Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg
α
)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α
между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC|
к длине прилежащего катета |AB|
.
Котангенс (ctg
α
)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α
между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB|
к длине противолежащего катета |BC|
.
Тангенс
Где n
- целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n
- целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg
x
и y = ctg
x
периодичны с периодом π
.
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n
- целое).
| y = tg
x
| y = ctg
x
|
Область определения и непрерывность
|
|
|
Область значений
| -∞ < y < +∞
| -∞ < y < +∞
|
Возрастание
|
| -
|
Убывание
| -
|
|
Экстремумы
| -
| -
|
Нули, y = 0
|
|
|
Точки пересечения с осью ординат, x = 0
| y = 0
| -
|
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
;
.
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x
,
нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin
x
и cos
x
и разделить эти многочлены друг на друга , .
При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
В таблице значения тангенсов от 0° до 360°.
Таблица тангенсов нужна, когда у вас под рукой нет калькулятора. Чтобы узнать, чему равен тангенс угла, просто найдите его в таблице. Для начала короткая версия таблицы:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov — uchim.org
Таблица тангенсов для 0°-180°
tg(1°)
|
0.0175
|
tg(2°)
|
0.0349
|
tg(3°)
|
0.0524
|
tg(4°)
|
0.0699
|
tg(5°)
|
0.0875
|
tg(6°)
|
0.1051
|
tg(7°)
|
0.1228
|
tg(8°)
|
0.1405
|
tg(9°)
|
0.1584
|
tg(10°)
|
0.1763
|
tg(11°)
|
0.1944
|
tg(12°)
|
0.2126
|
tg(13°)
|
0.2309
|
tg(14°)
|
0.2493
|
tg(15°)
|
0.2679
|
tg(16°)
|
0.2867
|
tg(17°)
|
0.3057
|
tg(18°)
|
0.3249
|
tg(19°)
|
0.3443
|
tg(20°)
|
0.364
|
tg(21°)
|
0.3839
|
tg(22°)
|
0.404
|
tg(23°)
|
0.4245
|
tg(24°)
|
0.4452
|
tg(25°)
|
0.4663
|
tg(26°)
|
0.4877
|
tg(27°)
|
0.5095
|
tg(28°)
|
0.5317
|
tg(29°)
|
0.5543
|
tg(30°)
|
0.5774
|
tg(31°)
|
0.6009
|
tg(32°)
|
0.6249
|
tg(33°)
|
0.6494
|
tg(34°)
|
0.6745
|
tg(35°)
|
0.7002
|
tg(36°)
|
0.7265
|
tg(37°)
|
0.7536
|
tg(38°)
|
0.7813
|
tg(39°)
|
0.8098
|
tg(40°)
|
0.8391
|
tg(41°)
|
0.8693
|
tg(42°)
|
0.9004
|
tg(43°)
|
0.9325
|
tg(44°)
|
0.9657
|
tg(45°)
|
1
|
tg(46°)
|
1.0355
|
tg(47°)
|
1.0724
|
tg(48°)
|
1.1106
|
tg(49°)
|
1.1504
|
tg(50°)
|
1.1918
|
tg(51°)
|
1.2349
|
tg(52°)
|
1.2799
|
tg(53°)
|
1.327
|
tg(54°)
|
1.3764
|
tg(55°)
|
1.4281
|
tg(56°)
|
1.4826
|
tg(57°)
|
1.5399
|
tg(58°)
|
1.6003
|
tg(59°)
|
1.6643
|
tg(60°)
|
1.7321
|
|
tg(61°)
|
1.804
|
tg(62°)
|
1.8807
|
tg(63°)
|
1.9626
|
tg(64°)
|
2.0503
|
tg(65°)
|
2.1445
|
tg(66°)
|
2.246
|
tg(67°)
|
2.3559
|
tg(68°)
|
2.4751
|
tg(69°)
|
2.6051
|
tg(70°)
|
2.7475
|
tg(71°)
|
2.9042
|
tg(72°)
|
3.0777
|
tg(73°)
|
3.2709
|
tg(74°)
|
3.4874
|
tg(75°)
|
3.7321
|
tg(76°)
|
4.0108
|
tg(77°)
|
4.3315
|
tg(78°)
|
4.7046
|
tg(79°)
|
5.1446
|
tg(80°)
|
5.6713
|
tg(81°)
|
6.3138
|
tg(82°)
|
7.1154
|
tg(83°)
|
8.1443
|
tg(84°)
|
9.5144
|
tg(85°)
|
11.4301
|
tg(86°)
|
14.3007
|
tg(87°)
|
19.0811
|
tg(88°)
|
28.6363
|
tg(89°)
|
57.29
|
tg(90°)
|
∞
|
tg(91°)
|
-57.29
|
tg(92°)
|
-28.6363
|
tg(93°)
|
-19.0811
|
tg(94°)
|
-14.3007
|
tg(95°)
|
-11.4301
|
tg(96°)
|
-9.5144
|
tg(97°)
|
-8.1443
|
tg(98°)
|
-7.1154
|
tg(99°)
|
-6.3138
|
tg(100°)
|
-5.6713
|
tg(101°)
|
-5.1446
|
tg(102°)
|
-4.7046
|
tg(103°)
|
-4.3315
|
tg(104°)
|
-4.0108
|
tg(105°)
|
-3.7321
|
tg(106°)
|
-3.4874
|
tg(107°)
|
-3.2709
|
tg(108°)
|
-3.0777
|
tg(109°)
|
-2.9042
|
tg(110°)
|
-2.7475
|
tg(111°)
|
-2.6051
|
tg(112°)
|
-2.4751
|
tg(113°)
|
-2.3559
|
tg(114°)
|
-2.246
|
tg(115°)
|
-2.1445
|
tg(116°)
|
-2.0503
|
tg(117°)
|
-1.9626
|
tg(118°)
|
-1.8807
|
tg(119°)
|
-1.804
|
tg(120°)
|
-1.7321
|
|
tg(121°)
|
-1.6643
|
tg(122°)
|
-1.6003
|
tg(123°)
|
-1.5399
|
tg(124°)
|
-1.4826
|
tg(125°)
|
-1.4281
|
tg(126°)
|
-1.3764
|
tg(127°)
|
-1.327
|
tg(128°)
|
-1.2799
|
tg(129°)
|
-1.2349
|
tg(130°)
|
-1.1918
|
tg(131°)
|
-1.1504
|
tg(132°)
|
-1.1106
|
tg(133°)
|
-1.0724
|
tg(134°)
|
-1.0355
|
tg(135°)
|
-1
|
tg(136°)
|
-0.9657
|
tg(137°)
|
-0.9325
|
tg(138°)
|
-0.9004
|
tg(139°)
|
-0.8693
|
tg(140°)
|
-0.8391
|
tg(141°)
|
-0.8098
|
tg(142°)
|
-0.7813
|
tg(143°)
|
-0.7536
|
tg(144°)
|
-0.7265
|
tg(145°)
|
-0.7002
|
tg(146°)
|
-0.6745
|
tg(147°)
|
-0.6494
|
tg(148°)
|
-0.6249
|
tg(149°)
|
-0.6009
|
tg(150°)
|
-0.5774
|
tg(151°)
|
-0.5543
|
tg(152°)
|
-0.5317
|
tg(153°)
|
-0.5095
|
tg(154°)
|
-0.4877
|
tg(155°)
|
-0.4663
|
tg(156°)
|
-0.4452
|
tg(157°)
|
-0.4245
|
tg(158°)
|
-0.404
|
tg(159°)
|
-0.3839
|
tg(160°)
|
-0.364
|
tg(161°)
|
-0.3443
|
tg(162°)
|
-0.3249
|
tg(163°)
|
-0.3057
|
tg(164°)
|
-0.2867
|
tg(165°)
|
-0.2679
|
tg(166°)
|
-0.2493
|
tg(167°)
|
-0.2309
|
tg(168°)
|
-0.2126
|
tg(169°)
|
-0.1944
|
tg(170°)
|
-0.1763
|
tg(171°)
|
-0.1584
|
tg(172°)
|
-0.1405
|
tg(173°)
|
-0.1228
|
tg(174°)
|
-0.1051
|
tg(175°)
|
-0.0875
|
tg(176°)
|
-0.0699
|
tg(177°)
|
-0.0524
|
tg(178°)
|
-0.0349
|
tg(179°)
|
-0.0175
|
tg(180°)
|
-0
|
|
Таблица тангенсов для 180° — 360°
tg(181°)
|
0.0175
|
tg(182°)
|
0.0349
|
tg(183°)
|
0.0524
|
tg(184°)
|
0.0699
|
tg(185°)
|
0.0875
|
tg(186°)
|
0.1051
|
tg(187°)
|
0.1228
|
tg(188°)
|
0.1405
|
tg(189°)
|
0.1584
|
tg(190°)
|
0.1763
|
tg(191°)
|
0.1944
|
tg(192°)
|
0.2126
|
tg(193°)
|
0.2309
|
tg(194°)
|
0.2493
|
tg(195°)
|
0.2679
|
tg(196°)
|
0.2867
|
tg(197°)
|
0.3057
|
tg(198°)
|
0.3249
|
tg(199°)
|
0.3443
|
tg(200°)
|
0.364
|
tg(201°)
|
0.3839
|
tg(202°)
|
0.404
|
tg(203°)
|
0.4245
|
tg(204°)
|
0.4452
|
tg(205°)
|
0.4663
|
tg(206°)
|
0.4877
|
tg(207°)
|
0.5095
|
tg(208°)
|
0.5317
|
tg(209°)
|
0.5543
|
tg(210°)
|
0.5774
|
tg(211°)
|
0.6009
|
tg(212°)
|
0.6249
|
tg(213°)
|
0.6494
|
tg(214°)
|
0.6745
|
tg(215°)
|
0.7002
|
tg(216°)
|
0.7265
|
tg(217°)
|
0.7536
|
tg(218°)
|
0.7813
|
tg(219°)
|
0.8098
|
tg(220°)
|
0.8391
|
tg(221°)
|
0.8693
|
tg(222°)
|
0.9004
|
tg(223°)
|
0.9325
|
tg(224°)
|
0.9657
|
tg(225°)
|
1
|
tg(226°)
|
1.0355
|
tg(227°)
|
1.0724
|
tg(228°)
|
1.1106
|
tg(229°)
|
1.1504
|
tg(230°)
|
1.1918
|
tg(231°)
|
1.2349
|
tg(232°)
|
1.2799
|
tg(233°)
|
1.327
|
tg(234°)
|
1.3764
|
tg(235°)
|
1.4281
|
tg(236°)
|
1.4826
|
tg(237°)
|
1.5399
|
tg(238°)
|
1.6003
|
tg(239°)
|
1.6643
|
tg(240°)
|
1.7321
|
|
tg(241°)
|
1.804
|
tg(242°)
|
1.8807
|
tg(243°)
|
1.9626
|
tg(244°)
|
2.0503
|
tg(245°)
|
2.1445
|
tg(246°)
|
2.246
|
tg(247°)
|
2.3559
|
tg(248°)
|
2.4751
|
tg(249°)
|
2.6051
|
tg(250°)
|
2.7475
|
tg(251°)
|
2.9042
|
tg(252°)
|
3.0777
|
tg(253°)
|
3.2709
|
tg(254°)
|
3.4874
|
tg(255°)
|
3.7321
|
tg(256°)
|
4.0108
|
tg(257°)
|
4.3315
|
tg(258°)
|
4.7046
|
tg(259°)
|
5.1446
|
tg(260°)
|
5.6713
|
tg(261°)
|
6.3138
|
tg(262°)
|
7.1154
|
tg(263°)
|
8.1443
|
tg(264°)
|
9.5144
|
tg(265°)
|
11.4301
|
tg(266°)
|
14.3007
|
tg(267°)
|
19.0811
|
tg(268°)
|
28.6363
|
tg(269°)
|
57.29
|
tg(270°)
|
— ∞
|
tg(271°)
|
-57.29
|
tg(272°)
|
-28.6363
|
tg(273°)
|
-19.0811
|
tg(274°)
|
-14.3007
|
tg(275°)
|
-11.4301
|
tg(276°)
|
-9.5144
|
tg(277°)
|
-8.1443
|
tg(278°)
|
-7.1154
|
tg(279°)
|
-6.3138
|
tg(280°)
|
-5.6713
|
tg(281°)
|
-5.1446
|
tg(282°)
|
-4.7046
|
tg(283°)
|
-4.3315
|
tg(284°)
|
-4.0108
|
tg(285°)
|
-3.7321
|
tg(286°)
|
-3.4874
|
tg(287°)
|
-3.2709
|
tg(288°)
|
-3.0777
|
tg(289°)
|
-2.9042
|
tg(290°)
|
-2.7475
|
tg(291°)
|
-2.6051
|
tg(292°)
|
-2.4751
|
tg(293°)
|
-2.3559
|
tg(294°)
|
-2.246
|
tg(295°)
|
-2.1445
|
tg(296°)
|
-2.0503
|
tg(297°)
|
-1.9626
|
tg(298°)
|
-1.8807
|
tg(299°)
|
-1.804
|
tg(300°)
|
-1.7321
|
|
tg(301°)
|
-1.6643
|
tg(302°)
|
-1.6003
|
tg(303°)
|
-1.5399
|
tg(304°)
|
-1.4826
|
tg(305°)
|
-1.4281
|
tg(306°)
|
-1.3764
|
tg(307°)
|
-1.327
|
tg(308°)
|
-1.2799
|
tg(309°)
|
-1.2349
|
tg(310°)
|
-1.1918
|
tg(311°)
|
-1.1504
|
tg(312°)
|
-1.1106
|
tg(313°)
|
-1.0724
|
tg(314°)
|
-1.0355
|
tg(315°)
|
-1
|
tg(316°)
|
-0.9657
|
tg(317°)
|
-0.9325
|
tg(318°)
|
-0.9004
|
tg(319°)
|
-0.8693
|
tg(320°)
|
-0.8391
|
tg(321°)
|
-0.8098
|
tg(322°)
|
-0.7813
|
tg(323°)
|
-0.7536
|
tg(324°)
|
-0.7265
|
tg(325°)
|
-0.7002
|
tg(326°)
|
-0.6745
|
tg(327°)
|
-0.6494
|
tg(328°)
|
-0.6249
|
tg(329°)
|
-0.6009
|
tg(330°)
|
-0.5774
|
tg(331°)
|
-0.5543
|
tg(332°)
|
-0.5317
|
tg(333°)
|
-0.5095
|
tg(334°)
|
-0.4877
|
tg(335°)
|
-0.4663
|
tg(336°)
|
-0.4452
|
tg(337°)
|
-0.4245
|
tg(338°)
|
-0.404
|
tg(339°)
|
-0.3839
|
tg(340°)
|
-0.364
|
tg(341°)
|
-0.3443
|
tg(342°)
|
-0.3249
|
tg(343°)
|
-0.3057
|
tg(344°)
|
-0.2867
|
tg(345°)
|
-0.2679
|
tg(346°)
|
-0.2493
|
tg(347°)
|
-0.2309
|
tg(348°)
|
-0.2126
|
tg(349°)
|
-0.1944
|
tg(350°)
|
-0.1763
|
tg(351°)
|
-0.1584
|
tg(352°)
|
-0.1405
|
tg(353°)
|
-0.1228
|
tg(354°)
|
-0.1051
|
tg(355°)
|
-0.0875
|
tg(356°)
|
-0.0699
|
tg(357°)
|
-0.0524
|
tg(358°)
|
-0.0349
|
tg(359°)
|
-0.0175
|
tg(360°)
|
-0
|
|
Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций по геометрии: таблица синусов, таблица косинусов и таблица котангенсов.
Всё для учебы » Математика в школе » Таблица тангенсов углов (углы, значения)
Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.
Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):
Знаки тригонометрических функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.
В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α - это ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α - это абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α - это отношение синуса к косинусу.
Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным - положительное направление оси OX (ось абсцисс).
На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус - это ордината(координата y).
А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же - абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y: x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают.
Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти (x < 0, y < 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции - синуса, косинуса и тангенса - на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции - котангенсе.
Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса - никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию - это практика. Желательно - много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число.
Зная четверти, мы легко найдем знаки - по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ , это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ , это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны.
Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ , мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ , это II четверть, в которой синусы положительны, т.е.
sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ - снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ - это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ , речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны.
Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ - это IV координатная четверть, косинусы там положительны.
Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел - такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°.
Но угол 135° ∈ - это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ - это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ - это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения - их произведение тоже будет положительным.
Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать - именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Найдите sin α, если sin2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8.
Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] - это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 - неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е.
извлекаем квадратный корень: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,25 и α ∈ .
Имеем: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
Тригонометрические функции любого угла
Снова смотрим на угол: α ∈ - это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg2 α = 9 и α ∈ .
Все то же самое, только для тангенса.
Извлекаем квадратный корень: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ - это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
Подробная таблица тангенсов. Шаг — 1 градус.
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
Углы 1° — 90°
|
Углы 91 ° — 180°
|
Углы 181° — 270°
|
Углы 271 ° — 360°
|
Угол
|
|
1°
|
tg= 0.0174
|
2°
|
tg= 0.0349
|
3°
|
tg= 0.0524
|
4°
|
tg= 0.0699
|
5°
|
tg= 0.0874
|
6°
|
tg= 0.1051
|
7°
|
tg= 0.1227
|
8°
|
tg= 0.1405
|
9°
|
tg= 0.1583
|
10°
|
tg= 0.1763
|
11°
|
tg= 0.1943
|
12°
|
tg= 0.2125
|
13°
|
tg= 0.2308
|
14°
|
tg= 0.2493
|
15°
|
tg= 0.2679
|
16°
|
tg= 0.2867
|
17°
|
tg= 0.3057
|
18°
|
tg= 0.3249
|
19°
|
tg= 0.3443
|
20°
|
tg= 0.364
|
21°
|
tg= 0.3839
|
22°
|
tg= 0.404
|
23°
|
tg= 0.4245
|
24°
|
tg= 0.4452
|
25°
|
tg= 0.4663
|
26°
|
tg= 0.4877
|
27°
|
tg= 0.5095
|
28°
|
tg= 0.5317
|
29°
|
tg= 0.5543
|
30°
|
tg= 0.5774
|
31°
|
tg= 0.6009
|
32°
|
tg= 0.6249
|
33°
|
tg= 0.6494
|
34°
|
tg= 0.6745
|
35°
|
tg= 0.7002
|
36°
|
tg= 0.7265
|
37°
|
tg= 0.7535
|
38°
|
tg= 0.7813
|
39°
|
tg= 0.8098
|
40°
|
tg= 0.8390
|
41°
|
tg= 0.8693
|
42°
|
tg= 0.9004
|
43°
|
tg= 0.9325
|
44°
|
tg= 0.9657
|
45°
|
tg= 1
|
46°
|
tg= 1.0355
|
47°
|
tg= 1.0724
|
48°
|
tg= 1.1106
|
49°
|
tg= 1.1504
|
50°
|
tg= 1.1918
|
51°
|
tg= 1.2349
|
52°
|
tg= 1.2799
|
53°
|
tg= 1.327
|
54°
|
tg= 1.3764
|
55°
|
tg= 1.4281
|
56°
|
tg= 1.4826
|
57°
|
tg= 1.5399
|
58°
|
tg= 1.6003
|
59°
|
tg= 1.6643
|
60°
|
tg= 1.7321
|
61°
|
tg= 1.804
|
62°
|
tg= 1.8807
|
63°
|
tg= 1.9626
|
64°
|
tg= 2.0503
|
65°
|
tg= 2.1445
|
66°
|
tg= 2.2460
|
67°
|
tg= 2.3559
|
68°
|
tg= 2.475
|
69°
|
tg= 2.605
|
70°
|
tg= 2.7475
|
71°
|
tg= 2.9042
|
72°
|
tg= 3.0777
|
73°
|
tg= 3.2709
|
74°
|
tg= 3.4874
|
75°
|
tg= 3.732
|
76°
|
tg= 4.0108
|
77°
|
tg= 4.3315
|
78°
|
tg= 4.7046
|
79°
|
tg= 5.1446
|
80°
|
tg= 5.6713
|
81°
|
tg= 6.3138
|
82°
|
tg= 7.1154
|
83°
|
tg= 8.1443
|
84°
|
tg= 9.5144
|
85°
|
tg= 11.4301
|
86°
|
tg= 14.3007
|
87°
|
tg= 19.0811
|
88°
|
tg= 28.6363
|
89°
|
tg= 57.29
|
90°
|
tg не определен
|
|
Угол
|
|
91°
|
tg= -57.29
|
92°
|
tg= -28.6363
|
93°
|
tg= -19.0811
|
94°
|
tg= -14.3007
|
95°
|
tg= -11.4301
|
96°
|
tg= -9.5144
|
97°
|
tg= -8.1443
|
98°
|
tg= -7.1154
|
99°
|
tg= -6.3138
|
100°
|
tg= -5.6713
|
101°
|
tg= -5.1446
|
102°
|
tg= -4.7046
|
103°
|
tg= -4.3315
|
104°
|
tg= -4.0108
|
105°
|
tg= -3.732
|
106°
|
tg= -3.4874
|
107°
|
tg= -3.2709
|
108°
|
tg= -3.0777
|
109°
|
tg= -2.9042
|
110°
|
tg= -2.7475
|
111°
|
tg= -2.605
|
112°
|
tg= -2.475
|
113°
|
tg= -2.3559
|
114°
|
tg= -2.2460
|
115°
|
tg= -2.1445
|
116°
|
tg= -2.0503
|
117°
|
tg= -1.9626
|
118°
|
tg= -1.8807
|
119°
|
tg= -1.804
|
120°
|
tg= -1.7321
|
121°
|
tg= -1.6643
|
122°
|
tg= -1.6003
|
123°
|
tg= -1.5399
|
124°
|
tg= -1.4826
|
125°
|
tg= -1.4281
|
126°
|
tg= -1.3764
|
127°
|
tg= -1.327
|
128°
|
tg= -1.2799
|
129°
|
tg= -1.2349
|
130°
|
tg= -1.1918
|
131°
|
tg= -1.1504
|
132°
|
tg= -1.1106
|
133°
|
tg= -1.0724
|
134°
|
tg= -1.0355
|
135°
|
tg= -1
|
136°
|
tg= -0.9657
|
137°
|
tg= -0.9325
|
138°
|
tg= -0.9004
|
139°
|
tg= -0.8693
|
140°
|
tg= -0.8390
|
141°
|
tg= -0.8098
|
142°
|
tg= -0.7813
|
143°
|
tg= -0.7535
|
144°
|
tg= -0.7265
|
145°
|
tg= -0.7002
|
146°
|
tg= -0.6745
|
147°
|
tg= -0.6494
|
148°
|
tg= -0.6249
|
149°
|
tg= -0.6009
|
150°
|
tg= -0.5774
|
151°
|
tg= -0.5543
|
152°
|
tg= -0.5317
|
153°
|
tg= -0.5095
|
154°
|
tg= -0.4877
|
155°
|
tg= -0.4663
|
156°
|
tg= -0.4452
|
157°
|
tg= -0.4245
|
158°
|
tg= -0.404
|
159°
|
tg= -0.3839
|
160°
|
tg= -0.364
|
161°
|
tg= -0.3443
|
162°
|
tg= -0.3249
|
163°
|
tg= -0.3057
|
164°
|
tg= -0.2867
|
165°
|
tg= -0.2679
|
166°
|
tg= -0.2493
|
167°
|
tg= -0.2308
|
168°
|
tg= -0.2125
|
169°
|
tg= -0.1943
|
170°
|
tg= -0.1763
|
171°
|
tg= -0.1583
|
172°
|
tg= -0.1405
|
173°
|
tg= -0.1227
|
174°
|
tg= -0.1051
|
175°
|
tg= -0.0874
|
176°
|
tg= -0.0699
|
177°
|
tg= -0.0524
|
178°
|
tg= -0.0349
|
179°
|
tg= -0.0174
|
180°
|
tg= 0
|
|
Угол
|
|
181°
|
tg= 0.0174
|
182°
|
tg= 0.0349
|
183°
|
tg= 0.0524
|
184°
|
tg= 0.0699
|
185°
|
tg= 0.0874
|
186°
|
tg= 0.1051
|
187°
|
tg= 0.1227
|
188°
|
tg= 0.1405
|
189°
|
tg= 0.1583
|
190°
|
tg= 0.1763
|
191°
|
tg= 0.1943
|
192°
|
tg= 0.2125
|
193°
|
tg= 0.2308
|
194°
|
tg= 0.2493
|
195°
|
tg= 0.2679
|
196°
|
tg= 0.2867
|
197°
|
tg= 0.3057
|
198°
|
tg= 0.3249
|
199°
|
tg= 0.3443
|
200°
|
tg= 0.364
|
201°
|
tg= 0.3839
|
202°
|
tg= 0.404
|
203°
|
tg= 0.4245
|
204°
|
tg= 0.4452
|
205°
|
tg= 0.4663
|
206°
|
tg= 0.4877
|
207°
|
tg= 0.5095
|
208°
|
tg= 0.5317
|
209°
|
tg= 0.5543
|
210°
|
tg= 0.5774
|
211°
|
tg= 0.6009
|
212°
|
tg= 0.6249
|
213°
|
tg= 0.6494
|
214°
|
tg= 0.6745
|
215°
|
tg= 0.7002
|
216°
|
tg= 0.7265
|
217°
|
tg= 0.7535
|
218°
|
tg= 0.7813
|
219°
|
tg= 0.8098
|
220°
|
tg= 0.8390
|
221°
|
tg= 0.8693
|
222°
|
tg= 0.9004
|
223°
|
tg= 0.9325
|
224°
|
tg= 0.9657
|
225°
|
tg= 1
|
226°
|
tg= 1.0355
|
227°
|
tg= 1.0724
|
228°
|
tg= 1.1106
|
229°
|
tg= 1.1504
|
230°
|
tg= 1.1918
|
231°
|
tg= 1.2349
|
232°
|
tg= 1.2799
|
233°
|
tg= 1.327
|
234°
|
tg= 1.3764
|
235°
|
tg= 1.4281
|
236°
|
tg= 1.4826
|
237°
|
tg= 1.5399
|
238°
|
tg= 1.6003
|
239°
|
tg= 1.6643
|
240°
|
tg= 1.7321
|
241°
|
tg= 1.804
|
242°
|
tg= 1.8807
|
243°
|
tg= 1.9626
|
244°
|
tg= 2.0503
|
245°
|
tg= 2.1445
|
246°
|
tg= 2.2460
|
247°
|
tg= 2.3559
|
248°
|
tg= 2.475
|
249°
|
tg= 2.605
|
250°
|
tg= 2.7475
|
251°
|
tg= 2.9042
|
252°
|
tg= 3.0777
|
253°
|
tg= 3.2709
|
254°
|
tg= 3.4874
|
255°
|
tg= 3.732
|
256°
|
tg= 4.0108
|
257°
|
tg= 4.3315
|
258°
|
tg= 4.7046
|
259°
|
tg= 5.1446
|
260°
|
tg= 5.6713
|
261°
|
tg= 6.3138
|
262°
|
tg= 7.1154
|
263°
|
tg= 8.1443
|
264°
|
tg= 9.5144
|
265°
|
tg= 11.4301
|
266°
|
tg= 14.3007
|
267°
|
tg= 19.0811
|
268°
|
tg= 28.6363
|
269°
|
tg= 57.29
|
270°
|
tg не определен
|
|
Угол
|
|
271°
|
tg= -57.29
|
272°
|
tg= -28.6363
|
273°
|
tg= -19.0811
|
274°
|
tg= -14.3007
|
275°
|
tg= -11.4301
|
276°
|
tg= -9.5144
|
277°
|
tg= -8.1443
|
278°
|
tg= -7.1154
|
279°
|
tg= -6.3138
|
280°
|
tg= -5.6713
|
281°
|
tg= -5.1446
|
282°
|
tg= -4.7046
|
283°
|
tg= -4.3315
|
284°
|
tg= -4.0108
|
285°
|
tg= -3.732
|
286°
|
tg= -3.4874
|
287°
|
tg= -3.2709
|
288°
|
tg= -3.0777
|
289°
|
tg= -2.9042
|
290°
|
tg= -2.7475
|
291°
|
tg= -2.605
|
292°
|
tg= -2.475
|
293°
|
tg= -2.3559
|
294°
|
tg= -2.2460
|
295°
|
tg= -2.1445
|
296°
|
tg= -2.0503
|
297°
|
tg= -1.9626
|
298°
|
tg= -1.8807
|
299°
|
tg= -1.804
|
300°
|
tg= -1.7321
|
301°
|
tg= -1.6643
|
302°
|
tg= -1.6003
|
303°
|
tg= -1.5399
|
304°
|
tg= -1.4826
|
305°
|
tg= -1.4281
|
306°
|
tg= -1.3764
|
307°
|
tg= -1.327
|
308°
|
tg= -1.2799
|
309°
|
tg= -1.2349
|
310°
|
tg= -1.1918
|
311°
|
tg= -1.1504
|
312°
|
tg= -1.1106
|
313°
|
tg= -1.0724
|
314°
|
tg= -1.0355
|
315°
|
tg= -1
|
316°
|
tg= -0.9657
|
317°
|
tg= -0.9325
|
318°
|
tg= -0.9004
|
319°
|
tg= -0.8693
|
320°
|
tg= -0.8390
|
321°
|
tg= -0.8098
|
322°
|
tg= -0.7813
|
323°
|
tg= -0.7535
|
324°
|
tg= -0.7265
|
325°
|
tg= -0.7002
|
326°
|
tg= -0.6745
|
327°
|
tg= -0.6494
|
328°
|
tg= -0.6249
|
329°
|
tg= -0.6009
|
330°
|
tg= -0.5774
|
331°
|
tg= -0.5543
|
332°
|
tg= -0.5317
|
333°
|
tg= -0.5095
|
334°
|
tg= -0.4877
|
335°
|
tg= -0.4663
|
336°
|
tg= -0.4452
|
337°
|
tg= -0.4245
|
338°
|
tg= -0.404
|
339°
|
tg= -0.3839
|
340°
|
tg= -0.364
|
341°
|
tg= -0.3443
|
342°
|
tg= -0.3249
|
343°
|
tg= -0.3057
|
344°
|
tg= -0.2867
|
345°
|
tg= -0.2679
|
346°
|
tg= -0.2493
|
347°
|
tg= -0.2308
|
348°
|
tg= -0.2125
|
349°
|
tg= -0.1943
|
350°
|
tg= -0.1763
|
351°
|
tg= -0.1583
|
352°
|
tg= -0.1405
|
353°
|
tg= -0.1227
|
354°
|
tg= -0.1051
|
355°
|
tg= -0.0874
|
356°
|
tg= -0.0699
|
357°
|
tg= -0.0524
|
358°
|
tg= -0.0349
|
359°
|
tg= -0.0174
|
360°
|
tg= 0
|
|
таблица тангенсов, таблица тангенсов и синусов, таблица тангенсов косинусов, таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов
Оценка статьи: