Abi Tele2-st, tariifid, küsimused

Lihtsaim lahendus trigonomeetrilised võrrandid.

Mis tahes keerukusega trigonomeetriliste võrrandite lahendamine taandub lõpuks kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisele. Ja selles osutub trigonomeetriline ring taas parimaks abiliseks.

Tuletame meelde koosinuse ja siinuse definitsioone.

Nurga koosinus on ühikringi punkti abstsiss (st koordinaat piki telge), mis vastab pöördele läbi antud nurga.

Nurga siinus on ühikringi punkti ordinaat (st koordinaat piki telge), mis vastab pöördele läbi antud nurga.

Positiivne liikumissuund trigonomeetrilisel ringil on vastupäeva. Pööramine 0 kraadi (või 0 radiaani) vastab punktile koordinaatidega (1; 0)

Me kasutame neid definitsioone lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.

1. Lahenda võrrand

See võrrand on täidetud kõigi pöördenurga väärtustega, mis vastavad ringi punktidele, mille ordinaat on võrdne .

Märgime ordinaatteljel punkti, millel on ordinaat:

Joonistage x-teljega paralleelne horisontaaljoon, kuni see lõikub ringiga. Saame kaks punkti, mis asuvad ringil ja millel on ordinaat. Need punktid vastavad pöördenurkadele ja radiaanides:

Kui me, jättes pöördenurgale radiaani kohta vastava punkti, läheme ümber täisringi, siis jõuame punkti, mis vastab pöördenurgale radiaani kohta ja millel on sama ordinaat. See tähendab, et see pöördenurk rahuldab ka meie võrrandit. Saame teha nii palju "tühikäigu" pöördeid, kui tahame, naastes samasse punkti ja kõik need nurga väärtused rahuldavad meie võrrandit. Tühikäigu pöörete arv tähistatakse tähega (või). Kuna me saame neid pöördeid teha nii positiivses kui ka negatiivses suunas, võib (või) võtta mis tahes täisarvu.

See tähendab, et algse võrrandi lahenduste esimene seeria on kujul:

, , - täisarvude hulk (1)

Sarnaselt on teisel lahenduste seeria vorm:

, Kus,. (2)

Nagu võis arvata, põhineb see lahendusseeria ringil asuval punktil, mis vastab pöördenurgale .

Need kaks lahenduste seeriat saab ühendada üheks kirjeks:

Kui võtta (st isegi) see kirje, siis saame esimese seeria lahendusi.

Kui võtame selles kirjes (st paaritu), saame teise lahenduste seeria.

2. Nüüd lahendame võrrandi

Kuna see on läbi nurga pööramisel saadud ühikringi punkti abstsiss, märgime punkti abstsissiga teljel:

Joonistage teljega paralleelne vertikaaljoon, kuni see lõikub ringiga. Ringil lamades ja abstsissiga saame kaks punkti. Need punktid vastavad pöördenurkadele in ja radiaanides. Tuletame meelde, et päripäeva liikudes saame negatiivse pöördenurga:

Paneme kirja kaks lahenduste seeriat:

,

,

(Me jõuame soovitud punkti, minnes põhiringist, see tähendab.

Ühendame need kaks seeriat üheks kirjeks:

3. Lahenda võrrand

Puutuja läbib OY-teljega paralleelset ühikuringi koordinaatidega (1,0) punkti

Märgime sellele punkti, mille ordinaat on võrdne 1-ga (otsime puutujat, mille nurk on võrdne 1-ga):

Ühendame selle punkti sirgjoonega koordinaatide alguspunktiga ja märgime sirge lõikepunktid ühikringiga. Sirge ja ringi lõikepunktid vastavad pöördenurkadele ja:

Kuna meie võrrandit rahuldavad pöördenurkadele vastavad punktid asuvad üksteisest radiaani kaugusel, saame lahenduse kirjutada järgmiselt:

4. Lahenda võrrand

Kootangentide joon läbib punkti, mille ühikringi koordinaadid on paralleelsed teljega.

Märgime kotangensjoonele punkti abstsissiga -1:

Ühendame selle punkti sirge alguspunktiga ja jätkame seda, kuni see ristub ringiga. See sirgjoon lõikab ringi punktides, mis vastavad pöördenurkadele in ja radiaanides:

Kuna need punktid on üksteisest eraldatud kaugusega , saame selle võrrandi üldlahenduse kirjutada järgmiselt:

Toodud näidetes, mis illustreerivad kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendust, kasutati trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi.

Kui aga võrrandi parem pool sisaldab mittetabelilist väärtust, siis asendame väärtuse võrrandi üldlahendusega:

ERILAHENDUSED:

Märgime punktid ringile, mille ordinaat on 0:

Märgime ringile ühe punkti, mille ordinaat on 1:

Märgime ringile ühe punkti, mille ordinaat on võrdne -1-ga:

Kuna tavaks on näidata nullile lähedasemaid väärtusi, kirjutame lahenduse järgmiselt:

Märgime punktid ringile, mille abstsiss on 0:

5.
Märgime ringile ühe punkti, mille abstsiss on võrdne 1-ga:

Märgime ringile ühe punkti, mille abstsiss on võrdne -1:

Ja veidi keerulisemad näited:

1.

Siinus on võrdne ühega, kui argument on võrdne

Meie siinuse argument on võrdne, seega saame:

Jagame võrdsuse mõlemad pooled 3-ga:

Vastus:

2.

Koosinus on null, kui koosinuse argument on

Meie koosinuse argument on võrdne , seega saame:

Väljendame , selleks liigume kõigepealt paremale vastupidise märgiga:

Lihtsustame paremat poolt:

Jagage mõlemad pooled -2-ga:

Pange tähele, et termini ees olev märk ei muutu, kuna k võib võtta mis tahes täisarvu.

Vastus:

Ja lõpuks vaadake videoõpetust „Juurte valimine trigonomeetrilises võrrandis kasutades trigonomeetriline ring"

See lõpetab meie vestluse lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise kohta. Järgmisel korral räägime, kuidas otsustada.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise kontseptsioon.

• Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks teisendage see üheks või mitmeks trigonomeetriliseks põhivõrrandiks. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine taandub lõpuks nelja põhilise trigonomeetrilise võrrandi lahendamisele.

Põhiliste trigonomeetriliste võrrandite lahendamine.

• Põhilisi trigonomeetrilisi võrrandeid on 4 tüüpi:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Põhiliste trigonomeetriliste võrrandite lahendamine hõlmab ühikuringi erinevate x positsioonide vaatamist, samuti teisendustabeli (või kalkulaatori) kasutamist.
• Näide 1. sin x = 0,866. Kasutades teisendustabelit (või kalkulaatorit) saad vastuse: x = π/3. Ühikuring annab teise vastuse: 2π/3. Pidage meeles: kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, mis tähendab, et nende väärtused korduvad. Näiteks sin x ja cos x perioodilisus on 2πn ning tg x ja ctg x perioodilisus on πn. Seetõttu on vastus kirjutatud järgmiselt:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Näide 2. cos x = -1/2. Kasutades teisendustabelit (või kalkulaatorit) saad vastuse: x = 2π/3. Ühikuring annab teise vastuse: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Näide 3. tg (x - π/4) = 0.
• Vastus: x = π/4 + πn.
• Näide 4. ctg 2x = 1,732.
• Vastus: x = π/12 + πn.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel kasutatavad teisendused.

• Trigonomeetriliste võrrandite teisendamiseks kasutage algebralised teisendused(faktoriseerimine, homogeensete terminite redutseerimine jne) ja trigonomeetrilised identiteedid.
• Näide 5: Kasutades trigonomeetrilisi identiteete, teisendatakse võrrand sin x + sin 2x + sin 3x = 0 võrrandiks 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Seega on järgmised trigonomeetrilised põhivõrrandid tuleb lahendada: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Nurkade leidmine järgi teadaolevad väärtused funktsioonid.

  • Enne trigonomeetriliste võrrandite lahendamise õppimist peate õppima, kuidas teadaolevate funktsiooniväärtuste abil nurki leida. Seda saab teha teisendustabeli või kalkulaatori abil.
  • Näide: cos x = 0,732. Kalkulaator annab vastuse x = 42,95 kraadi. Ühikuring annab täiendavad nurgad, mille koosinus on samuti 0,732.

• Pange lahus ühikuringil kõrvale.

  • Ühikringkonnale saab joonistada trigonomeetrilise võrrandi lahendused. Ühikringi trigonomeetrilise võrrandi lahendused on korrapärase hulknurga tipud.
  • Näide: Lahendused x = π/3 + πn/2 ühikringil tähistavad ruudu tippe.
  • Näide: Lahendused x = π/4 + πn/3 ühikringil tähistavad korrapärase kuusnurga tippe.

• Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid.

  • Kui antud trigonomeetriline võrrand sisaldab ainult ühte trigonomeetrilist funktsiooni, lahendage see võrrand trigonomeetrilise põhivõrrandina. Kui antud võrrand sisaldab kahte või enamat trigonomeetrilist funktsiooni, siis on sellise võrrandi lahendamiseks 2 meetodit (olenevalt selle teisendamise võimalusest).
    • 1. meetod.
  • Teisendage see võrrand võrrandiks kujul: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kus f(x), g(x), h(x) on trigonomeetrilised põhivõrrandid.
  • Näide 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Lahendus. Kasutades topeltnurga valemit sin 2x = 2*sin x*cos x, asenda sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Nüüd lahendage kaks põhilist trigonomeetrilist võrrandit: cos x = 0 ja (sin x + 1) = 0.
  • Näide 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Lahendus: Muutke see võrrand trigonomeetriliste identiteetide abil võrrandiks, mille kuju on: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Nüüd lahendage kaks põhilist trigonomeetrilist võrrandit: cos 2x = 0 ja (2cos x + 1) = 0.
  • Näide 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Lahendus. Kasutades trigonomeetrilisi identiteete, teisendage see võrrand võrrandiks, mille kuju on: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Nüüd lahendage kaks põhilist trigonomeetrilist võrrandit: cos 2x = 0 ja (2sin x + 1) = 0 .
    • 2. meetod.
  • Teisendage antud trigonomeetriline võrrand võrrandiks, mis sisaldab ainult ühte trigonomeetrilist funktsiooni. Seejärel asenda see trigonomeetriline funktsioon mõne tundmatu funktsiooniga, näiteks t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t jne).
  • Näide 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Lahendus. Selles võrrandis asendage (cos^2 x) väärtusega (1 - sin^2 x) (vastavalt identiteedile). Teisendatud võrrand on järgmine:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Asenda sin x t-ga. Nüüd näeb võrrand välja selline: 5t^2 - 4t - 9 = 0. See on ruutvõrrand, millel on kaks juurt: t1 = -1 ja t2 = 9/5. Teine juur t2 ei vasta funktsioonivahemikule (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Näide 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Lahendus. Asenda tg x t-ga. Kirjutage algne võrrand ümber järgmine vorm: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Nüüd leidke t ja seejärel x, kui t = tan x.

Nõuab teadmisi trigonomeetria põhivalemitest – siinuse ja koosinuse ruutude summast, siinuse ja koosinuse kaudu puutuja väljendamisest jm. Neile, kes on need unustanud või ei tea, soovitame lugeda artiklit "".
Niisiis, me teame põhilisi trigonomeetrilisi valemeid, on aeg neid praktikas kasutada. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine juures õige lähenemine- päris põnev tegevus, nagu näiteks Rubiku kuubiku lahendamine.

Nime enda põhjal on selge, et trigonomeetriline võrrand on võrrand, milles tundmatu on trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.
On olemas nn lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Need näevad välja sellised: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mõelgem kuidas selliseid trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada, selguse huvides kasutame juba tuttavat trigonomeetrilist ringi.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

võrevoodi x = a

Iga trigonomeetriline võrrand lahendatakse kahes etapis: taandame võrrandi lihtsaimale kujule ja seejärel lahendame selle lihtsa trigonomeetrilise võrrandina.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on 7 peamist meetodit.

1. Muutuja asendamine ja asendusmeetod

Lahendage võrrand 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Redutseerimisvalemeid kasutades saame:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Asendage cos(x + /6) y-ga, et lihtsustada ja saada tavaline ruutvõrrand:

2 a 2 – 3 a + 1 + 0

Mille juured on y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nüüd läheme vastupidises järjekorras

Asendame y leitud väärtused ja saame kaks vastusevarianti:

2. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine faktoriseerimise teel

Kuidas lahendada võrrandit sin x + cos x = 1?

Liigutame kõik vasakule, nii et 0 jääks paremale:

sin x + cos x – 1 = 0

Võrrandi lihtsustamiseks kasutame ülalpool käsitletud identiteete:

sin x – 2 sin 2 (x/2) = 0

Tegutseme:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saame kaks võrrandit

3. Taandamine homogeenseks võrrandiks

Võrrand on siinuse ja koosinuse suhtes homogeenne, kui kõik selle liikmed on sama nurga sama astme siinuse ja koosinuse suhtes. Homogeense võrrandi lahendamiseks toimige järgmiselt.

a) viivad kõik oma liikmed vasakule küljele;

b) võta sulgudest välja kõik levinud tegurid;

c) võrdsusta kõik tegurid ja sulud 0-ga;

d) sulgudes saadakse madalama astme homogeenne võrrand, mis omakorda jagatakse kõrgema astme siinus- või koosinusteks;

e) lahendage saadud võrrand tg jaoks.

Lahendage võrrand 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Kasutame valemit sin 2 x + cos 2 x = 1 ja vabaneme paremalt avatud kahest:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jagage cos x-iga:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Asendage tan x y-ga ja saate ruutvõrrandi:

y 2 + 4y +3 = 0, mille juured on y 1 =1, y 2 = 3

Siit leiame algsele võrrandile kaks lahendust:

x 2 = arctan 3 + k

4. Võrrandite lahendamine poolnurgale ülemineku kaudu

Lahendage võrrand 3sin x – 5cos x = 7

Liigume edasi x/2 juurde:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Liigutame kõik vasakule:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jagage cos-iga (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Abinurga tutvustus

Vaatlemiseks võtame võrrandi kujul: a sin x + b cos x = c,

kus a, b, c on suvalised koefitsiendid ja x on tundmatu.

Jagame võrrandi mõlemad pooled järgmisega:



Nüüd on võrrandi kordajatel trigonomeetriliste valemite järgi omadused sin ja cos, nimelt: nende moodul ei ole suurem kui 1 ja ruutude summa = 1. Tähistame neid vastavalt kui cos ja sin, kus - see on nn abinurk. Siis saab võrrand järgmise kuju:

cos * sin x + sin * cos x = C

või sin(x + ) = C

Selle lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi lahendus on

x = (-1) k * arcsin C - + k, kus



Tuleb märkida, et tähised cos ja sin on omavahel asendatavad.

Lahendage võrrand sin 3x – cos 3x = 1

Selle võrrandi koefitsiendid on järgmised:

a = , b = -1, seega jagage mõlemad pooled = 2-ga

Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse!!!

Võrdsust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilise funktsiooni märgi all (`sin x, cos x, tan x` või `ctg x`), nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks ja nende valemeid käsitleme edasi.

Lihtsamad võrrandid on "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", kus "x" on leitav nurk, "a" on suvaline arv. Kirjutame üles igaühe juurvalemid.

1. Võrrand "sin x=a".

„|a|>1” puhul pole sellel lahendusi.

Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.

Juurvalem: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Võrrand „cos x=a”.

`|a|>1` puhul - nagu siinuse puhul, pole sellel reaalarvude hulgas lahendeid.

Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.

Juurvalem: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Siinuse ja koosinuse erijuhud graafikutes.

3. Võrrand „tg x=a”.

Sellel on lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.

Juurvalem: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Võrrand „ctg x=a”.

Sellel on ka lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.

Juurvalem: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tabeli trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid

Siinuse jaoks:
Koosinuse jaoks:
Tangensi ja kotangensi jaoks:
Valemid pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamiseks:

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid

Mis tahes trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist:

• selle lihtsaimaks muutmise abil;
• lahendage ülalpool kirjutatud juurvalemite ja tabelite abil saadud lihtsaim võrrand.

Vaatame näidete abil peamisi lahendusviise.

Algebraline meetod.

See meetod hõlmab muutuja asendamist ja selle asendamist võrdsusega.

Näide. Lahendage võrrand: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

tehke asendus: "cos(x+\frac \pi 6)=y", siis "2y^2-3y+1=0",

leiame juured: `y_1=1, y_2=1/2`, millest järgneb kaks juhtumit:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1”, „x+\frac \pi 6=2\pi n”, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n”.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Vastus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoriseerimine.

Näide. Lahendage võrrand: `sin x+cos x=1`.

Lahendus. Liigutame kõik võrdsuse liikmed vasakule: `sin x+cos x-1=0`. Kasutades , teisendame ja faktoriseerime vasaku külje:

"sin x — 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Vastus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Taandamine homogeenseks võrrandiks

Esiteks peate selle trigonomeetrilise võrrandi taandama ühele kahest vormist:

`a sin x+b cos x=0` (esimese astme homogeenne võrrand) või `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (teise astme homogeenne võrrand).

Seejärel jagage mõlemad osad väärtusega "cos x \ne 0" - esimesel juhul ja "cos^2 x \ne 0" - teisel juhul. Saame `tg x` võrrandid: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, mis tuleb teadaolevate meetoditega lahendada.

Näide. Lahendage võrrand: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Lahendus. Kirjutame paremale poolele `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagame selle vasaku ja parema külje `cos^2 x \ne 0`-ga, saame:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Tutvustame asendust „tg x=t”, mille tulemuseks on „t^2 + t – 2=0”. Selle võrrandi juured on "t_1=-2" ja "t_2=1". Seejärel:

1. „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
2. „tg x=1”, „x=arctg 1+\pi n”, „x_2=\pi/4+\pi n”, „n \in Z”.

Vastus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.

Liikumine poolnurgale

Näide. Lahendage võrrand: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Lahendus. Rakendame topeltnurga valemeid, mille tulemuseks on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0”.

Kasutades ülalkirjeldatud algebralist meetodit, saame:

1. „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
2. „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.

Vastus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Abinurga tutvustus

Trigonomeetrilises võrrandis 'a sin x + b cos x =c', kus a,b,c on koefitsiendid ja x on muutuja, jagage mõlemad pooled väärtusega "sqrt (a^2+b^2)".

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Vasakpoolsetel koefitsientidel on siinuse ja koosinuse omadused, nimelt on nende ruutude summa võrdne 1-ga ja nende moodulid ei ole suuremad kui 1. Tähistame neid järgmiselt: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, siis:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Vaatame lähemalt järgmist näidet:

Näide. Lahendage võrrand: `3 sin x+4 cos x=2`.

Lahendus. Jagage võrdsuse mõlemad pooled `sqrt (3^2+4^2)-ga, saame:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5”.

Tähistame `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kuna `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, siis võtame abinurgaks `\varphi=arcsin 4/5`. Seejärel kirjutame oma võrdsuse kujul:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Rakendades siinuse nurkade summa valemit, kirjutame oma võrdsuse järgmisel kujul:

„sin (x+\varphi)=2/5”,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z',

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Vastus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Murdratsionaaltrigonomeetrilised võrrandid

Need on võrdsused murdudega, mille lugejad ja nimetajad sisaldavad trigonomeetrilisi funktsioone.

Näide. Lahenda võrrand. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Lahendus. Korrutage ja jagage võrrandi parem pool arvuga `(1+cos x)'. Selle tulemusena saame:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Arvestades, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, saame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Võrdlustame murru lugeja nulliga: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Siis „sin x=0” või „1-sin x=0”.

1. „sin x=0”, „x=\pi n”, „n \in Z”.
2. „1-sin x=0”, „sin x=-1”, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z”.

Arvestades, et x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, on lahendused `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , 'n \in Z'.

Vastus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonomeetriat ja eriti trigonomeetrilisi võrrandeid kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Õppimine algab 10. klassist, ühtse riigieksami jaoks on alati ülesandeid, nii et proovige meeles pidada kõiki trigonomeetriliste võrrandite valemeid - need on teile kindlasti kasulikud!

Kuid te ei pea neid isegi pähe õppima, peamine on mõista olemust ja osata seda tuletada. See pole nii raske, kui tundub. Vaadake videot vaadates ise.

Tund ja ettekanne teemal: "Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes Integral 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.

Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

Poisid, me oleme juba uurinud arkosiini, arkosiini, arctangenti ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.

Trigonomeetrilised võrrandid on võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.

Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:

1) Kui |a|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kui |a|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:

3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk

5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk

Kõigi valemite puhul on k täisarv

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: T(kx+m)=a, T on mingi trigonomeetriline funktsioon.

Näide.

Lahendage võrrandid: a) sin(3x)= √3/2

Lahendus:

A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame võrrandi ümber kujul:

Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Pöördume tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.

Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.

Lahendage võrrandid: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lahendus:

A) Liigume seekord otse võrrandi juurte arvutamise juurde:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk

Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.

B) Kirjutame selle kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.

Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendist kõik juured.

Lahendus:

Otsustame sisse üldine vaade meie võrrand: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Punktis k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis.
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabame uuesti.
K=2 puhul x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et suure k puhul me ilmselgelt ka ei taba.

Vastus: x= π/16, x= 9π/16

Kaks peamist lahendusmeetodit.

Vaatasime lihtsamaid trigonomeetrilisi võrrandeid, kuid on ka keerulisemaid. Nende lahendamiseks kasutatakse uue muutuja sisseviimise meetodit ja faktoriseerimise meetodit. Vaatame näiteid.

Lahendame võrrandi:

Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mis tähistab: t=tg(x).

Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0

Leiame juured ruutvõrrand t = -1 ja t = 1/3

Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saame lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Näide võrrandi lahendamisest

Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Lahendus:

Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Meie võrrand on kujul: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2

Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.

Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Definitsioon: võrrandeid kujul a sin(x)+b cos(x) nimetatakse esimese astme homogeenseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks.

Vormi võrrandid

teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagage see cos(x)-ga: Koosinusega ei saa jagada, kui see on võrdne nulliga, veenduge, et see nii ei oleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei ole korraga võrdsed nulliga, saame vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.

Lahendage võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0

Lahendus:

Võtame välja ühisteguri: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:

Cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 juures x= π/2 + πk;

Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, järgige alati neid reegleid!

1. Vaata millega võrdub koefitsient a, kui a=0, siis saab meie võrrand kujul cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), mille lahenduse näide on eelmisel slaidil

2. Kui a≠0, siis peate jagama võrrandi mõlemad pooled koosinuse ruuduga, saame:

Muudame muutujat t=tg(x) ja saame võrrandi:

Lahenda näide nr:3

Lahendage võrrand:
Lahendus:

Jagame võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga:

Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Leiame ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1

Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Lahenda näide nr:4

Lahendage võrrand:

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Lahenda näide nr.:5

Lahendage võrrand:

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2

Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Probleemid iseseisvaks lahendamiseks.

1) Lahenda võrrand

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lahendage võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].

3) Lahendage võrrand: võrevoodi 2 (x) + 2 võrevoodi (x) + 1 =0

4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)