Tele2 hakkında yardım, tarifeler, sorular

Video eğitimi 2: Piramit sorunu. Piramidin hacmi

Video eğitimi 3: Piramit sorunu. Doğru piramit

Ders: Piramit, tabanı, yan kaburgaları, yüksekliği, yan yüzeyi; Üçgen piramit; düzenli piramit

Piramit tabanında bir çokgen bulunan ve tüm yüzleri üçgenlerden oluşan üç boyutlu bir cisimdir.

Piramidin özel bir durumu, tabanında daire bulunan bir konidir.

Piramidin ana unsurlarına bakalım:

Özlem- bu, piramidin üstünü yan yüzün alt kenarının ortasına bağlayan bir segmenttir. Başka bir deyişle bu, piramidin kenarının yüksekliğidir.

Şekilde ADS, ABS, BCS, CDS üçgenlerini görebilirsiniz. İsimlere yakından bakarsanız, her üçgenin adında ortak bir harf olduğunu görebilirsiniz - S. Yani bu, tüm yan yüzlerin (üçgenlerin) piramidin tepesi adı verilen bir noktada birleştiği anlamına gelir. .

Tepe noktasını tabanın köşegenlerinin kesişme noktasına (üçgenler durumunda - yüksekliklerin kesişme noktasında) bağlayan OS segmentine denir. piramit yüksekliği.

Çapraz bölüm, piramidin tepesinden ve tabanın köşegenlerinden birinden geçen bir düzlemdir.

Piramidin yan yüzeyi üçgenlerden oluştuğu için yan yüzeyin toplam alanını bulmak için her bir yüzün alanını bulup toplamak gerekir. Yüzlerin sayısı ve şekli, tabanda bulunan çokgenin kenarlarının şekline ve boyutuna bağlıdır.

Piramitte tepe noktasına ait olmayan tek düzleme ne ad verilir? temel piramitler.

Şekilde tabanın bir paralelkenar olduğunu görüyoruz, ancak herhangi bir çokgen de olabilir.

Özellikler:

Kenarları aynı uzunlukta olan piramidin ilk durumunu düşünün:

• Böyle bir piramidin tabanının etrafına bir daire çizilebilir. Böyle bir piramidin tepesini yansıtırsanız, izdüşümü dairenin merkezinde yer alacaktır.
• Piramidin tabanındaki açılar her yüzde aynıdır.
• Bu durumda piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabilmesi ve ayrıca tüm kenarların farklı uzunluklarda olması için yeterli bir koşul, taban ile yüzlerin her bir kenarı arasındaki açıların aynı olduğu düşünülebilir.

Yan yüzleri ile taban arasındaki açıların eşit olduğu bir piramit ile karşılaşırsanız, aşağıdaki özellikler doğrudur:

• Piramidin tabanı etrafında, tepe noktası tam olarak merkeze yansıtılan bir daire tanımlayabileceksiniz.
• Yüksekliğin her bir yan kenarını tabana çizerseniz, bunlar eşit uzunlukta olacaktır.
• Böyle bir piramidin yan yüzey alanını bulmak için tabanın çevresini bulup yüksekliğin uzunluğunun yarısıyla çarpmak yeterlidir.
• S bp = 0,5P oc H.
• Piramit türleri.
• Piramidin tabanında hangi poligonun bulunduğuna bağlı olarak üçgen, dörtgen vb.

Düzenli üçgen piramit

GEOMETRİK CİSİMLERİN YÜZEY ALANI VE HACMİ

§ 114. PİRAMİT.

1. Tanımlar.

Bir piramit, piramidin tabanı adı verilen bir çokgen ve yan yüzler adı verilen ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerle sınırlanan geometrik bir gövdedir.

Tüm yan yüzlerin ortak tepe noktasına denir tepe piramitler.

Yükseklik piramit, piramidin tepesinden tabanına indirilen dik olarak adlandırılır (Şekil 426).

Tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekliği tabanın merkezinden geçen piramit denir. doğru. Düzenli bir piramidin yan yüzleri eşit ikizkenar üçgenlerdir.

Normal bir piramidin üstten tabanın yan tarafına indirilen yan yüzünün yüksekliğine denir. özlü söz piramitler.

Çizimler 427, 428, 429, düzenli piramitlerin görüntülerini ve gelişimlerini göstermektedir: üçgen, dörtgen ve altıgen. Çizim 430 Mısır piramitlerini göstermektedir.

Egzersizler.

427, 428, 429 numaralı çizimlerde gösterilen düzenli piramitlerin geliştirmelerini yapın ve onlardan piramit modelleri yapın.

2. Piramidin yüzey alanı.

Piramidin yan yüzeyinin alanını belirlemek için tüm yan yüzlerinin alanlarının toplamını bulmanız gerekir.

Tabanının alanını piramidin yan yüzeyinin alanına eklerseniz piramidin toplam yüzey alanını elde edersiniz.

Kısaca söylemek gerekirse: "alan" sözcüğünü atlayarak piramidin yan yüzeyi ve piramidin tüm yüzeyi diyorlar.

Egzersizler.

1. Düzgün bir piramidin tabanında bir kenarı 12 cm olan bir üçgen vardır. Piramidin öz uzunluğu 20 cm'dir.

Hesaplamak:
a) üs alanı,
b) yan yüzey,
c) bu piramidin tüm yüzeyi.

2. Düzenli üçgen piramidin yan yüzleri eşkenar üçgenlerdir. Tabanın kenarları eşittir A bkz. Bu piramidin yanal ve toplam yüzeyini hesaplayın (Şek. 431).

3. Piramidin yüzlerini paralelkenar şeklinde düzenleyerek bu sorunu ikinci kez çözün (Şekil 432).

3. Piramidin hacmi.

Lisede piramidin hacminin, piramit ile aynı tabana ve aynı yüksekliğe sahip prizmanın hacminin 1/3'ü olduğu kanıtlanmıştır (Şekil 433).

Bu nedenle piramidin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

V piramidin hacmi, S tabanın alanı, H piramidin yüksekliğidir.

Bu formülü açıklamak için, kartondan eşit tabanlara ve eşit yüksekliğe sahip düz bir dörtgen prizma ve dörtgen bir piramit yapılması önerilir. Bu piramit örneğin kumla doldurulursa ve daha sonra bu kum yapılan prizmanın içine dökülürse kum prizmanın kapasitesinin yalnızca 1/3'ünü dolduracaktır. Bir prizmayı kumla doldurmak için, dolu piramitten içine üç kez kum dökmeniz gerekir (Şek. 434).

Egzersizler.

Yukarıdaki formülü kullanarak aşağıdaki tabloda yer alan verileri kullanarak bir dizi problemi çözün.

Piramit, tabanında çokgen bulunan bir çokyüzlüdür. Tüm yüzler sırayla bir tepe noktasında birleşen üçgenler oluşturur. Piramitler üçgen, dörtgen vb. şeklindedir. Hangi piramidin önünüzde olduğunu belirlemek için tabanındaki açı sayısını saymanız yeterlidir. “Piramitin yüksekliği” tanımına okul müfredatındaki geometri problemlerinde sıklıkla rastlanır. Bu yazıda onu bulmanın farklı yollarına bakmaya çalışacağız.

Piramidin parçaları

Her piramit aşağıdaki unsurlardan oluşur:

• üç köşesi olan ve tepe noktasında birleşen yan yüzler;
• özdeyiş, zirvesinden inen yüksekliği temsil eder;
• piramidin tepesi, yan kaburgaları birbirine bağlayan ancak taban düzleminde yer almayan bir noktadır;
• taban, tepe noktasının bulunmadığı bir çokgendir;
• piramidin yüksekliği, piramidin tepesiyle kesişen ve tabanıyla dik açı oluşturan bir segmenttir.

Hacmi biliniyorsa piramidin yüksekliği nasıl bulunur?

V = (S*h)/3 formülü aracılığıyla (formülde V hacim, S tabanın alanı, h piramidin yüksekliğidir) h = (3*V)/ olduğunu buluruz. S. Malzemeyi pekiştirmek için sorunu hemen çözelim. Üçgenin tabanı 50 cm2, hacmi ise 125 cm3'tür. Üçgen piramidin yüksekliği bilinmiyor, bulmamız gereken şey de bu. Burada her şey basit: Verileri formülümüze ekliyoruz. h = (3*125)/50 = 7,5 cm elde ederiz.

Köşegen uzunluğu ve kenarları biliniyorsa piramidin yüksekliği nasıl bulunur?

Hatırladığımız gibi piramidin yüksekliği tabanıyla dik açı oluşturuyor. Bu, köşegenin yüksekliğinin, kenarının ve yarısının birlikte oluşturduğu anlamına gelir. Pek çok kişi elbette Pisagor teoremini hatırlar. İki boyutu bildiğimiz için üçüncü büyüklüğü bulmak zor olmayacaktır. Çok iyi bilinen a² = b² + c² teoremini hatırlayalım; burada a hipotenüstür ve bizim durumumuzda piramidin kenarıdır; b - köşegenin ilk ayağı veya yarısı ve c - sırasıyla ikinci ayak veya piramidin yüksekliği. Bu formülden c² = a² - b².

Şimdi sorun şu: Normal bir piramidin köşegeni 20 cm, kenar uzunluğu 30 cm olduğunda yüksekliği bulmanız gerekiyor. Şunu çözüyoruz: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Dolayısıyla c = √ 500 = yaklaşık 22,4.

Kesilmiş bir piramidin yüksekliği nasıl bulunur?

Tabanına paralel bir kesite sahip bir çokgendir. Kesik bir piramidin yüksekliği, iki tabanını birleştiren bölümdür. Her iki tabanın köşegenlerinin uzunlukları ve piramidin kenarı biliniyorsa, normal bir piramidin yüksekliği bulunabilir. Büyük tabanın köşegeni d1, küçük tabanın köşegeni d2 ve kenarının uzunluğu l olsun. Yüksekliği bulmak için, diyagramın iki üst karşıt noktasından tabana kadar olan yükseklikleri indirebilirsiniz. İki dik üçgenimiz olduğunu görüyoruz; geriye sadece bacaklarının uzunluklarını bulmak kalıyor. Bunu yapmak için büyük köşegenden küçük olanı çıkarın ve 2'ye bölün. Böylece bir kenar bulacağız: a = (d1-d2)/2. Bundan sonra Pisagor teoremine göre yapmamız gereken tek şey piramidin yüksekliği olan ikinci ayağı bulmak.

Şimdi tüm bunlara pratikte bakalım. Önümüzde bir görev var. Tepesi kesik piramidin tabanında kare vardır, büyük tabanın köşegen uzunluğu 10 cm, küçük olanın kenarı 4 cm, yüksekliğini bulmanız gerekiyor. Öncelikle bir kenar buluyoruz: a = (10-6)/2 = 2 cm. Bir kenar 2 cm, hipotenüs ise 4 cm oluyor. İkinci bacağın veya yüksekliğin 16- olacağı ortaya çıkıyor. 4 = 12, yani h = √12 = yaklaşık 3,5 cm.

Büyük Mısır piramitlerini çok iyi biliyoruz; herkes onların neye benzediğini hayal edebilir. Bu fikir, piramit gibi geometrik bir figürün özelliklerini anlamamıza yardımcı olacaktır.

Bir piramit, düz bir çokgenden - piramidin tabanı, taban düzleminde olmayan bir nokta - piramidin tepesi ve tepeyi tabanın noktalarına bağlayan tüm bölümlerden oluşan bir çokyüzlüdür. Piramidin tepesini tabanın köşelerine bağlayan bölümlere yan kenarlar denir. İncirde. Şekil 1 SABCD piramidini göstermektedir. ABCD dörtgeni piramidin tabanını, S noktası piramidin tepe noktasını, SA, SB, SC ve SD segmentleri piramidin kenarlarıdır.

Piramidin yüksekliği, piramidin tepesinden taban düzlemine inen dik açıdır. İncirde. 1 SO – piramidin yüksekliği.

Tabanı n-gon olan piramitlere n-gonal denir. Şekil 1 dörtgen bir piramidi göstermektedir. Üçgen piramitlere tetrahedron denir.

Tabanı düzgün bir çokgen ise ve yüksekliğinin tabanı bu çokgenin merkezine denk geliyorsa, piramit düzenli olarak adlandırılır. Düzenli bir piramidin yan kenarları eşittir ve bu nedenle yan yüzleri ikizkenar üçgenlerdir. Düzenli bir piramitte piramidin tepesinden çizilen yan yüzün yüksekliğine apothem adı verilir.

Piramidin bir takım özellikleri vardır.

Bir piramidin tüm köşegenleri yüzlerine aittir.

Tüm yan kenarlar eşitse, o zaman:

• piramidin tabanına yakın bir yerde, piramidin tepesi merkeze doğru çıkıntı yapan bir daire tanımlanabilir;
• yan kenarlar taban düzlemi ile eşit açı oluşturur ve bunun tersine, eğer yan kenarlar taban düzlemi ile eşit açı oluşturursa veya piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, piramidin tepesi ile. piramit merkeze yansıtıldığında piramidin tüm yan kenarları eşittir.

Yan yüzler taban düzlemine aynı açıyla eğimliyse:

• piramidin tabanına bir daire yazılabilir ve piramidin tepesi merkeze yansıtılır;
• yan yüzlerin yükseklikleri eşittir;
• Yan yüzeyin alanı, tabanın çevresi ile yan yüzün yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Bir piramidin hacmini ve yüzey alanını bulmak için formülleri düşünelim.

Piramidin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

burada S tabanın alanıdır ve h yüksekliktir.

Piramidin toplam yüzey alanını bulmak için formülü kullanmanız gerekir:

S p = S b + S o ,

burada S p toplam yüzey alanıdır, S b yan yüzey alanıdır, S o taban alanıdır.

Kesik bir piramit, piramidin tabanı ile tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında yer alan bir çokyüzlüdür. Kesik bir piramidin paralel düzlemlerde uzanan yüzlerine kesik piramidin tabanları, geri kalan yüzlere ise yan yüzler denir. Kesik bir piramidin tabanları benzer çokgenlerdir ve yan yüzleri yamuktur. Düzenli bir piramitten elde edilen kesik piramit, düzenli kesik piramit olarak adlandırılır. Düzenli bir kesik yamuğun yan yüzleri eşit ikizkenar yamuklardır, yüksekliklerine apothem denir.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Piramit- bu, bir yüzün piramidin tabanı olduğu bir çokyüzlüdür - rastgele bir çokgen ve geri kalanı yan yüzlerdir - piramidin tepesi olarak adlandırılan ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler. Piramidin tepesinden tabanına doğru bırakılan dikmeye ne ad verilir? piramit yüksekliği. Piramidin tabanı üçgen, dörtgen vb. ise piramit üçgen, dörtgen vb. olarak adlandırılır. Üçgen bir piramit bir tetrahedrondur - bir tetrahedron. Dörtgen - beşgen vb.

Piramit, Kesilmiş piramit

Doğru piramit

Piramidin tabanı düzgün bir çokgen ise ve yüksekliği tabanın merkezine düşüyorsa piramit düzgündür. Düzenli bir piramitte tüm yan kenarlar eşittir, tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Düzenli bir piramidin yan yüzünün üçgeninin yüksekliğine denir - düzenli piramidin özeti.

Kesilmiş piramit

Piramidin tabanına paralel bir bölüm piramidi iki parçaya böler. Piramidin tabanı ile bu bölüm arasındaki kısmı kesik piramit . Kesik bir piramidin bu bölümü onun tabanlarından biridir. Kesik piramidin tabanları arasındaki mesafeye kesik piramidin yüksekliği denir. Kesilmiş bir piramit, türetildiği piramidin düzenli olması durumunda düzenli olarak adlandırılır. Düzenli bir kesik piramidin tüm yan yüzleri eşit ikizkenar yamuklardır. Düzenli bir kesik piramidin yan yüzünün yamuğunun yüksekliğine denir - düzenli kesik piramidin özeti.