Abi Tele2-st, tariifid, küsimused

2. videoõpetus: Püramiidi probleem. Püramiidi ruumala

3. videoõpetus: Püramiidi probleem. Õige püramiid

Loeng: Püramiid, selle alus, külgmised ribid, kõrgus, külgpind; kolmnurkne püramiid; tavaline püramiid

Püramiid on kolmemõõtmeline keha, mille põhjas on hulknurk ja mille kõik tahud koosnevad kolmnurkadest.

Püramiidi erijuhtum on koonus, mille põhjas on ring.

Vaatame püramiidi põhielemente:

Apoteem- see on segment, mis ühendab püramiidi ülaosa külgpinna alumise serva keskosaga. Teisisõnu, see on püramiidi serva kõrgus.

Joonisel on näha kolmnurgad ADS, ABS, BCS, CDS. Kui vaatate nimesid tähelepanelikult, näete, et iga kolmnurga nimes on üks ühine täht - S. See tähendab, et kõik külgpinnad (kolmnurgad) koonduvad ühte punkti, mida nimetatakse püramiidi tipuks. .

Segmenti OS, mis ühendab tippu aluse diagonaalide lõikepunktiga (kolmnurkade puhul - kõrguste ristumispunktis) nimetatakse püramiidi kõrgus.

Diagonaallõik on tasapind, mis läbib püramiidi ülaosa, samuti üht aluse diagonaali.

Kuna püramiidi külgpind koosneb kolmnurkadest, on külgpinna kogupindala leidmiseks vaja leida iga näo pindala ja need kokku liita. Tahkude arv ja kuju sõltub põhjas asuva hulknurga külgede kujust ja suurusest.

Ainsat püramiidi tasapinda, mis ei kuulu selle tippu, nimetatakse alus püramiidid.

Joonisel näeme, et alus on rööpkülik, kuid see võib olla suvaline hulknurk.

Omadused:

Mõelge püramiidi esimesele juhtumile, kus selle servad on sama pikkusega:

• Sellise püramiidi aluse ümber saab tõmmata ringi. Kui projitseerite sellise püramiidi tipu, asub selle projektsioon ringi keskel.
• Püramiidi aluse nurgad on mõlemal küljel samad.
• Sel juhul võib piisavaks tingimuseks, et püramiidi aluse ümber saab kirjeldada ringjoont, ja ka seda, et kõik servad on erineva pikkusega, võib pidada samu nurki aluse ja tahkude iga serva vahel.

Kui puutute kokku püramiidiga, mille külgpindade ja aluse vahelised nurgad on võrdsed, kehtivad järgmised omadused:

• Saate kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse, mille tipp on projitseeritud täpselt keskele.
• Kui tõmbate kõrguse iga külgserva alusele, on need võrdse pikkusega.
• Sellise püramiidi külgpinna leidmiseks piisab, kui leida aluse ümbermõõt ja korrutada see poole kõrguse pikkusega.
• S bp = 0,5P oc H.
• Püramiidi tüübid.
• Sõltuvalt sellest, milline hulknurk asub püramiidi põhjas, võivad need olla kolmnurksed, nelinurksed jne. Kui püramiidi põhjas on korrapärane hulknurk (võrdsete külgedega), nimetatakse sellist püramiidi korrapäraseks.

Regulaarne kolmnurkne püramiid

GEOMEETRILISTE KEHADE PINNAALA JA ruumala

§ 114. PÜRAMIID.

1. Mõisted.

Püramiid on geomeetriline keha, mida piiravad hulknurk, mida nimetatakse püramiidi põhjaks, ja ühise tipuga kolmnurgad, mida nimetatakse külgpindadeks.

Kõigi külgpindade ühist tippu nimetatakse üleval püramiidid.

Kõrgus püramiidi nimetatakse risti, mis on langetatud püramiidi tipust selle alusele (joonis 426).

Nimetatakse püramiidi, mille alus on korrapärane hulknurk ja mille kõrgus läbib aluse keskpunkti õige. Tavalise püramiidi külgmised tahud on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.

Tavalise püramiidi külgpinna kõrgust, mis on langetatud ülevalt aluse küljele, nimetatakse apoteem püramiidid.

Joonistel 427, 428, 429 on kujutatud korrapäraste püramiidide kujutised ja arendused: kolmnurksed, nelinurksed ja kuusnurksed. Joonisel 430 on kujutatud Egiptuse püramiide.

Harjutused.

Tehke arendusi joonistel 427, 428, 429 näidatud tavalistest püramiididest ja tehke nendest püramiidimudelid.

2. Püramiidi pindala.

Püramiidi külgpinna pindala määramiseks peate leidma selle kõigi külgpindade pindalade summa.

Kui lisate selle aluse pindala püramiidi külgpinna pindalale, saate püramiidi kogupindala.

Lühiduse mõttes öeldakse: püramiidi külgpind ja püramiidi kogu pind, jättes välja sõna "pindala".

Harjutused.

1. Tavalise püramiidi põhjas on kolmnurk, mille külg on 12 cm. Püramiidi apoteem on 20 cm.

Arvutama:
a) baaspind,
b) külgpind,
c) selle püramiidi kogu pind.

2. Korrapärase kolmnurkse püramiidi külgpinnad on võrdkülgsed kolmnurgad. Aluse külg on võrdne A vt Selle püramiidi külg- ja kogupinna arvutamine (joonis 431).

3. Lahendage see ülesanne teist korda, paigutades püramiidi tahud rööpkülikukujuliseks (joonis 432).

3. Püramiidi ruumala.

Gümnaasiumis on tõestatud, et püramiidi ruumala on 1/3 prisma mahust, mille alus on sama mis püramiidil ja sama kõrgus (joon. 433).

Seetõttu arvutatakse püramiidi maht järgmise valemiga:

kus V on püramiidi ruumala, S on aluse pindala, H on püramiidi kõrgus.

Selle valemi illustreerimiseks on soovitatav teha papist sirge nelinurkne prisma ja nelinurkne püramiid, millel on võrdsed alused ja võrdsed kõrgused. Kui see püramiid täita näiteks liivaga ja seejärel valada see liiv valmistatud prismasse, täidab liiv vaid 1/3 prisma mahust. Prisma liivaga täitmiseks tuleb kolm korda täidetud püramiidist liiva sinna valada (joonis 434).

Harjutused.

Ülaltoodud valemi abil lahendage allolevas tabelis olevate andmete abil mitmeid probleeme.

Püramiid on hulktahukas, mille põhjas on hulknurk. Kõik tahud moodustavad omakorda kolmnurgad, mis koonduvad ühte tippu. Püramiidid on kolmnurksed, nelinurksed jne. Selleks, et teha kindlaks, milline püramiid on teie ees, piisab, kui loete selle põhjas olevate nurkade arvu. "Püramiidi kõrguse" määratlus leidub väga sageli kooli õppekava geomeetriaülesannetes. Selles artiklis proovime vaadata erinevaid viise selle leidmiseks.

Püramiidi osad

Iga püramiid koosneb järgmistest elementidest:

• külgpinnad, millel on kolm nurka ja koonduvad tipus;
• apoteem tähistab kõrgust, mis laskub selle tipust;
• püramiidi tipp on punkt, mis ühendab külgribisid, kuid ei asu aluse tasapinnal;
• alus on hulknurk, millel tipp ei asu;
• püramiidi kõrgus on segment, mis lõikub püramiidi tipuga ja moodustab selle põhjaga täisnurga.

Kuidas leida püramiidi kõrgust, kui selle ruumala on teada

Valemi V = (S*h)/3 abil (valemis V on ruumala, S on aluse pindala, h on püramiidi kõrgus) leiame, et h = (3*V)/ S. Materjali konsolideerimiseks lahendame probleemi kohe. Kolmnurkse aluse pindala on 50 cm 2, selle maht aga 125 cm 3 . Kolmnurkse püramiidi kõrgus on teadmata, see on see, mida me peame leidma. Siin on kõik lihtne: sisestame andmed oma valemisse. Saame h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Kuidas leida püramiidi kõrgust, kui on teada diagonaali pikkus ja selle servad

Nagu mäletame, moodustab püramiidi kõrgus selle põhjaga täisnurga. See tähendab, et kõrgus, serv ja pool diagonaalist moodustavad koos Paljud muidugi mäletavad Pythagorase teoreemi. Teades kahte mõõdet, pole kolmanda koguse leidmine keeruline. Tuletame meelde üldtuntud teoreemi a² = b² + c², kus a on hüpotenuus ja meie puhul püramiidi serv; b - esimene jalg või pool diagonaalist ja c - vastavalt teine ​​jalg või püramiidi kõrgus. Sellest valemist c² = a² - b².

Nüüd probleem: tavalises püramiidis on diagonaal 20 cm, kui serva pikkus on 30 cm, peate leidma kõrguse. Lahendame: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Seega c = √ 500 = umbes 22,4.

Kuidas leida kärbitud püramiidi kõrgust

See on hulknurk, mille ristlõige on selle põhjaga paralleelne. Kärbitud püramiidi kõrgus on segment, mis ühendab selle kahte alust. Tavalise püramiidi kõrguse saab leida, kui on teada mõlema aluse diagonaalide pikkused ja ka püramiidi serv. Olgu suurema aluse diagonaal d1, väiksema aluse diagonaal d2 ja serva pikkus l. Kõrguse leidmiseks saate alandada kõrgused diagrammi kahest ülemisest vastaspunktist selle alusele. Näeme, et meil on kaks täisnurkset kolmnurka, mis jääb üle vaid leida nende jalgade pikkused. Selleks lahutage suuremast diagonaalist väiksem ja jagage 2-ga. Nii leiame ühe jala: a = (d1-d2)/2. Pärast mida peame Pythagorase teoreemi järgi leidma vaid teise jala, mis on püramiidi kõrgus.

Vaatame nüüd kogu seda asja praktikas. Meil seisab ees ülesanne. Kärbitud püramiidi põhjas on ruut, suurema aluse diagonaali pikkus on 10 cm, väiksema 6 cm ja serva pikkus on 4 cm. Peate leidma kõrguse. Esiteks leiame ühe jala: a = (10-6) / 2 = 2 cm, ja hüpotenuus on 4 cm. Selgub, et teine ​​jalg või kõrgus on 16-. 4 = 12, see tähendab, h = √12 = umbes 3,5 cm.

Oleme hästi teadlikud suurtest Egiptuse püramiididest; igaüks võib ette kujutada, millised need välja näevad. See idee aitab meil mõista sellise geomeetrilise kujundi nagu püramiidi omadusi.

Püramiid on hulktahukas, mis koosneb tasasest hulknurgast - püramiidi alusest, punktist, mis ei asu aluse tasapinnas - püramiidi tipust ja kõigist segmentidest, mis ühendavad tippu aluse punktidega. Segmente, mis ühendavad püramiidi tippu aluse tippudega, nimetatakse külgservadeks. Joonisel fig. 1 kujutab püramiidi SABCD. Nelinurk ABCD on püramiidi alus, punkt S on püramiidi tipp, segmendid SA, SB, SC ja SD on püramiidi servad.

Püramiidi kõrgus on püramiidi tipust aluse tasapinnani laskuv risti. Joonisel fig. 1 SO – püramiidi kõrgus.

Püramiidi nimetatakse n-nurkseks, kui selle alus on n-nurkne. Joonisel 1 on kujutatud nelinurkne püramiid. Kolmnurkset püramiidi nimetatakse tetraeedriks.

Püramiidi nimetatakse korrapäraseks, kui selle alus on korrapärane hulknurk ja selle kõrgus langeb kokku selle hulknurga keskpunktiga. Tavalise püramiidi külgmised servad on võrdsed ja seetõttu on külgpinnad võrdhaarsed kolmnurgad. Tavalises püramiidis nimetatakse püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgust apoteemiks.

Püramiidil on mitmeid omadusi.

Kõik püramiidi diagonaalid kuuluvad selle tahkudele.

Kui kõik külgmised servad on võrdsed, siis:

• püramiidi aluse lähedal võib kirjeldada ringi, kus püramiidi tipp on projitseeritud selle keskmesse;
• külgservad moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad ja vastupidi, kui külgservad moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse, siis püramiidi tipuga. püramiidi projitseerimine selle keskpunkti, siis on kõik püramiidi külgservad võrdsed.

Kui külgpinnad on põhitasandi suhtes sama nurga all, siis:

• püramiidi põhja saab kirjutada ringi ja püramiidi tipp projitseeritakse selle keskmesse;
• külgpindade kõrgused on võrdsed;
• Külgpinna pindala on võrdne poolega aluse perimeetri ja külgpinna kõrguse korrutisest.

Vaatleme valemeid püramiidi ruumala ja pindala leidmiseks.

Püramiidi ruumala saab arvutada järgmise valemi abil:

kus S on aluse pindala ja h on kõrgus.

Püramiidi kogupindala leidmiseks peate kasutama valemit:

S p = S b + S o ,

kus S p on kogupindala, S b on külgpind, S o on põhipind.

Tüvipüramiid on hulktahukas, mis on suletud püramiidi aluse ja selle põhjaga paralleelse lõiketasandi vahele. Paralleelsetes tasapindades asetsevaid kärbitud püramiidi tahke nimetatakse kärbitud püramiidi alusteks, ülejäänud tahke külgpindadeks. Tüvipüramiidi põhjad on sarnased hulknurgad ja külgpinnad on trapetsikujulised. Tüvipüramiidi, mis saadakse tavalisest püramiidist, nimetatakse tavaliseks kärbitud püramiidiks. Korrapärase kärbitud trapetsi külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed trapetsid, mille kõrgusi nimetatakse apoteemideks.

veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Püramiid- see on hulktahukas, mille üks tahk on püramiidi alus - suvaline hulknurk ja ülejäänud on külgpinnad - ühise tipuga kolmnurgad, mida nimetatakse püramiidi tipuks. Püramiidi tipust selle alusele langenud risti nimetatakse püramiidi kõrgus. Püramiidi nimetatakse kolmnurkseks, nelinurkseks jne, kui püramiidi aluseks on kolmnurk, nelinurk vms. Kolmnurkne püramiid on tetraeeder – tetraeedr. Nelinurkne – viisnurk jne.

Püramiid, Kärbitud püramiid

Õige püramiid

Kui püramiidi alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele, siis on püramiid korrapärane. Tavalises püramiidis on kõik külgmised servad võrdsed, kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Tavalise püramiidi külgpinna kolmnurga kõrgust nimetatakse - tavalise püramiidi apoteem.

Kärbitud püramiid

Püramiidi põhjaga paralleelne lõik jagab püramiidi kaheks osaks. Püramiidi osa selle aluse ja selle lõigu vahel on kärbitud püramiid . See kärbitud püramiidi sektsioon on üks selle aluseid. Tüvipüramiidi aluste vahelist kaugust nimetatakse tüvipüramiidi kõrguseks. Kärbitud püramiidi nimetatakse regulaarseks, kui püramiid, millest see tuletati, oli korrapärane. Korrapärase kärbitud püramiidi kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed trapetsid. Tavalise kärbitud püramiidi külgpinna trapetsi kõrgust nimetatakse - tavalise kärbitud püramiidi apoteem.