku ekvivalentset lineaarselt sõltumatut vektorsüsteemi koosnevad

sama arv vektoreid.

Tõestus. Olgu vektorite (1) ja (2) süsteemid ekvivalentsed ja lineaarselt sõltumatud. Selle tõestamiseks rakendame põhiteoreemi kaks korda.

Sest süsteem (2) on lineaarselt sõltumatu ja lineaarselt väljendatud läbi (1), siis põhiteoreemi l s (11) abil.

Teisest küljest on (1) lineaarselt sõltumatu ja seda väljendatakse lineaarselt läbi (2) ja põhiteoreemi s l (12) kaudu.

(11) ja (12) järeldub, et s=l. Väide on tõestatud.

Järeldus 2. Kui mingis vektorite süsteemis a1 ,…,as ,… (13) (lõplik või lõpmatu) on kaks alust, siis koosnevad need samast arvust vektoridest.

Tõestus. Olgu ai1 ,…,ail (14) ja aj1 ,..ajk (15) süsteemi (13) alused. Näitame, et need on samaväärsed.

Teoreemi 3 kohaselt väljendatakse süsteemi (13) iga vektorit lineaarselt selle aluse (15) kaudu, täpsemalt süsteemi (14) mis tahes vektorit väljendatakse lineaarselt süsteemi (15) kaudu. Samamoodi väljendatakse süsteemi (15) lineaarselt läbi (14). See tähendab, et süsteemid (14) ja (15) on samaväärsed ja järelduse 1 järgi saame: l=k.

Väide on tõestatud.

Definitsioon 6. Lõpliku (lõpmatu) vektorite süsteemi suvalises baasis olevate vektorite arvu nimetatakse selle süsteemi astmeks (kui aluseid pole, siis süsteemi auastet ei eksisteeri).

Järeldus 2, kui süsteemil (13) on vähemalt üks alus, on selle järk ainulaadne.

Märkus 2. Kui süsteem koosneb ainult nullvektoritest, siis eeldame, et selle aste on 0. Kasutades järgu mõistet, saame põhiteoreemi tugevdada.

Järeldus 3. Antud kaks lõplikku vektorite (1) ja (2) süsteemi ning (1) on lineaarselt väljendatud läbi (2). Siis ei ületa süsteemi (1) auaste süsteemi (2) astet.

Tõestus . Tähistame süsteemi (1) auastet r1-ga, süsteemi (2) astet r2-ga. Kui r1 =0, siis väide on tõene.

Olgu r1 0. Siis r2 0, sest (1) väljendatakse lineaarselt läbi (2). See tähendab, et süsteemidel (1) ja (2) on alused.

Olgu a1 ,…,ar1 (16) süsteemi (1) alus ja b1 ,…,br2 (17) süsteemi (2) aluseks. Need on aluse määratluse järgi lineaarselt sõltumatud.

Sest (16) on lineaarselt sõltumatu, siis saab põhiteoreemi rakendada süsteemide paarile (16), (17). Selle järgi

teoreem r1 r2 . Väide on tõestatud.

Järeldus 4. Kahel lõplikul ekvivalentsel vektorisüsteemil on samad auastmed. Selle väite tõestamiseks peame rakendama järeldust 3 kaks korda.

Märkus 3. Pange tähele, et lineaarselt sõltumatu vektorite süsteemi järk on võrdne selle vektorite arvuga (kuna lineaarselt sõltumatus süsteemis kattub selle ainus alus süsteemi endaga). Järeldus 1 on seega 4. järelduse erijuhtum. Kuid ilma selle erijuhtumi tõendamiseta ei saaks me tõestada järeldust 2, juurutada vektorite süsteemi järgu mõistet ja saada järeldust 4.

§ 5. Lõpliku mõõtmega lineaarruumid

Definitsioon 7. Lineaarset ruumi L väljal P nimetatakse lõplikuks mõõtmeliseks, kui L-s on vähemalt üks alus.

Lõpliku mõõtmega lineaarruumide põhinäited:

1. Vektorlõigud sirgel, tasapinnal ja ruumis (lineaarruumid R1, R2, R3).

2. n-mõõtmeline aritmeetiline ruum P(n) . Näitame, et P(n)-s on järgmine alus: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

et =(0,0,…1).

Esmalt tõestame, et (1) on lineaarselt sõltumatu süsteem. Loome võrrandi x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).

Kasutades vektorite (1) vormi, kirjutame võrrandi (2) ümber järgmiselt: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , …,xn )=(0,0,…,0).

Reavektorite võrdsuse määratluse kohaselt on see järgmine:

x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Seetõttu on (1) lineaarselt sõltumatu süsteem. Tõestame, et (1) on ruumi P(n) alus, kasutades teoreemi 3 aluste kohta.

Iga a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn jaoks on meil:

а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n et .

See tähendab, et mis tahes vektorit ruumis P(n) saab lineaarselt väljendada läbi (1). Järelikult on (1) ruumi P(n) alus ja seetõttu on P(n) lõpliku mõõtmega lineaarruum.

3. Lineaarruum Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P).

Lihtne on kontrollida, et ruumi Pn [x] aluseks on polünoomide süsteem 1,x,…,xn. Nii et Pn

[x] on lõpliku mõõtmega lineaarruum.

4. Lineaarruum M n(P). Saab kontrollida, et maatriksite hulk kujul Eij , milles ainus nullist erinev element 1 asub i-nda rea ​​ja j-nda veeru ristumiskohas (i,j=1,…,n) , moodustavad aluse Mn (P).

Lõplike mõõtmete lineaarruumide lineaarse sõltuvuse põhiteoreemi järeldused

Koos põhilise lineaarse sõltuvuse teoreemi 1–4 järelmõjudega saab sellest teoreemist saada veel mitmeid olulisi väiteid.

Järeldus 5. Lõplikumõõtmelise lineaarruumi mis tahes kaks alust koosnevad samast arvust vektoritest.

See väide on kogu lineaarruumile rakendatud põhilise lineaarse sõltuvuse teoreemi järelduse 2 erijuhtum.

Definitsioon 8. Lõplikumõõtmelise lineaarruumi L suvalise baasi vektorite arvu nimetatakse selle ruumi mõõtmeks ja tähistatakse dim L-ga.

5. järelduse kohaselt on igal lõpliku mõõtmega lineaarruumil ainulaadne mõõde. Definitsioon 9. Kui lineaarruumi L mõõde on n, siis nimetatakse seda n-mõõtmeliseks

lineaarne ruum. Näited:

1. dim R1 = 1;

2. dimR2 =2;

3. dimP (n) =n, st. P(n) on n-mõõtmeline lineaarruum, sest ülaltoodud näites 2 on näidatud, et (1) on aluseks

P(n);

4. dimP n [x]=(n+1), sest nagu on lihtne kontrollida, on 1,x,x2 ,…,xn selle ruumi n+1 vektori alus;

5. dimM n (P)=n2, sest näites 4 näidatud kujul Eij on täpselt n2 maatriksit.

Järeldus 6. N-mõõtmelises lineaarruumis L moodustavad kõik n+1 vektorid a1 ,a2 ,…,an+1 (3) lineaarselt sõltuva süsteemi.

Tõestus. Ruumi mõõtme definitsiooni järgi L-s on n vektori alus: e1 ,e2 ,…,en (4). Vaatleme süsteemide paari (3) ja (4).

Oletame, et (3) on lineaarselt sõltumatu. Sest (4) on L alus, siis saab ruumi L suvalist vektorit lineaarselt väljendada läbi (4) (teoreemi 3 järgi §3-st). Täpsemalt, süsteem (3) on lineaarselt väljendatud läbi (4). Eeldusel (3) on see lineaarselt sõltumatu; siis saab lineaarse sõltuvuse põhiteoreemi rakendada süsteemide paarile (3) ja (4). Saame: n+1 n, mis on võimatu. Vastuolu tõestab, et (3) on lineaarselt sõltuv.

Uurimine on tõestatud.

Märkus 1. Järeldusest 6 ja teoreemist 2 punktist 2 saame, et n-mõõtmelises lineaarruumis on iga lõplik vektorite süsteem, mis sisaldab rohkem kui n vektorit, lineaarselt sõltuv.

Sellest märkusest järeldub

Järeldus 7. N-mõõtmelises lineaarruumis sisaldab iga lineaarselt sõltumatu süsteem maksimaalselt n vektorit.

Märkus 2. Seda väidet kasutades saame kindlaks teha, et mõned lineaarruumid ei ole lõplikud mõõtmed.

Näide. Vaatleme polünoomide P[x] ruumi ja tõestame, et see ei ole lõplike mõõtmetega. Oletame, et dim P[x]=m, m N. Vaatleme 1, x,…, xm – (m+1) vektorite kogumit P[x]-st. See vektorite süsteem, nagu eespool märgitud, on lineaarselt sõltumatu, mis on vastuolus eeldusega, et P[x] mõõde on võrdne m-ga.

Lihtne on kontrollida (kasutades P[x]), et lõplike mõõtmetega lineaarruumid ei ole reaalse muutuja kõigi funktsioonide ruumid, pidevate funktsioonide ruumid jne.

Järeldus 8. Selle ruumi baasiks võib täiendada mis tahes lõplikku lineaarselt sõltumatut lõpliku mõõtmelise lineaarruumi L vektorite a1 , a2 ,…,ak (5) süsteemi.

Tõestus. Olgu n=dim L. Vaatleme kahte võimalikku juhtumit.

1. Kui k=n, siis a 1 , a2 ,…,ak on lineaarselt sõltumatu n vektori süsteem. Järeldus 7, mis tahes b L korral on süsteem a1 , a2 ,…,ak , b lineaarselt sõltuv, st. (5) – alus L.

2. Olgu k n. Siis süsteem (5) ei ole L-i alus, mis tähendab, et on olemas vektor a k+1 L, et a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) on lineaarselt sõltumatu süsteem. Kui (k+1)

7. järelduse kohaselt lõpeb see protsess pärast piiratud arvu etappe. Saame lineaarruumi L baasi a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an, mis sisaldab (5).

Uurimine on tõestatud.

Järeldusest 8 tuleneb see

Järeldus 9. Lõpliku mõõtmega lineaarruumi L iga nullist erinev vektor sisaldub mingis baasis L (kuna selline vektor on lineaarselt sõltumatu süsteem).

Siit järeldub, et kui P on lõpmatu väli, siis lõpliku mõõtmega lineaarruumis üle välja P on lõpmatult palju aluseid (kuna L-s on lõpmatult palju vektoreid kujul a, a 0, P\0).

§ 6. Lineaarruumide isomorfism

Definitsioon 10. Kaht lineaarset ruumi L ja L` ühel väljal P nimetatakse isomorfseks, kui esineb bijektsioon: L L`, mis vastab järgmistele tingimustele:

1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L,

2. (a) = (a) P, a L.

Sellist kaardistamist ennast nimetatakse isomorfismiks või isomorfne kaardistamine.

Isomorfismide omadused.

1. Isomorfismi korral muutub nullvektor nulliks.

Tõestus. Olgu a L ja: L L` isomorfism. Kuna a=a+0, siis (a)= (a+0)= (a)+ (0).

Sest (L)=L` siis viimasest võrratusest on selge, et (0) (tähistame seda 0`-ga) on nullvektor

2. Isomorfismiga muundub lineaarselt sõltuv süsteem lineaarselt sõltuvaks süsteemiks. Tõestus. Olgu a1 , a2 ,…,as (2) mingi lineaarselt L-st sõltuv süsteem.

nullist erinev arvude 1 ,…, s (3) hulk P-st, nii et 1 a1 +…+ s kui =0. Alutagem selle võrdsuse mõlemad pooled isomorfsele kaardistamisele. Võttes arvesse isomorfismi määratlust, saame:

1 (a1 )+…+ s (as )= (0)=0` (kasutasime omadust 1). Sest hulk (3) on nullist erinev, siis viimasest võrratusest järeldub, et (1),..., (s) on lineaarselt sõltuv süsteem.

3. Kui: L L` on isomorfism, siis -1 : L` L on samuti isomorfism.

Tõestus. Kuna on bijektsioon, siis on bijektsioon -1 : L` L. Peame tõestama, et kui a`,

Kuna tegemist on isomorfismiga, siis a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). See tähendab:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)).

Alates (5) ja (6) on meil -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`).

Samamoodi kontrollitakse, et -1 (a`)= -1 (a`). Niisiis, -1 on isomorfism.

Kinnistu on tõendatud.

4. Isomorfismiga muundub lineaarselt sõltumatu süsteem lineaarselt sõltumatuks süsteemiks. Tõestus. Olgu: L L` on isomorfism ja a1, a2,…,as (2) on lineaarselt sõltumatu süsteem. Nõutud

tõesta, et (a1), (a2),…, (as) (7) on samuti lineaarselt sõltumatu.

Oletame, et (7) on lineaarselt sõltuv. Siis, kui kuvatakse -1, läheb see süsteemi a1,...,as.

Omaduse 3 järgi on -1 isomorfism ja siis omaduse 2 järgi on süsteem (2) samuti lineaarselt sõltuv, mis on tingimusega vastuolus. Seetõttu on meie oletus vale.

Kinnistu on tõendatud.

5. Isomorfismiga läheb iga vektorite süsteemi alus selle kujutiste süsteemi alusesse. Tõestus. Olgu a1 , a2 ,…,as ,… (8) lineaarvektorite lõplik või lõpmatu süsteem

ruum L, : L L` on isomorfism. Olgu süsteemil (8) alus ai1 , …,air (9). Näitame, et süsteem

(a1),…, (ak),… (10) omab alust (ai1),…, (air) (11).

Kuna (9) on lineaarselt sõltumatu, siis omaduse 4 järgi on süsteem (11) lineaarselt sõltumatu. Määrame (11)-le mistahes vektorist (10); saame: (ai1), …, (õhk), (aj) (12). Vaatleme süsteemi ai1 , …,air , aj (13). See on lineaarselt sõltuv, kuna (9) on süsteemi (8) alus. Kuid (13) muutub isomorfismi all ümber (12). Kuna (13) on lineaarselt sõltuv, siis omaduse 2 järgi on lineaarselt sõltuv ka süsteem (12). See tähendab, et (11) on süsteemi (10) alus.

Rakendades omadust 5 kogu lõplikule mõõtmelisele lineaarruumile L, saame

Väide 1. Olgu L n-mõõtmeline lineaarruum üle välja P, : L L` isomorfism. Siis on L` ka lõplike mõõtmetega ruum ja dim L`= dim L = n.

Eelkõige on tõene väide 2. Kui lõpliku mõõtmega lineaarruumid on isomorfsed, siis on nende mõõtmed võrdsed.

Kommenteeri. Paragrahvis 7 tehakse kindlaks ka selle väite vastupidise kehtivus.

§ 7. Vektori koordinaadid

Olgu L lõpliku mõõtmega lineaarruum üle välja P ja e1 ,...,en (1) on mingi L baas.

Definitsioon 11. Olgu a L. Avaldame vektorit a läbiva baasi (1), s.o. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). Kutsutakse veergu (1,…, n)t (3). koordinaatide veerg vektor a aluses (1).

Vektori a koordinaatide veergu aluses e tähistatakse ka [a], [a]e või [1,.., n].

Nagu analüütilises geomeetrias, tõestatakse vektori ekspressiooni unikaalsust läbi aluse, s.t. vektori koordinaatide veeru unikaalsus antud baasis.

Märkus 1. Mõnes õpikus käsitletakse koordinaatide veergude asemel koordinaatjooni (näiteks raamatus). Sellisel juhul näevad seal saadud valemid koordinaatide veergude keeles teistsugused välja.

4. teoreem. Olgu L n-mõõtmeline lineaarruum üle välja P ja (1) mingi L baas. Vaatleme vastendust: a (1,..., n)t, mis seob mis tahes vektori a-st L-st oma koordinaatide veeruga. alusel (1). Siis on ruumide L ja P(n) isomorfism (P(n) on veeruvektorite n-mõõtmeline aritmeetiline ruum).

Tõestus . Kaardistamine on ainulaadne tänu vektori koordinaatide unikaalsusele. Seda on lihtne kontrollida, kas bijektsioon ja (a)= (a), (a)+ (b)= (a+b). See tähendab isomorfismi.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1. Lõplikumõõtmelise lineaarruumi L vektorite süsteem a1 ,a2 ,…,as on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui nende vektorite koordinaatide veergudest koosnev süsteem ruumi L mõnes aluses on lineaarselt sõltuv.

Selle väite kehtivus tuleneb teoreemist 1 ning isomorfismi teisest ja neljandast omadusest. Märkus 2. Järeldus 1 võimaldab meil uurida vektorsüsteemide lineaarse sõltuvuse küsimust

piiratud mõõtmelises lineaarruumis saab taandada sama küsimuse lahendamisele teatud maatriksi veergude puhul.

Teoreem 5 (lõpliku mõõtmega lineaarruumide isomorfismi kriteerium). Ühe välja P kaks lõpliku mõõtmega lineaarruumi L ja L` on isomorfsed siis ja ainult siis, kui neil on sama mõõde.

Vajadus. Olgu L L` §6 väite 2 kohaselt langeb L mõõde kokku L1 mõõtmega.

Adekvaatsus. Olgu hämar L = hämar L`= n. Seejärel saame teoreemi 4 alusel: L P(n)		ja L'P(n) . Siit
ei ole raske saada, et L L`.
Teoreem on tõestatud.
Märge. Järgnevalt tähistame n-mõõtmelist lineaarruumi sageli Ln-ga.
§ 8. Üleminekumaatriks
Definitsioon 12. Laske lineaarruumis Ln	antakse kaks alust:
e= (е1,...еn) ja e`=(e1`,...,e`n) (vana ja uus).
Laiendame aluse e` vektorid baasiks e:
e`1 =t11 e1 +…+tn1 et
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn et .

t11………t1n

T= ………………

tn1………tnn

helistas üleminekumaatriks alusest e aluseni e`.

Pange tähele, et võrdusi (1) on mugav kirjutada maatriksi kujul järgmiselt: e` = eT (2). See võrdsus on samaväärne üleminekumaatriksi määratlemisega.

Märkus 1. Sõnastame üleminekumaatriksi koostamise reegli: üleminekumaatriksi koostamiseks alusest e alusesse e` on vaja, et kõik uue aluse e` vektorid ej` leiaksid oma koordinaatide veerud. vana alus e ja kirjuta need maatriksi T vastavate veergudena.

Märkus 2. Raamatus on üleminekumaatriks koostatud ridade kaupa (vanas uue aluse vektorite koordinaatridadest).

Teoreem 6. Üleminekumaatriks n-mõõtmelise lineaarruumi Ln ühelt aluselt üle välja P selle teisele alusele on n-ndat järku mittedegenereerunud maatriks välja P elementidega.

Tõestus. Olgu T üleminekumaatriks baasilt e baasile e`. Maatriksi T veerud on definitsiooni 12 järgi aluse e` vektorite koordinaatveerud baasis e. Kuna e` on lineaarselt sõltumatu süsteem, siis 4. teoreemi järelduse 1 järgi on maatriksi T veerud. on lineaarselt sõltumatud ja seetõttu |T|≠0.

Teoreem on tõestatud.

Ka vastupidine on tõsi.

Teoreem 7. Iga n-ndat järku mitte-mandunud ruutmaatriks välja P elementidega toimib üleminekumaatriksina n-mõõtmelise lineaarruumi Ln ühest baasist üle välja P mõnele teisele alusele Ln.

Tõestus . Olgu lineaarruumi L ja mitteainsuse ruutmaatriksi alus e = (e1, ..., en) antud

Т= t11………t1n

tn1………tnn

n-ndat järku elementidega väljast P. Lineaarruumis Ln vaatleme järjestatud vektorite süsteemi e`=(e1 `,…,e`n), mille jaoks maatriksi T veerud on baasi e koordinaatide veerud. .

Vektorite süsteem e` koosneb n vektorist ja on teoreemi 4 järelduse 1 tõttu lineaarselt sõltumatu, kuna mitteainsuse maatriksi T veerud on lineaarselt sõltumatud. Seetõttu on see süsteem lineaarruumi Ln aluseks ning süsteemivektorite e` valiku tõttu kehtib võrdsus e`=eT. See tähendab, et T on üleminekumaatriks baasilt e baasile e`.

Teoreem on tõestatud.

Vektori a koordinaatide seos erinevates alustes

Olgu alused e=(е1,...еn) ja e`=(e1`,...,e`n) antud lineaarruumis Ln üleminekumaatriksiga T aluselt e baasile e` , st. (2) on tõsi. Vektoril a on koordinaadid alustes e ja e` [a]e =(1 ,…, n)T ja [a]e` =(1 `,…,

n `)T , st. a=e[a]e ja a=e`[a]e` .

Siis ühelt poolt a=e[a]e ja teiselt poolt a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (kasutasime võrdsus (2)). Nendest võrdustest saame: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Sellest tulenevalt baasi vektori laienemise unikaalsusest

See tähendab võrdsust [a]e =Т[a]e` (3) või

	n` .

Nimetatakse seoseid (3) ja (4). koordinaatide teisendusvalemid kui lineaarruumi alus muutub. Need väljendavad vanu vektorkoordinaate uutena. Neid valemeid saab lahendada uute vektori koordinaatide suhtes, korrutades (4) vasakul T-1-ga (selline maatriks on olemas, kuna T on mitteainsuse maatriks).

Siis saame: [a]e` =T-1 [a]e . Seda valemit kasutades, teades vektori koordinaate lineaarruumi Ln vanas baasis e, leiate selle koordinaadid uues baasis e`.

§ 9. Lineaarruumi alamruumid

Definitsioon 13. Olgu L lineaarruum üle välja P ja H L. Kui H on samade tehete suhtes nagu L, siis H on nn. alamruum lineaarne ruum L.

Väide 1. Lineaarruumi L alamhulk H väljal P on L alamruum, kui on täidetud järgmised tingimused:

1. h1 +h2H mis tahes h1, h2H korral;

2. h H mis tahes h H ja P jaoks.

Tõestus. Kui H-s on täidetud tingimused 1 ja 2, siis välja P elementidega liitmine ja korrutamine on määratud H-s. Enamiku lineaarruumi aksioomide kehtivus H jaoks tuleneb nende kehtivusest L puhul. Kontrollime mõnda neist:

a) 0 h=0 H (tingimuse 2 tõttu);

b) h H meil on: (-h)=(-1)h H (tingimusest 2).

Väide on tõestatud.

1. Iga lineaarruumi L alamruumid on 0 ja L.

2. R 1 – segmendivektorite ruumi R2 alamruum tasapinnal.

3. Reaalse muutuja funktsioonide ruumil on eelkõige järgmised alamruumid:

a) lineaarfunktsioonid kujul ax+b;

b) pidevad funktsioonid; c) diferentseeruvad funktsioonid.

Üks universaalne viis mis tahes lineaarse ruumi alamruumide tuvastamiseks on seotud lineaarse kere kontseptsiooniga.

Definitsioon 14. Olgu a1 ,…as (1) suvaline lõplik vektorite süsteem lineaarruumis L. Kutsume lineaarne kest selle süsteemikomplekti ( 1 a1 +…+ s as | i P) = . Süsteemi (1) lineaarne kest on tähistatud ka L(a1 ,…,as ).

Teoreem 8. Lineaarruumi L mis tahes lõpliku vektorite süsteemi (1) lineaarne kere H on lineaarruumi L lõplike mõõtmetega alamruum. Süsteemi (1) alus on ka H baas ja mõõde H võrdub süsteemi (1) astmega.

Tõestus. Olgu H= . Lineaarse kere definitsioonist järeldub kergesti, et on täidetud väite 1 tingimused 1 ja 2. Selle väite kohaselt on H lineaarruumi L alamruum. Alusena olgu ai1 ,….,air (2) süsteemist (1). Siis on meil: mis tahes vektorit h H väljendatakse lineaarselt läbi (1) - lineaarse kesta definitsiooni järgi ja (1) väljendatakse lineaarselt läbi selle aluse (2). Kuna (2) on lineaarselt sõltumatu süsteem, on see N aluseks. Kuid vektorite arv (2) võrdub süsteemi (1) astmega. See tähendab dimH=r.

Teoreem on tõestatud.

Märkus 1. Kui H on lineaarruumi L lõpliku mõõtmega alamruum ja h1 ,...,hm on H alus, siis on lihtne näha, et H=

. See tähendab, et lineaarsed kestad on universaalne viis lineaarsete ruumide lõplike mõõtmetega alamruumide konstrueerimiseks.

Definitsioon 15. Olgu A ja B lineaarruumi L kaks alamruumi väljal P. Nimetagem nende summat A+B järgmiseks hulgaks: A+B=(a+b| a A, b B).

Näide. R2 on alamruumide OX (teljevektorid OX) ja OY summa. Järgmist on lihtne tõestada

Väide 2. Lineaarruumi L kahe alamruumi summa ja lõikepunkt on L alamruumid (piisab, kui kontrollida väite 1 tingimuste 1 ja 2 täitmist).

Õiglane

Teoreem 9. Kui A ja B on lineaarruumi L kaks lõpliku mõõtmega alamruumi, siis dim(A+B)=dimA+ dimB–dim A B.

Selle teoreemi tõestuse võib leida näiteks in.

Märkus 2. Olgu A ja B lineaarruumi L kaks lõpliku mõõtmega alamruumi. Nende summa A+B leidmiseks on mugav kasutada A ja B definitsiooni lineaarsete keredena. Olgu A= , V= . Siis on lihtne näidata, et A + B = . Mõõde A+B on vastavalt ülaltoodud teoreemile 7 võrdne süsteemi a1,…,am, b1,…,bs auastmega. Seega, kui leiame selle süsteemi aluse, leiame ka hämara (A+B).