Урок "Арккосинус. Решение уравнения cost = а". Арккосинус. Решение уравнения cos t = a Уравнение косинус х равно а уроки
Арккосинус числа а . Решение уравнений cos x = a .
Предмет: алгебра и начала анализа
Класс: 10.
Тема урока: Арккосинус числа а . Решение уравнений cos x = a .
Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.
Оборудование: компьютер, интерактивный доска, раздаточный материал, карточки по рефлексии учебной деятельности (у каждого ученика), плакат с единичной окружностью.
Цели:
Обучающие : ввести понятие арккосинуса числа а; выработать навык вычисления арксинуса числа а ; вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a ; научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений; изучить частные случай решения тригонометрических уравнений при а равном 0, – 1, 1.
Развивающие : развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения; развивать способность аргументировать свои утверждения; развивать умения классифицировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.
Воспитательные : обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе; воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки; воспитывать трудолюбие и целеустремленность.
Ход урока.
1. Организационный момент , 2 мин.
Учитель. Здравствуйте ребята. Сегодня на уроке мы будем учиться. (Слайд 1)
а) кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;
б) аргументировать утверждения;
в) сравнивать, анализировать и делать выводы;
г) оценивать результаты своей учебной деятельности.
Мы помним, что каждый ученик, как всегда, имеет право (запись на доске):
высказывать свое мнение и быть услышанным;
самостоятельно планировать домашнюю самоподготовку;
знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы.
2. Актуализация знаний , 3-4 мин.
Устный счет.
Задания проецируются на интерактивный экран. (Слайд 2 )
1. Вычислить значения: cos ; cos ; cos .
,, принадлежат какой четверти?Точки единичной окружности ,, принадлежат 1 четверти?
Косинус какого угла есть величина положительная?
Если угол принадлежит 1 четверти.
Вывод. Косинус острого угла есть величина положительная.
2. Вычислить значения: cos ; cos ; cos .
,, принадлежат какой четверти?Точки единичной окружности ,, принадлежат 2 четверти.
Косинус какого угла есть величина отрицательная?
Если угол принадлежит 2 четверти.
Вывод. Косинус тупого угла величина отрицательная.
3. Косинус какого угла равен
; 0; ; 1; ; –; –, если
?
3. Проверка домашней работы , 3-4мин.
3 учащихся заранее готовят на доске решения уравнений. Объяснение ведется по единичной окружности.
1 ученик
cos t = ,
t
=
+ 2π
k
, где
k
Z
.
Ответ:
t
=
+ 2π
k
,
где
k
Z
.
2 ученик
cos t = 1,5,
не имеет решения т.к. – 1≤ а ≤1.
Ответ: нет решений.
cos t = 1,
t = 2 π k , где k Z .
Ответ : t = 2π k , где k Z .
3 ученик
cos t = 0,
t = + π k , где k Z .
Ответ: t = + π k , k Z .
cos t = – 1,
t = π + 2π k , где k Z .
Ответ: t = π + 2π k , где k Z .
4. Изучение нового материала , 13-15 мин.
cos t = .На доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = , все остальные учащиеся слушают. Пример и единичная окружность записаны заранее.
Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности.
t = t 1 +2π k ,
t = t 2 +2π k , где kZ .
Т.к. t 1= – t 2, то t = ± t 1 +2π k , где kZ .
Является ли эта запись ответом решения уравнения?
Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t 1 .
Учитель.
Что это за число t
1
, пока неизвестно, ясно только то, что t
1
. Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arc
с
os
а
, который читается: арккосинус а
.
Запишем тему сегодняшнего урока: «Арккосинус числа а . Решение уравнений cos t = a ».
(Слайды 3, 4)
Учитель. Сегодня на уроке мы изучим понятие арккосинус числа а, научимся его вычислять и применять при решении простейших тригонометрических уравнений. (Слайд 3)
Arcus в переводе с латинского значит дуга , сравните со словом арка . Символ arc сos а , введенный математиками, содержит знак (arc ) , с os а – напоминание об исходной функции. (Слайд 4)
Открываем учебник на стр.89 и читаем определение арккосинуса.
Ученики открывают учебник и читают по книге определение, выделяя главное.
Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления.
Фронтальная работа с классом.
Косинус какого числа равен а ?
Применяя изученное определение, найдите значение выражения:
arccos ( ); arc с os ( ); arc с os ( ).
(Слайд 5)
arccos ( ) = ;
arc с os ( ) = ;
а rc с os ( ) =
Все значения а принадлежат отрезку от – 1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а ?
Значения arcos а принадлежат отрезку от 0 до .
А как же вычислить значение arccos (– а) ? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arcos (– а) (Читаем и выделяем формулу).
Вычислить: arccos (– ); arc с os (– );
а rc с os (– ). (Слайд 6)
arccos (– )= ;
а r с cos (– ) = ;
а r с cos (– ) =
Все значения (– а) принадлежат отрезку от – 1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos (–а) ?
Запишите справочный материал. (Слайд 6)
Значения arc с os (–а) принадлежат отрезку от до π .
Учащиеся записывают формулу в тетрадь.
Вычисляем по слайду на интерактивной доске.
Задание. Найти значение выражения:
а ) arccos () – arccos (–) + + arcos 1; ( Слайд 7)
б ) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (–) ( Слайд 8)
5. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой). (Слайд 9)
2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочка, затем сдают их на проверку.
cos t = , которое решала…. Зная понятия арккосинуса, теперь мы можем записать ответ решения этого уравнения следующим образом.cos t = .
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ
ДЕПОРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА НОЯБРЬСКА
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №7
МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД НОЯБРЬСК»
Методическая разработка
урока алгебры(10 класс)
Тема: «Арккосинус числа а.
Решение уравнений cos x = a»
Учитель математики,
г.Ноябрьск
2009 г Урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.
Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.
Тема урока: Арккосинус числа а. Решение уравнений cos x = a.
Цели урока:
- Обучающие:
а) ввести понятие арккосинуса числа а;
б) выработать навык вычисления арксинуса числа а;
в) вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a;
г) научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений;
д) изучить частные случай решения тригонометрических уравнений при а равном 0, -1, 1.
- Развивающие:
а) развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения ;
б) развивать способность аргументировать свои утверждения;
в) развивать умения классифицировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.
3.Воспитательные:
а) обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе,
б) воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки;
в) воспитывать трудолюбие и целеустремленность.
Оборудование: компьютер, интерактивный доска, раздаточный материал, карточки по рефлексии учебной деятельности (у каждого ученика), плакат с единичной окружностью.
Запись на доске :
Каждый ученик имеет право:
- Знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы.
Ход урока:
- Организационный момент (2 мин)
Учитель: Здравствуйте ребята.
Сегодня на уроке мы будем учиться (Слайд 1)
а) кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;
б) аргументировать утверждения;
в) сравнивать, анализировать и делать выводы;
г) оценивать результаты своей учебной деятельности.
Мы помним, что каждый ученик, как всегда, имеет право:
- Высказывать свое мнение и быть услышанным;
- Самостоятельно планировать домашнюю самоподготовку;
- Знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы (запись на доске)
2.Актуализация знаний (3-4 мин)
Устный счет (задания проецируются на интерактивный экран (Слайд 2 )
Учитель | Ученик |
Точки единичной окружности , , принадлежат какой четверти? | Точки единичной окружности , , принадлежат 1четверти? |
Косинус какого угла есть величина положительная? Вывод: Косинус острого угла есть величина положительная. | Если угол принадлежит 1 четверти |
2. Вычислить значения: cos ; cos ; cos
Учитель | Ученик |
Точки единичной окружности , , принадлежат какой четверти? | Точки единичной окружности , , принадлежат 2 четверти. |
Косинус какого угла есть величина отрицательная? Вывод: Косинус тупого угла величина отрицательная | Если угол принадлежит 2 четверти |
2.Косинус какого угла равен ; 0; ; 1; ; - ; - , если ?
3. Проверка домашней работы (3-4мин) (3 учащихся заранее готовят на доске решения уравнений с помощью единичной окружности)
1 ученик
t = +2πk , где k Z (объяснение ведется по единичной окружности)
Ответ: t = +2πk , где k Z .
2 ученик
- cos t = 1,5,
Не имеет решения т.к. -1≤а≤1
Ответ: нет решений .
- cos t = 1,
T = 2πk, где k Z.
Ответ:t = 2πk, где k Z.
3 ученик
- cos t = 0,
t = + πk, k ;
Ответ: t = + πk, k ;
- cos t = -1,
t = π + 2πk, k .
Ответ: t = π + 2πk, k .
4.Изучение нового материала (13-15 мин)
Учитель | Ученик |
Теперь решим уравнение cos t = . | на доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = , все остальные учащиеся слушают (пример и единичная окружность записаны заранее) Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности. t = t 1 +2πk, t = t 2 +2πk, где k Z, т.к. t 1= - t 2, то t = ± t 1 +2πk, где k Z, |
Является ли эта запись ответом решения уравнения? | Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t 1. |
Учитель: Что это за число t 1 , пока неизвестно, ясно только то, что t 1 . Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arcсos а , который читается: арккосинус а .
Запишем тему сегодняшнего урока: «Арккосинус числа а. Решение уравнений cos t = a» (Слайд 3,4)
Учитель | Ученик |
Значит, вычисляя арккосинус числа а, какой нужно себе задать вопрос? | Косинус какого числа равен а? |
Применяя изученное определение, найдите значение выражения arccos (); arcсos() arcсos() (Слайд 5) | arccos () = arcсos() = arcсos() = |
Все значения а принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а? | Значения arccosа принадлежат отрезку от 0 до |
А как же вычислить значение arccos(–а)? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arccos(–а ) (читаем и выделяем формулу). (Слайд 6) Вычислить: arccos (- ); arcсos(- ); arcсos(- ); (Слайд 6) | arccos (- )= arсcos(- ) = arсcos(- ) = |
Все значения (-а) принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos(–а ) ? Запишите справочный материал (слайд 6) | Значения arcсos(-а) принадлежат отрезку от до π Учащиеся записывают формулу в тетрадь. |
Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления (фронтальная работа с классом)
Вычисляем по слайду на интерактивной доске
Задание |
Найти значение выражения: (Слайд 7) а) arccos ()- arccos (- )+ + arcos1 |
б) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (- ) (Слайд 8) |
5. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой) (Слайд 9)
2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочка, затем сдают их на проверку
Учитель | Ученик |
Вернемся к уравнению cos t = . которое решала…. Зная понятия арккосинуса, теперь мы можем записать ответ решения этого уравнения следующим образом. cos t = . t = ±arccos + 2πk , где k Z . Ответ: t = ±arccos + 2πk , где k Z Мы решили уравнение двумя способами: с помощью единичной окружности и с помощью формулы. | Записывают в тетради решение за учителем |
Итак, запишем справочный материал и выделим его решением уравнения (Слайд 10) cos t = a, где а . t = ± arcсos а + 2πk, k . Ответ: t = ± arcсos а + 2πk, k . | Записывают в тетради модель решения уравнения за учителем |
6. Закрепление изученного материала (13мин)
№ 15.5 (б,г), 15.6 (а, б).
(2 ученика работают индивидуально у доски)
1 уч.: а) cos t = ; б) cos t = - ;
2 уч: а) cos t = ; б) cos t = . (обратить внимание на этот пример, выполняя оценку числа )
Решите уравнение:
№15.5(б,г)
б) cos t = .
г) cos t = ;
15.6 (а,б)
а) cos t = 1; (обратить внимание на ответ и выделить частные случаи)
б) cos t = -
7. Подведение итогов урока (рефлексия ).(3-4мин)
(устная фронтальная работа с классом)
Учитель | Ученик |
Какие новые понятия вы изучили на уроке? | Мы узнали новое понятие арккосинус а. |
Какой новый способ решения простейших тригонометрических уравнений мы рассмотрели на уроке? | С помощью формул |
Еще раз внимательно просмотрите записанный нами справочный материал. Закройте тетради, возьмите тест на партах, каждый свой вариант и заполните пропуски. На эту работу у вас есть 3 минуты (взаимопроверка) (после 3- минут работы учащиеся меняются листочками и проверяют правильность, ответы проецируются на интерактивную доску) (черным шрифтом выделены пропущенные места теста) | Выполняют тест (Слайд 11) |
Сейчас вы определили пробелы в своих знаниях, и прошу дома на это обратить внимание. |
8.Домашнее задание (дифференцированное) (1мин) (Слайд 12)
Учител: Мы изучили учебный материал обязательного уровня и решали задания уровня В тестирования в формате ЕГЭ, в то же время вам предложено решить тригонометрические уравнения, приводимые к простейшим
§16, №15.3, 15.4,15.5(в,г), 15.6(в,г), *15.12
Предварительный просмотр:
Вычислить: а rc с os - arc с os + + а rc с os 1 =
Вычислить: 2) 2 а rc с os 0 + 3 arc с os 1 - arc с os =
Самостоятельная работа № 15.1(а,б,в), 15.2(в,г)
cos t = a , где а ϵ [-1;1] t = ± arc с os а + 2 π k, k ϵ Z Ответ: ± arc с os а + 2π k , k ϵ Z № 15.5(б), 15.6(б), 15.5(г), 15.6(а)
1 вариант 2 вариант Если а ϵ [-1;1], то arc с os а – такое число из отрезка [ 0; π ] , косинус которого равен а. если в ϵ [-1;0], то arc с os в ϵ если а ¢ [-1;1], то уравнение cos t = а решений не имеет если cos t = 1, то t = 2π k , k ϵ Z ; если а ϵ , то ar с cos а ϵ если а ϵ , то ar с cos (-а)= π- ar с cos а если cos t = 0, то t = + π k , k ϵ Z ; если а ϵ [-1;1], то уравнение cos t = а имеет решения t = ± arc с os а + 2π k , k ϵ Z
Домашнее задание §16, №15.3, 15.4, 15.5(в,г), 15.6(в,г), *15.12
спасибо за урок
Если | а | 1, то уравнение cos t = а не имеет действительных корней
Частные случаи если cos t = 1 , то t = 2 π k , k ϵ Z если cos t = -1 , то t = π + 2 π k , k ϵ Z если cos t = 0 , то t = + π k , k ϵ Z
Урок к разделу: «Тригонометрические уравнения», 10 класс
Тема урока: «Уравнение cos х = а».
Тип занятия : формирование новых знаний, умений и навыков
Цели урока:
-образовательная
рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений типа cosx=a.
-воспитательная
воспитывать навыки культуры труда;
-развивающие
развивать чувство ответственности и навыки самостоятельного труда и самоконтроля;
развивать логическое мышление;
вырабатывать умение классифицировать и обобщать;
развивать умение задавать вопросы.
Оборудование: интерактивная доска c мультимедийным проектором и компьютером, таблицы с формулами, презентация.
Задачи урока:
1). Учащиеся повторяют основные понятия темы.
2). Учащиеся решают уравнения типа cos х = а.
Методические приемы: прием кластера («гроздья»), прием «верите ли вы?» (на стадии вызова), «продвинутая лекция» (стадия осмысления), комментированное решение уравнений, самостоятельная работа учащихся (стадия рефлексии).
Урок был дан с использованием элементов технологии критического мышления.
Ход урока :
Вызов
I. Урок начинается с вопроса к классу: «На доске записана тема нашего урока. На какие вопросы вы хотели бы получить сегодня ответы?»
В ходе обсуждения на доске появляется схема (кластер):
cos х = а.
П. Работа с таблицей «Верите ли Вы, что...?», («Верно ли, что …?»):
1). Уравнение cos х = а имеет бесконечно много корней;
2). cos х – абсцисса точки единичной окружности;
3). На отрезке [о;π] уравнение cos х = ½ имеет 1 корень;
4). arccos a - угол из промежутка [-π /2; π/2], косинус которого равен а (|а |≤1);
5). arccos (-а) = π - arccos а;
6). Уравнения cos х = 1; cos х = -1; cos х = 0 имеет одну серию корней?
В вопросы специально включены неверные формулировки.
Учащиеся работают в парах, заполняя графу (1) таблицы («+» - да; «‑» - нет). Затем без обсуждения на доске заполняется та же графа (1) таблицы «Верите ли Вы, что...?». Карточки с таблицей лежат на каждой парте.
Осмысление
III. «Продвинутая лекция».
Задание: учащиеся, сидящие на I варианте, следят за кластером (схемой), учащиеся, сидящие на II варианте, пишут краткий конспект лекции.
a) cos х - абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р 0 (1;0) на угол х вокруг начала координат.
Т. е., при а меньшем, чем -1 и большем, чем 1 , уравнение cos x = а не имеет корней. Решим уравнение cos х = 3/2. (Ответ: корней нет).
б). Решим уравнение cos x = 1/2.
π /3 + 2 π k , k є Z.
-π /3 + 2 π k , k є Z.
Ответ: ± π/3 + 2 π k , k є Z .
Уравнение cos х =1/2 имеет бесконечно много корней, но на отрезке это уравнение имеет 1 корень π /3, который называют arccos 1/2 .
Записывают: arccos 1/2 = π /3.
в) аналогично решим уравнения:
cos x = a , где |а|≤1:
arccos a
- arccos a
Ответ: x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.
Напомним, что arccos (-a) = π - arccos a.
arccos (- а ) arccos (- а )
г). частные случаи:
1). cos x = 1 x = 2π k , k є Z . | 2). cos x = -1 x = π + 2π k , k є Z . | 3). cos x = 0 x = π/2 + π k , k є Z . |
IV. Работа в парах с кластером и таблицей «Верно ли, что...?». Четыре пары работают с кластером, остальные с таблицей (заполняется графа 2).
На работу дается 2 минуты, еще 5 минут ‑ на проверку, обсуждение и оформление на доске. При проверке таблицы (она вычерчена на доске) сопоставляются полученные знания с исходными и выделяются ярким цветом правильные ответы.
Рефлексия
V . Теперь, когда получены формулы корней тригонометрического уравнения cos х = а , учащиеся комментируют и решают на доске уравнения:
2). 3cos х/3 = 2
Самостоятельная работа учащихся:
1). 2cos 3x = -1,
2). 2cos (x + π / 3) = -1,
3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,
4). сos 2x(2cos x + 2) = 0.
Результат выполнения самостоятельной работы проверяется.
Что я узнал нового;
Как изменились мои знания;
Что я буду с этим делать?
VI. Контрольный срез урока.
I в .: cos 2x=√2/2 II в .: cos (x/2)= √3/2.
VII. Домашнее задание
§ 33,
№№ 571-573.
ЛИТЕРАТУРА
1). Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин. – М.: Просвещение, 2013.
2). Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. М.И.Шабунин, М.В. Ткачёва, 2012.
3). Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 класса. А.П. Ершова, В.В. Голобородько – М.:ИЛЕКСА, 2011.
4). Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. С.М.Саакян, А.М.Гольдман, Д.В. Денисов.– М.: Просвещение, 2011.
Интернет – ресурсоы:
Министерство образования РФ: http://www.ed.gov.ru/ ; http://www.edu.ru
Тестирование online: 5 - 11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo
Сеть творческих учителей: http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com ,
Сайт Александра Ларина (подготовка к ЕГЭ): http://alexlarin.narod.ru/ege.html
Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main
Путеводитель «В мире науки» для школьников: http://www.uic.ssu.samara.ru
Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru
сайты «Энциклопедий»: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclopedia.ru
сайт для самообразования и он-лайн тестирования: http://uztest.ru/
Урок к разделу: «Тригонометрические уравнения», 10 класс
Тема урока: «Уравнение cos х = а».
Тип занятия : формирование новых знаний, умений и навыков
Цели урока:
образовательная
рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений типа cosx=a.
воспитательная
воспитывать навыки культуры труда;
развивающие
развивать чувство ответственности и навыки самостоятельного труда и самоконтроля;
развивать логическое мышление;
вырабатывать умение классифицировать и обобщать ;
развивать умение задавать вопросы .
Оборудование :
интерактивная доска c мультимедийным проектором и компьютером, таблицы с формулами, презентация .
Задачи урока:
1). Учащиеся повторяют основные понятия темы.
2). Учащиеся решают уравнения типа cos х = а.
Методические приемы: прием кластера («гроздья»), прием «верите ли вы?» (на стадии вызова), «продвинутая лекция» (стадия осмысления), комментированное решение уравнений, самостоятельная работа учащихся (стадия рефлексии).
Урок был дан с использованием элементов технологии критического мышления.
Урок в технологии критического мышления имеет трехфазную структуру :
Вызов ;
Осмыслениие (реализация) ;
Рефлексия .
Ход урока :
Стадия вызова
I. Урок начинается с вопроса к классу: «На доске записана тема нашего урока. На какие вопросы вы хотели бы получить сегодня ответы?»
В ходе обсуждения на доске появляется схема (кластер):
cos х = а.
названиеуравнения
способы
решения
применения
общая
формула
частные
случаи
П. Работа с таблицей «Верите ли Вы, что...?», («Верно ли, что …?»):
1). Уравнение cos х = а имеет бесконечно много корней;
2). cos х – абсцисса точки единичной окружности;
3). На отрезке [о;π] уравнение cos х = ½ имеет 1 корень;
4). arccos a - угол из промежутка [-π /2; π/2], косинус которого равен а (| а |≤1);
5). arccos (-а) = π - arccos а;
6). Уравнения cos х = 1; cos х = -1; cos х = 0 имеет одну серию корней?
В вопросы специально включены неверные формулировки.
Учащиеся работают в парах, заполняя графу (1) таблицы («+» - да; «» - нет). Затем без обсуждения на доске заполняется та же графа (1) таблицы «Верите ли Вы, что...?». Карточки с таблицей лежат на каждой парте.Осмысление
III. «Продвинутая лекция».
Задание: учащиеся, сидящие на I варианте , следят за кластером (схемой), учащиеся, сидящие на II варианте, пишут краткий конспект лекции.
a) cos х - абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р 0 (1;0) на угол х вокруг начала координат.
Т. е., при а меньшем, чем -1 и большем, чем 1 , уравнение cos x = а не имеет корней . Решим уравнение cos х = 3/2. ( Ответ: корней нет).
б). Решим уравнение cos x = 1/2.
π /3 + 2 π k , k є Z .
-π /3 + 2 π k , k є Z .
Ответ : ± π/3 + 2 π k , k є Z .
Уравнение cos х =1/2 имеет бесконечно много корней, но на отрезке это уравнение имеет 1 корень π /3, который называют arccos 1/2 .
Записывают: arccos 1/2 = π /3.
в) аналогично решим уравнения:
cos x = a , где | а |≤1:
arccos a
- arccos a
Ответ : x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.
Напомним , что arccos (-a) = π - arccos a.
arccos (- а ) arccos (- а )
г). частные случаи:
1). cos x = 1Ответ:
x = 2π k , k є Z .
2). cos x = - 1
Ответ:
x = π + 2π k , k є Z .
3). cos x = 0
Ответ:
x = π/2 + π k , k є Z .
IV. Работа в парах с кластером и таблицей «Верно ли, что...?». Четыре пары работают с кластером, остальные с таблицей (заполняется графа 2).
На работу дается 2 минуты, еще 5 минут на проверку, обсуждение и оформление на доске. При проверке таблицы (она вычерчена на доске) сопоставляются полученные знания с исходными и выделяются ярким цветом правильные ответы.
Рефлексия
V . Теперь, когда получены формулы корней тригонометрического уравнения cos х = а , учащиеся комментируют и решают на доске уравнения:
1). с os 5x = 1
2). 3cos х /3 = 2
3). cos 7x = 5
Самостоятельная работа учащихся:
1). 2 cos 3 x = -1,
2). 2cos (x + π / 3) = -1,
3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,
4). с os 2 x (2 cos x + 2) = 0.
Уроки 34-35. Тригонометрические уравнения
09.07.2015 4523 0Цель: рассмотреть решение тригонометрических уравнений.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
arctg х.
2. Постройте график функции:
3. Вычислите
Вариант 2
1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции у = arcctg х.
2. Постройте график функции:
3. Вычислите
III. Изучение нового материала
Рассмотрим решение некоторых типов тригонометрических уравнений. Для этого необходимо с помощью преобразований данное уравнение свести к одному из простейших уравнений – sin x = a , cos х = a , tg х = a , ctg х = a , решение которых можно записать.
1. Простейшие тригонометрические уравнения
Еще раз напомним решения простейших тригонометрических уравнений.
1. Решения уравнений sin x = а (где | a | ≤ 1) имеют вид:
2. Решения уравнений cos x = а (где |а| ≤ 1) имеют вид:
3. Решения уравнений tg x = а имеют вид:
4. Решения уравнений ctg x = а имеют вид:
При решении уравнений sin x = 0; ±1 и cos x = 0; ±1 (частные случаи) удобнее пользоваться не общими формулами, а использовать числовую окружность, тогда получим:
Пример 1
Для уравнения sin x = 1 покажем предпочтительность использования числовой окружности.
Сначала запишем решения уравнения sin x = 1, применяя общую формулу Для нескольких значений n такие решения приведены в таблице.
Из данных таблицы видно, что при использовании формулы каждое решение повторяется по два раза. Кроме того, выражение более громоздко по сравнению с формулой которая получается при рассмотрении числовой окружности.
Пример 2
Найдем решения уравнения принадлежащие отрезку .
Решим данное уравнение, используя числовую окружность. Получим: Отберем те решения, которые принадлежат отрезку . По условию получим неравенство Решим это неравенство: В этот промежуток попадают три целых значения n : n = 0, 1, 2. Для этих значении n найдем соответствующие решения:
Пример 3
Решим уравнение
Используя общую формулу, получим: Тогда
2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений
Для решения более сложных уравнений используют метод введения новой переменной и метод разложения на множители. Рассмотрим сначала метод введения новой переменной.
Пример 4
Решим уравнение:
а) Введем новую переменную z = cos x корни которого z 1 = 1 и z 2 = 2/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения cos x = 1 и cos x = 2/3. Решения первого уравнения x = 2π n , решения второго уравнения
б) Используя формулу в уравнении перейдем к функции sin x . Получим: или Далее поступаем аналогично пункту а. Введем новую переменную z = sin x и получим квадратное уравнение корни которого z 1 = 2 и z 2 = 1/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения sin х = 2 (решений не имеет) и sin х = 1/3 (его решения ).
Теперь обсудим второй метод - метод разложения на множители. При его применении уравнение f (x ) = 0 записывают в виде , тогда или f 1 (x ) = 0, или f 2 (х) = 0. Таким образом, задача сводится к решению совокупности уравнений
Пример 5
Решим уравнение:
а) Левая часть уравнения уже разложена на множители. Задача сводится к решению совокупности уравнений tg х - 1 = 0 (или tg x = 1) и cos x + 1/2 = 0 (или cos x = -1/2). Решения первого уравнения решения второго уравнения
б) Вынесем cos 3 x за скобки и получим: Теперь необходимо решить совокупность уравнений cos 3 x = 0 и (или ). Решая первое уравнение, найдем: и Решая второе уравнение, получим:
Уточним рассматриваемый метод. Из уравнения следует, что или f 1 (x ) = 0 (при этом выражение f 2 (х) имеет смысл), или f 2 (х) = 0 (при этом выражение f 1 (х) имеет смысл).
Пример 6
Решим уравнение ctg x (cos + 1) = 0.
Из уравнения ctg x = 0 находим: из уравнения cos х + 1 = 0 (или cos х = -1) получим: x = π + 2π n . Но при таких значениях х выражение ctg x не имеет смысла. Поэтому решения данного уравнения х = π/2 + п n .
3. Однородные тригонометрические уравнения
Теперь обсудим часто встречающийся вид уравнений - однородные уравнения.
Определение. Уравнение вида (где а ≠ 0, b ≠ 0) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Уравнение вида (где а ≠ 0) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Рассмотрим сначала решение однородных тригонометрических уравнений первой степени Убедимся, что cos х ≠ 0. Предположим, что cos х = 0, и подставим эту величину в данное уравнение. Получим: a sin х = 0. Так как а ≠ 0, то sin x = 0. Очевидно, что равенства cos x = 0 и sin x = 0 одновременно выполняться не могут, так как равенство sin 2 x + cos 2 x = 1 не выполняется.
Так как cos x ≠ 0, то cos x . Получим: или откуда и
Пример 7
Решим уравнение
Разделим все члены уравнения на и получим: Найдем и
Пример 8
Решим уравнение
Учтем четность функции косинуса и формулы приведения. Получим: или Разделим обе части уравнения на cos 3 x . Имеем: 2 tg 3 x = -1, откуда tg 3 x = -1/2,
Рассмотрим теперь решение однородного тригонометрического уравнения второй степени Убедимся, что cos х ≠ 0. Подставим значение cos х = 0 в данное уравнение и получим: a sin 2 х = 0. Так как а ≠ 0, то имеем: sin х = 0. Но равенства cos х = 0 и sin х = 0 одновременно выполняться не могут.
Так как cos x ≠ 0, то разделим все члены уравнения на cos 2 x и получим: или Введем новую переменную z = tg x и придем к квадратному уравнению az 2 + bz + c = 0. Решаем это уравнение. Потом возвращаемся к старой переменной, получаем простейшие тригонометрические уравнения и находим их решения.
Пример 9
Решим уравнение
Разделим все члены уравнения на cos 2 x и получим: tg 2 x – tg x - 2 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение z 2 - z - 2 = 0, корни которого z 1 = -1 и z 2 = 2. Вернемся к старой переменной. Имеем простейшие тригонометрические уравнения tg х = -1 (его решения ) и tg х = 2 (его решения ).
Пример 10
Решим уравнение
Данное уравнение не является однородным, так как в правой части стоит число 1, а не число 0. Если учесть равенство sin 2 х + cos 2 х = 1, то уравнение легко свести к однородному. Получим: или Разделим все члены уравнения на cos 2 x . Имеем: tg 2 x + 5 tg x + 4 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение z 2 + 5 z + 4 = 0, корни которого z 1 = -1 и z 2 = -4. Вернемся к старой переменной. Получим простейшие тригонометрические уравнения tg x = -1 (его решения ) и tg х = -4 (его решения ).
Пусть в однородном тригонометрическом уравнении коэффициент a = 0. Тогда уравнение имеет вид: В этом случае делить на cos 2 x нельзя, так как cos х может равняться нулю. Поэтому надо использовать метод разложения на множители. Получим Имеем простейшее тригонометрическое уравнение cos x = 0 и однородное тригонометрическое уравнение первой степени Такие уравнения мы решать уже умеем.
Пример 11
Решим уравнение
Разложим левую часть уравнения на множители: Произведение двух множителей равно нулю. Поэтому один из множителей равен нулю. Получаем простейшее тригонометрическое уравнение cos х = 0 (его решения ) и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка или (его решения ).
Метод разложения на множители также используется и в случае, когда коэффициент с = 0. Тогда уравнение имеет вид: или Вновь получаем простейшее тригонометрическое уравнение sin х = 0 и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка которые решаются аналогично примеру 11.
Рассмотрение примеров 9-11 позволяет сформулировать алгоритм решения уравнения
1. Если коэффициент а не равен нулю, то все члены уравнения делят на cos 2 x . Вводят новую переменную z = tg х и получают квадратное уравнение. Находят корни этого уравнения и возвращаются к старой неизвестной. Получают простейшие тригонометрические уравнения и решают их.
2. Если коэффициенты а и с равны нулю, то используют метод разложения на множители. При a = 0 выносят за скобки cos х, при с = 0 выносят sin x . Получают простейшее тригонометрическое уравнение и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка и решают их.
IV. Контрольные вопросы
1. Решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
3. Определение однородного тригонометрического уравнения первой и второй степеней.
4. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени.
5. Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.
V. Задание на уроках
§ 18, № 3 (а, в); 5 (а, б); 6 (б); 8 (г); 10 (а, б); 11 (в); 12 (а); 13 (в); 16; 18; 20 (а); 21 (а, б); 23 (а); 27 (а, б); 30 (а); 31; 33 (а); 34 (б); 35 (а).
VI. Задание на дом
§ 18, № 3 (б, г); 5 (в, г); 6 (г); 8 (б); 10 (в, г); 11 (а); 12 (б); 13 (г); 17; 19; 20 (б); 21 (в, г); 23 (б); 27 (в, г); 30 (б); 32; 33 (б); 34 (а); 35 (б).
VII. Подведение итогов уроков