Tele2 hakkında yardım, tarifeler, sorular

En basit çözüm trigonometrik denklemler.

Herhangi bir karmaşıklık düzeyindeki trigonometrik denklemlerin çözülmesi, sonuçta en basit trigonometrik denklemlerin çözülmesine indirgenir. Ve bu konuda trigonometrik çemberin yine en iyi yardımcı olduğu ortaya çıkıyor.

Kosinüs ve sinüs tanımlarını hatırlayalım.

Bir açının kosinüsü, belirli bir açı boyunca bir dönüşe karşılık gelen birim daire üzerindeki bir noktanın apsisidir (yani eksen boyunca koordinattır).

Bir açının sinüsü, belirli bir açı boyunca bir dönüşe karşılık gelen birim daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (yani eksen boyunca koordinattır).

Trigonometrik daire üzerindeki hareketin pozitif yönü saat yönünün tersidir. 0 derecelik (veya 0 radyan) bir dönüş, koordinatları (1;0) olan bir noktaya karşılık gelir

Bu tanımları basit trigonometrik denklemleri çözmek için kullanırız.

1. Denklemi çözün

Bu denklem, koordinatı eşit olan daire üzerindeki noktalara karşılık gelen dönme açısının tüm değerleri tarafından karşılanır.

Ordinat ekseninde ordinatı olan bir noktayı işaretleyelim:

Daireyle kesişene kadar x eksenine paralel yatay bir çizgi çizin. Çember üzerinde uzanan ve ordinatı olan iki nokta elde ediyoruz. Bu noktalar, cinsinden dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir:

Radyan başına dönme açısına karşılık gelen noktadan ayrılırsak, tam bir daire etrafında dönersek, o zaman radyan başına dönme açısına karşılık gelen ve aynı koordinata sahip bir noktaya varırız. Yani bu dönme açısı da denklemimizi sağlıyor. Aynı noktaya dönerek istediğimiz kadar "boşta" dönüş yapabiliriz ve tüm bu açı değerleri denklemimizi karşılayacaktır. “Boşta” devirlerin sayısı (veya) harfiyle gösterilecektir. Bu dönüşleri hem pozitif hem de negatif yönde yapabildiğimiz için (veya) her türlü tamsayı değerini alabiliriz.

Yani orijinal denklemin ilk çözüm serisi şu şekildedir:

, , - tam sayılar kümesi (1)

Benzer şekilde, ikinci çözüm serisi şu şekildedir:

, Nerede , . (2)

Tahmin edebileceğiniz gibi, bu çözüm serisi dairenin üzerindeki dönme açısına karşılık gelen noktaya dayanmaktadır.

Bu iki çözüm serisi tek bir girişte birleştirilebilir:

Bu girişi (yani eşit) alırsak, ilk çözüm serisini elde ederiz.

Bu girişi (yani tek) alırsak, ikinci çözüm serisini elde ederiz.

2. Şimdi denklemi çözelim

Bu, birim çember üzerindeki bir noktanın bir açıyla döndürülerek elde edilen apsisi olduğundan, eksen üzerinde apsis bulunan noktayı işaretleriz:

Daireyle kesişene kadar eksene paralel dikey bir çizgi çizin. Çember üzerinde uzanan ve apsisi olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir. Saat yönünde hareket ederken negatif bir dönüş açısı elde ettiğimizi hatırlayın:

İki dizi çözümü yazalım:

,

,

(Ana tam daireden yani yani daireden giderek istenilen noktaya ulaşıyoruz.

Bu iki seriyi tek bir girdide birleştirelim:

3. Denklemi çözün

Teğet doğru birim çemberin OY eksenine paralel (1,0) koordinatlı noktadan geçer

Üzerinde ordinatı 1'e eşit olan bir nokta işaretleyelim (açıları 1'e eşit olan teğetini arıyoruz):

Bu noktayı bir doğru ile koordinatların orijinine bağlayalım ve doğrunun birim çember ile kesişme noktalarını işaretleyelim. Düz çizgi ile dairenin kesişme noktaları ve üzerindeki dönme açılarına karşılık gelir:

Denklemimizi sağlayan dönme açılarına karşılık gelen noktalar birbirinden radyan uzaklıkta olduğundan çözümü şu şekilde yazabiliriz:

4. Denklemi çözün

Kotanjant çizgisi birim çemberin koordinatları eksene paralel olan noktadan geçer.

Kotanjantlar doğrusu üzerinde apsis -1 olan bir noktayı işaretleyelim:

Bu noktayı doğrunun başlangıç ​​noktasına bağlayalım ve çemberle kesişene kadar devam edelim. Bu düz çizgi, daireyi dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelen noktalarda kesecektir:

Bu noktalar birbirinden eşit mesafe ile ayrıldığından bu denklemin genel çözümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz:

En basit trigonometrik denklemlerin çözümünü gösteren verilen örneklerde, trigonometrik fonksiyonların tablo değerleri kullanılmıştır.

Bununla birlikte, denklemin sağ tarafında tablo halinde olmayan bir değer varsa, o zaman değeri denklemin genel çözümüne koyarız:

ÖZEL ÇÖZÜMLER:

Ordinatı 0 olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:

Ordinatı 1 olan çember üzerinde tek bir noktayı işaretleyelim:

Çember üzerinde koordinatı -1 olan tek bir noktayı işaretleyelim:

Sıfıra en yakın değerleri belirtmek alışılmış olduğundan çözümü şu şekilde yazıyoruz:

Apsisi 0’a eşit olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:

5.
Apsisi 1’e eşit olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:

Apsisi -1 olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:

Ve biraz daha karmaşık örnekler:

1.

Argüman eşitse sinüs bire eşittir

Sinüsümüzün argümanı eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

Eşitliğin her iki tarafını da 3'e bölelim:

Cevap:

2.

Kosinüs argümanı ise kosinüs sıfırdır

Kosinüsümüzün argümanı eşittir ve şunu elde ederiz:

İfade edelim, bunun için önce ters işaretle sağa doğru hareket edelim:

Sağ tarafı sadeleştirelim:

Her iki tarafı da -2'ye bölün:

K herhangi bir tamsayı değeri alabildiğinden, terimin önündeki işaretin değişmediğine dikkat edin.

Cevap:

Ve son olarak “Trigonometrik bir denklemde köklerin seçilmesi” başlıklı video eğitimini izleyin. trigonometrik daire"

Böylece basit trigonometrik denklemlerin çözümü hakkındaki konuşmamız sona eriyor. Bir dahaki sefere nasıl karar vereceğimizi konuşacağız.

Trigonometrik denklemleri çözme kavramı.

• Bir trigonometrik denklemi çözmek için onu bir veya daha fazla temel trigonometrik denkleme dönüştürün. Bir trigonometrik denklemin çözülmesi sonuçta dört temel trigonometrik denklemin çözülmesine indirgenir.

Temel trigonometrik denklemlerin çözümü.

• 4 tür temel trigonometrik denklem vardır:
• günah x = a; çünkü x = a
• tan x = a; CTG x = a
• Temel trigonometrik denklemleri çözmek, birim çember üzerindeki farklı x konumlarına bakmayı ve bir dönüşüm tablosu (veya hesap makinesi) kullanmayı içerir.
• Örnek 1. sin x = 0,866. Bir dönüşüm tablosu (veya hesap makinesi) kullanarak şu cevabı alacaksınız: x = π/3. Birim çember başka bir cevap verir: 2π/3. Unutmayın: tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir, yani değerleri tekrarlanır. Örneğin, sin x ve cos x'in periyodikliği 2πn'dir ve tg x ve ctg x'in periyodikliği πn'dir. Bu nedenle cevap şu şekilde yazılmıştır:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Örnek 2. cos x = -1/2. Bir dönüşüm tablosu (veya hesap makinesi) kullanarak şu cevabı alacaksınız: x = 2π/3. Birim çember başka bir cevap verir: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Örnek 3. tg (x - π/4) = 0.
• Cevap: x = π/4 + πn.
• Örnek 4.ctg 2x = 1,732.
• Cevap: x = π/12 + πn.

Trigonometrik denklemlerin çözümünde kullanılan dönüşümler.

• Trigonometrik denklemleri dönüştürmek için şunu kullanın: cebirsel dönüşümler(çarpanlara ayırma, homojen terimlerin azaltılması vb.) ve trigonometrik özdeşlikler.
• Örnek 5: Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sin x + sin 2x + sin 3x = 0 denklemi 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 denklemine dönüştürülür. Böylece aşağıdaki temel trigonometrik denklemler elde edilir. çözülmesi gerekiyor: çünkü x = 0; günah(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Açıları bulma bilinen değerler işlevler.

  • Trigonometrik denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrenmeden önce, bilinen fonksiyon değerlerini kullanarak açıların nasıl bulunacağını öğrenmeniz gerekir. Bu, bir dönüşüm tablosu veya hesap makinesi kullanılarak yapılabilir.
  • Örnek: çünkü x = 0,732. Hesap makinesi x = 42,95 derece cevabını verecektir. Birim çember şunu verecektir: Ek açılar, kosinüsü de 0,732'dir.

• Çözümü birim çember üzerinde bir kenara koyun.

  • Birim çember üzerinde trigonometrik bir denklemin çözümlerini çizebilirsiniz. Birim çember üzerindeki trigonometrik denklemin çözümleri düzgün bir çokgenin köşeleridir.
  • Örnek: Birim çember üzerindeki x = π/3 + πn/2 çözümleri karenin köşelerini temsil eder.
  • Örnek: Birim çember üzerindeki x = π/4 + πn/3 çözümleri düzgün bir altıgenin köşelerini temsil eder.

• Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.

  • Belirli bir trigonometrik denklem yalnızca bir trigonometrik fonksiyon içeriyorsa, bu denklemi temel trigonometrik denklem olarak çözün. Belirli bir denklem iki veya daha fazla trigonometrik fonksiyon içeriyorsa, böyle bir denklemi çözmenin 2 yöntemi vardır (dönüştürme olasılığına bağlı olarak).
    • Yöntem 1.
  • Bu denklemi şu formdaki bir denkleme dönüştürün: f(x)*g(x)*h(x) = 0; burada f(x), g(x), h(x) temel trigonometrik denklemlerdir.
  • Örnek 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Çözüm. Sin 2x = 2*sin x*cos x çift açı formülünü kullanarak sin 2x'i değiştirin.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos x = 0 ve (sin x + 1) = 0.
  • Örnek 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Çözüm: Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak bu denklemi şu formdaki bir denkleme dönüştürün: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos 2x = 0 ve (2cos x + 1) = 0.
  • Örnek 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Çözüm: Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak bu denklemi şu formdaki bir denkleme dönüştürün: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Şimdi iki temel trigonometrik denklemi çözün: cos 2x = 0 ve (2sin x + 1) = 0 .
    • Yöntem 2.
  • Verilen trigonometrik denklemi yalnızca bir trigonometrik fonksiyon içeren bir denkleme dönüştürün. Daha sonra bu trigonometrik fonksiyonu bilinmeyen bir fonksiyonla değiştirin, örneğin t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, vb.).
  • Örnek 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Çözüm. Bu denklemde (cos^2 x)'i (1 - sin^2 x) ile değiştirin (kimliğe göre). Dönüştürülen denklem şu şekildedir:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x'i t ile değiştirin. Şimdi denklem şuna benzer: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Bu iki kökü olan ikinci dereceden bir denklemdir: t1 = -1 ve t2 = 9/5. İkinci kök t2 fonksiyon aralığını karşılamıyor (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Örnek 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Çözüm. tg x'i t ile değiştirin. Orijinal denklemi yeniden yazın aşağıdaki form: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Şimdi t'yi bulun ve sonra t = tan x için x'i bulun.

Trigonometrinin temel formülleri hakkında bilgi gerektirir - sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı, sinüs ve kosinüs üzerinden teğetin ifadesi ve diğerleri. Bunları unutmuş veya bilmeyenler için "" yazısını okumanızı öneririz.
Yani temel trigonometrik formülleri biliyoruz, bunları pratikte kullanmanın zamanı geldi. Trigonometrik denklemleri çözme en doğru yaklaşım- oldukça heyecan verici bir aktivite, örneğin Rubik küpünü çözmek gibi.

İsminden yola çıkarak trigonometrik bir denklemin, bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklem olduğu açıktır.
En basit trigonometrik denklemler denir. Şöyle görünüyorlar: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hadi düşünelim bu tür trigonometrik denklemler nasıl çözülür netlik sağlamak için zaten tanıdık olan trigonometrik daireyi kullanacağız.

sinx = a

çünkü x = a

ten rengi x = a

karyola x = a

Herhangi bir trigonometrik denklem iki aşamada çözülür: Denklemi en basit haline indiririz ve ardından basit bir trigonometrik denklem olarak çözeriz.
Trigonometrik denklemlerin çözüldüğü 7 ana yöntem vardır.

1. Değişken ikame ve ikame yöntemi

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 denklemini çözün

İndirgeme formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Basitleştirmek ve olağan ikinci dereceden denklemi elde etmek için cos(x + /6)'yı y ile değiştirin:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Kökleri y 1 = 1, y 2 = 1/2 olan

Şimdi ters sırayla gidelim

Y'nin bulunan değerlerini değiştiririz ve iki cevap seçeneği elde ederiz:

2. Trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme

Sin x + cos x = 1 denklemi nasıl çözülür?

0 sağda kalacak şekilde her şeyi sola taşıyalım:

günah x + cos x – 1 = 0

Denklemi basitleştirmek için yukarıda tartışılan özdeşlikleri kullanalım:

günah x - 2 günah 2 (x/2) = 0

Çarpanlara ayıralım:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

İki denklem elde ediyoruz

3. Homojen bir denkleme indirgeme

Bir denklemin tüm terimleri aynı açının aynı derecedeki sinüs ve kosinüsüne göre ise sinüs ve kosinüs açısından homojendir. Homojen bir denklemi çözmek için aşağıdakileri yapın:

a) tüm üyelerini sol tarafa aktarın;

b) tüm ortak faktörleri parantezlerden çıkarın;

c) tüm faktörleri ve parantezleri 0'a eşitleyin;

d) parantez içinde daha düşük dereceli homojen bir denklem elde edilir, bu da daha yüksek dereceli sinüs veya kosinüse bölünür;

e) tg için elde edilen denklemi çözün.

3sin 2 x + 4 sin x çünkü x + 5 çünkü 2 x = 2 denklemini çözün

Sin 2 x + cos 2 x = 1 formülünü kullanalım ve sağdaki açık ikiden kurtulalım:

3sin 2 x + 4 sin x çünkü x + 5 çünkü x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

günah 2 x + 4 günah x çünkü x + 3 çünkü 2 x = 0

cos x'e bölün:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Tan x'i y ile değiştirin ve ikinci dereceden bir denklem elde edin:

y 2 + 4y +3 = 0, kökleri y 1 =1, y 2 = 3

Buradan orijinal denklemin iki çözümünü buluyoruz:

x 2 = arktan 3 + k

4. Yarım açıya geçiş yoluyla denklemleri çözme

3sin x – 5cos x = 7 denklemini çözün

x/2'ye geçelim:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Her şeyi sola taşıyalım:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)'ye bölün:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Yardımcı açının tanıtılması

Düşünmek için şu formdaki bir denklemi ele alalım: a sin x + b cos x = c,

burada a, b, c bazı keyfi katsayılardır ve x bir bilinmeyendir.

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:



Şimdi trigonometrik formüllere göre denklemin katsayıları sin ve cos özelliklerine sahiptir, yani: modülleri 1'den fazla değildir ve karelerin toplamı = 1'dir. Bunları sırasıyla cos ve sin olarak gösterelim, burada - bu yardımcı açı denir. O zaman denklem şu şekli alacaktır:

çünkü * sin x + sin * çünkü x = C

veya sin(x + ) = C

Bu en basit trigonometrik denklemin çözümü

x = (-1) k * arcsin C - + k, burada



Cos ve sin gösterimlerinin birbirinin yerine kullanılabileceğine dikkat edilmelidir.

Sin 3x – cos 3x = 1 denklemini çözün

Bu denklemdeki katsayılar:

a = , b = -1 olduğuna göre her iki tarafı da = 2'ye bölün

Sorununuza detaylı çözüm siparişi verebilirsiniz!!!

Trigonometrik bir fonksiyonun ("sin x, cos x, tan x" veya "ctg x") işareti altında bilinmeyen içeren bir eşitliğe trigonometrik denklem denir ve daha sonra bunların formüllerini ele alacağız.

En basit denklemler "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a"dır; burada "x" bulunacak açıdır, "a" ise herhangi bir sayıdır. Her birinin kök formüllerini yazalım.

1. Denklem 'sin x=a'.

`|a|>1` için çözümü yoktur.

Ne zaman `|a| \leq 1`'in sonsuz sayıda çözümü vardır.

Kök formülü: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Denklem 'çünkü x=a'

`|a|>1` için - sinüs durumunda olduğu gibi, gerçek sayılar arasında çözümü yoktur.

Ne zaman `|a| \leq 1`'in sonsuz sayıda çözümü vardır.

Kök formülü: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklerde sinüs ve kosinüs için özel durumlar.

3. Denklem 'tg x=a'

'a'nın herhangi bir değeri için sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Kök formülü: `x=arctg a + \pi n, n \in Z'

4. Denklem 'ctg x=a'

Ayrıca 'a'nın herhangi bir değeri için sonsuz sayıda çözüm vardır.

Kök formülü: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tablodaki trigonometrik denklemlerin kökleri için formüller

Sinüs için:
Kosinüs için:
Teğet ve kotanjant için:
Ters trigonometrik fonksiyonlar içeren denklemleri çözmek için formüller:

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Herhangi bir trigonometrik denklemin çözümü iki aşamadan oluşur:

• en basitine dönüştürmenin yardımıyla;
• Yukarıda yazılan kök formülleri ve tabloları kullanarak elde edilen en basit denklemi çözer.

Örnekler kullanarak ana çözüm yöntemlerine bakalım.

Cebirsel yöntem.

Bu yöntem, bir değişkeni değiştirmeyi ve onu bir eşitlikle değiştirmeyi içerir.

Örnek. Denklemi çözün: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

değiştirmeyi yapın: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ardından `2y^2-3y+1=0`,

kökleri buluyoruz: `y_1=1, y_2=1/2`, bundan iki durum çıkıyor:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Cevap: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizasyon.

Örnek. Denklemi çözün: 'sin x+cos x=1'.

Çözüm. Eşitliğin tüm terimlerini sola taşıyalım: `sin x+cos x-1=0`. kullanarak sol tarafı dönüştürür ve çarpanlara ayırırız:

'sin x — 2sin^2 x/2=0',

'2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0',

'2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0',

1. "sin x/2 =0", "x/2 =\pi n", "x_1=2\pi n".
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , 'x_2=\pi/2+ 2\pi n'.

Cevap: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Homojen bir denkleme indirgeme

Öncelikle bu trigonometrik denklemi iki biçimden birine indirgemeniz gerekir:

'a sin x+b cos x=0' (birinci derecenin homojen denklemi) veya 'a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0' (ikinci derecenin homojen denklemi).

Daha sonra her iki parçayı da ilk durum için "cos x \ne 0"a, ikinci durum için "cos^2 x \ne 0"a bölün. Bilinen yöntemler kullanılarak çözülmesi gereken "tg x": "a tg x+b=0" ve "a tg^2 x + b tg x +c =0" denklemlerini elde ederiz.

Örnek. Denklemi çözün: "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1".

Çözüm. Sağ tarafı `1=sin^2 x+cos^2 x` olarak yazalım:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

"sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0".

Bu ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir, sol ve sağ taraflarını 'cos^2 x \ne 0'a bölersek şunu elde ederiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

"tg^2 x+tg x — 2=0". Şimdi "t^2 + t - 2=0" sonucunu veren "tg x=t" yerine geçen ifadeyi tanıtalım. Bu denklemin kökleri "t_1=-2" ve "t_2=1"dir. Daha sonra:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z'
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Cevap. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `Z'de n \', `x_2=\pi/4+\pi n`, `Z'de n \'.

Yarım Açıya Geçiş

Örnek. Denklemi çözün: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

Çözüm. Çift açı formüllerini uygulayalım ve şunu elde edelim: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 çünkü^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Yukarıda açıklanan cebirsel yöntemi uygulayarak şunları elde ederiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yardımcı açının tanıtılması

a,b,c'nin katsayılar ve x'in bir değişken olduğu "a sin x + b cos x =c" trigonometrik denkleminde, her iki tarafı da "sqrt (a^2+b^2)"'ye bölün:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) çünkü x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))'.

Sol taraftaki katsayılar sinüs ve kosinüs özelliğindedir yani karelerinin toplamı 1'e eşit ve modülleri 1'den büyük değildir. Bunları şu şekilde gösterelim: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, o zaman:

`çünkü \varphi sin x + sin \varphi çünkü x =C`.

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım:

Örnek. Denklemi çözün: '3 sin x+4 cos x=2'.

Çözüm. Eşitliğin her iki tarafını da "sqrt (3^2+4^2)"ye bölersek şunu elde ederiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))'

'3/5 günah x+4/5 çünkü x=2/5'.

`3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi` olsun. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` olduğundan, yardımcı açı olarak `\varphi=arcsin 4/5` alıyoruz. Daha sonra eşitliğimizi şu şekilde yazıyoruz:

`çünkü \varphi sin x+sin \varphi çünkü x=2/5`

Sinüs açılarının toplamı formülünü uygulayarak eşitliğimizi aşağıdaki biçimde yazıyoruz:

'sin (x+\varphi)=2/5',

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Cevap. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kesirli rasyonel trigonometrik denklemler

Bunlar pay ve paydaları trigonometrik fonksiyonlar içeren kesirli eşitliklerdir.

Örnek. Denklemi çözün. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Çözüm. Eşitliğin sağ tarafını '(1+cos x)' ile çarpın ve bölün. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Paydanın sıfıra eşit olamayacağını düşünürsek, `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` elde ederiz.

Kesrin payını sıfıra eşitleyelim: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Daha sonra "sin x=0" veya "1-sin x=0".

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `Z'de n \`
2. "1-sin x=0", "sin x=-1", "x=\pi /2+2\pi n, n \in Z".

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` olduğu göz önüne alındığında, çözümler `x=2\pi n, n \in Z` ve `x=\pi /2+2\pi n` olur , 'n \ Z'de'.

Cevap. `x=2\pi n`, `Z'de n \`, `x=\pi /2+2\pi n`, `Z'de n \`.

Trigonometri ve özellikle trigonometrik denklemler geometri, fizik ve mühendisliğin hemen hemen tüm alanlarında kullanılmaktadır. Eğitim 10. sınıfta başlıyor, Birleşik Devlet Sınavı için her zaman görevler vardır, bu nedenle trigonometrik denklemlerin tüm formüllerini hatırlamaya çalışın - bunlar kesinlikle sizin için yararlı olacaktır!

Ancak bunları ezberlemenize bile gerek yok, asıl önemli olan özü anlamak ve onu çıkarabilmektir. Göründüğü kadar zor değil. Videoyu izleyerek kendiniz görün.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Basit trigonometrik denklemlerin çözümü"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometri problemlerini çözüyoruz. Uzayda inşa etmek için etkileşimli görevler
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Trigonometrik denklemler nelerdir?

3. Trigonometrik denklemleri çözmek için iki ana yöntem.
4. Homojen trigonometrik denklemler.
5. Örnekler.

Trigonometrik denklemler nelerdir?

Arkadaşlar, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant konularını zaten inceledik. Şimdi genel olarak trigonometrik denklemlere bakalım.

Trigonometrik denklemler, bir değişkenin trigonometrik bir fonksiyonun işareti altında bulunduğu denklemlerdir.

En basit trigonometrik denklemlerin çözüm şeklini tekrarlayalım:

1)Eğer |a|≤ 1 ise cos(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Eğer |a|≤ 1 ise sin(x) = a denkleminin bir çözümü vardır:

3) Eğer |a| > 1 ise sin(x) = a ve cos(x) = a denklemlerinin çözümü yoktur 4) tg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a denkleminin bir çözümü vardır: x=arcctg(a)+ πk

Tüm formüller için k bir tam sayıdır

En basit trigonometrik denklemler şu şekildedir: T(kx+m)=a, T bir trigonometrik fonksiyondur.

Örnek.

Denklemleri çözün: a) sin(3x)= √3/2

Çözüm:

A) 3x=t'yi gösterelim, sonra denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Bu denklemin çözümü şöyle olacaktır: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Değerler tablosundan şunu elde ederiz: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Değişkenimize dönelim: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

O zaman x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Cevap: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, burada n bir tamsayıdır. (-1)^n – eksi bir üssü n.

Trigonometrik denklemlere daha fazla örnek.

Denklemleri çözün: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Çözüm:

A) Bu sefer hemen denklemin köklerini hesaplamaya geçelim:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. O zaman x/5= πk => x=5πk

Cevap: x=5πk, burada k bir tamsayıdır.

B) Bunu şu şekilde yazıyoruz: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Bunu biliyoruz: arktan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Cevap: x=2π/9 + πk/3; burada k bir tamsayıdır.

Denklemleri çözün: cos(4x)= √2/2. Ve segmentteki tüm kökleri bulun.

Çözüm:

Biz karar vereceğiz Genel görünüm denklemimiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Şimdi segmentimize hangi köklerin düştüğünü görelim. k'da k=0, x= π/16'da verilen parçadayız.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 ile tekrar vuruyoruz.
k=2 için, x= π/16+ π=17π/16, ancak burada vurmadık, bu da büyük k için de açıkça vuramayacağımız anlamına geliyor.

Cevap: x= π/16, x= 9π/16

İki ana çözüm yöntemi.

En basit trigonometrik denklemlere baktık ama daha karmaşık olanları da var. Bunları çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemi ve çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır. Örneklere bakalım.

Denklemi çözelim:

Çözüm:
Denklemimizi çözmek için yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanacağız: t=tg(x).

Yer değiştirme sonucunda şunu elde ederiz: t 2 + 2t -1 = 0

Kökleri bulalım ikinci dereceden denklem: t=-1 ve t=1/3

O zaman tg(x)=-1 ve tg(x)=1/3 en basit trigonometrik denklemi elde ederiz, köklerini bulalım.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Cevap: x= -π/4+πk; x=yay(1/3) + πk.

Bir denklem çözme örneği

Denklemleri çözün: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Çözüm:

Şu özdeşliği kullanalım: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Denklemimiz şu şekilde olacaktır: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 çünkü 2 (x) - 3 çünkü(x) -2 = 0

t=cos(x) değişimini tanıtalım: 2t 2 -3t - 2 = 0

İkinci dereceden denklemimizin çözümü köklerdir: t=2 ve t=-1/2

O halde cos(x)=2 ve cos(x)=-1/2.

Çünkü kosinüs birden büyük değerler alamaz, bu durumda cos(x)=2'nin kökü yoktur.

cos(x)=-1/2 için: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Cevap: x= ±2π/3 + 2πk

Homojen trigonometrik denklemler.

Tanım: a sin(x)+b cos(x) formundaki denklemlere birinci dereceden homojen trigonometrik denklemler denir.

Formun denklemleri

ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için onu cos(x)'e bölün: Sıfıra eşitse kosinüse bölemezsiniz, durumun böyle olmadığından emin olalım:
cos(x)=0 olsun, sonra asin(x)+0=0 => sin(x)=0 olsun, ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit değildir, bir çelişki elde ederiz, böylece güvenli bir şekilde bölebiliriz sıfır.

Denklemi çözün:
Örnek: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Çözüm:

Ortak çarpanı çıkaralım: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

O zaman iki denklemi çözmemiz gerekiyor:

Cos(x)=0 ve cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, x= π/2 + πk'de;

cos(x)+sin(x)=0 denklemini düşünün. Denklemimizi cos(x)'e bölün:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Cevap: x= π/2 + πk ve x= -π/4+πk

İkinci dereceden homojen trigonometrik denklemler nasıl çözülür?
Beyler, her zaman bu kurallara uyun!

1. a katsayısının neye eşit olduğuna bakın, eğer a=0 ise denklemimiz cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) formunu alacaktır, bunun çözümünün bir örneği önceki slaytta verilmiştir.

2. Eğer a≠0 ise denklemin her iki tarafını kosinüs kareye bölmeniz gerekir, şunu elde ederiz:

t=tg(x) değişkenini değiştirip denklemi elde ederiz:

Örnek No.:3'ü çözün

Denklemi çözün:
Çözüm:

Denklemin her iki tarafını da kosinüs karesine bölelim:

t=tg(x) değişkenini değiştiriyoruz: t 2 + 2 t - 3 = 0

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım: t=-3 ve t=1

O halde: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Cevap: x=-arctg(3) + πk ve x= π/4+ πk

Örnek No.:4'ü çözün

Denklemi çözün:

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

Şu tür denklemleri çözebiliriz: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Cevap: x= - π/4 + 2πk ve x=5π/4 + 2πk

Örnek no.:5'i çözün

Denklemi çözün:

Çözüm:
İfademizi dönüştürelim:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 değişimini tanıtalım

İkinci dereceden denklemimizin çözümü kökler olacaktır: t=-2 ve t=1/2

O zaman şunu elde ederiz: tg(2x)=-2 ve tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= yay(1/2) + πk => x=yay(1/2)/2+ πk/2

Cevap: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ve x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Bağımsız çözüm için problemler.

1) Denklemi çözün

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Denklemleri çözün: sin(3x)= √3/2. Ve [π/2; parçası üzerindeki tüm kökleri bulun. π].

3) Denklemi çözün: bebek karyolası 2 (x) + 2 bebek karyolası (x) + 1 =0

4) Denklemi çözün: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Denklemi çözün: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Denklemi çözün: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)