Abi Tele2-st, tariifid, küsimused

Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse!!!

Võrdsust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilise funktsiooni märgi all (`sin x, cos x, tan x` või `ctg x`), nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks ja nende valemeid käsitleme edasi.

Lihtsamad võrrandid on "sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a", kus "x" on leitav nurk, "a" on suvaline arv. Kirjutame üles igaühe juurvalemid.

1. Võrrand "sin x=a".

„|a|>1” puhul pole sellel lahendusi.

Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.

Juurvalem: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Võrrand „cos x=a”.

`|a|>1` puhul - nagu siinuse puhul, pole sellel reaalarvude hulgas lahendeid.

Kui `|a| \leq 1`-l on lõpmatu arv lahendusi.

Juurvalem: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Siinuse ja koosinuse erijuhud graafikutes.

3. Võrrand „tg x=a”.

Sellel on lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.

Juurvalem: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Võrrand „ctg x=a”.

Sellel on ka lõpmatu arv lahendusi mis tahes "a" väärtuste jaoks.

Juurvalem: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Tabeli trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid

Siinuse jaoks:
Koosinuse jaoks:
Tangensi ja kotangensi jaoks:
Valemid pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamiseks:

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid

Mis tahes trigonomeetrilise võrrandi lahendamine koosneb kahest etapist:

• selle lihtsaimaks muutmise abil;
• lahendage ülalpool kirjutatud juurvalemite ja tabelite abil saadud lihtsaim võrrand.

Vaatame näidete abil peamisi lahendusviise.

Algebraline meetod.

See meetod hõlmab muutuja asendamist ja selle asendamist võrdsusega.

Näide. Lahendage võrrand: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

tehke asendus: "cos(x+\frac \pi 6)=y", siis "2y^2-3y+1=0",

leiame juured: `y_1=1, y_2=1/2`, millest järgneb kaks juhtumit:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1”, „x+\frac \pi 6=2\pi n”, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n”.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Vastus: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoriseerimine.

Näide. Lahendage võrrand: `sin x+cos x=1`.

Lahendus. Liigutame kõik võrdsuse liikmed vasakule: `sin x+cos x-1=0`. Kasutades , teisendame ja faktoriseerime vasaku külje:

"sin x — 2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0",

"2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0",

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. „cos x/2-sin x/2=0”, „tg x/2=1”, „x/2=arctg 1+ \pi n”, „x/2=\pi/4+ \pi n” , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Vastus: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Taandamine homogeenseks võrrandiks

Esiteks peate selle trigonomeetrilise võrrandi taandama ühele kahest vormist:

`a sin x+b cos x=0` (esimese astme homogeenne võrrand) või `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (teise astme homogeenne võrrand).

Seejärel jagage mõlemad osad väärtusega „cos x \ne 0” (esimesel juhul) ja „cos^2 x \ne 0” teise puhul. Saame `tg x` võrrandid: `a tg x+b=0` ja `a tg^2 x + b tg x +c =0`, mis tuleb teadaolevate meetoditega lahendada.

Näide. Lahendage võrrand: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Lahendus. Kirjutame paremale poolele `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x',

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagame selle vasaku ja parema külje `cos^2 x \ne 0`-ga, saame:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Tutvustame asendust „tg x=t”, mille tulemuseks on „t^2 + t – 2=0”. Selle võrrandi juured on "t_1=-2" ja "t_2=1". Seejärel:

1. „tg x=-2”, „x_1=arctg (-2)+\pi n”, „n \in Z”
2. „tg x=1”, „x=arctg 1+\pi n”, „x_2=\pi/4+\pi n”, „n \in Z”.

Vastus. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z.

Liikumine poolnurgale

Näide. Lahendage võrrand: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Lahendus. Rakendame topeltnurga valemeid, mille tulemuseks on: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0”.

Kasutades ülalkirjeldatud algebralist meetodit, saame:

1. „tg x/2=2”, „x_1=2 arctg 2+2\pi n”, „n \in Z”,
2. „tg x/2=3/4”, „x_2=arctg 3/4+2\pi n”, „n \in Z”.

Vastus. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Abinurga tutvustus

Trigonomeetrilises võrrandis 'a sin x + b cos x =c', kus a,b,c on koefitsiendid ja x on muutuja, jagage mõlemad pooled väärtusega "sqrt (a^2+b^2)".

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Vasakpoolsetel koefitsientidel on siinuse ja koosinuse omadused, nimelt on nende ruutude summa võrdne 1-ga ja nende moodulid ei ole suuremad kui 1. Tähistame neid järgmiselt: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, siis:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Vaatame lähemalt järgmist näidet:

Näide. Lahendage võrrand: `3 sin x+4 cos x=2`.

Lahendus. Jagage võrdsuse mõlemad pooled `sqrt (3^2+4^2)-ga, saame:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5”.

Tähistame `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kuna `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, siis võtame abinurgaks `\varphi=arcsin 4/5`. Seejärel kirjutame oma võrdsuse kujul:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Rakendades siinuse nurkade summa valemit, kirjutame oma võrdsuse järgmisel kujul:

„sin (x+\varphi)=2/5”,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z',

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Vastus. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `artsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z'.

Murdratsionaaltrigonomeetrilised võrrandid

Need on võrdsused murdudega, mille lugejad ja nimetajad sisaldavad trigonomeetrilisi funktsioone.

Näide. Lahenda võrrand. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x.

Lahendus. Korrutage ja jagage võrdsuse parem külg arvuga „(1+cos x)”. Selle tulemusena saame:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0

Arvestades, et nimetaja ei saa olla võrdne nulliga, saame `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Võrdlustame murru lugeja nulliga: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Seejärel „sin x=0” või „1-sin x=0”.

1. „sin x=0”, „x=\pi n”, „n \in Z”.
2. „1-sin x=0”, „sin x=-1”, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z”.

Arvestades, et x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, on lahendused `x=2\pi n, n \in Z` ja `x=\pi /2+2\pi n` , 'n \in Z'.

Vastus. "x=2\pi n", "n \in Z", "x=\pi /2+2\pi n", "n \in Z".

Trigonomeetriat ja eriti trigonomeetrilisi võrrandeid kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika ja tehnika valdkondades. Õppetöö algab 10. klassist, ühtse riigieksami jaoks on alati ülesanded, nii et proovige kõiki valemeid meeles pidada trigonomeetrilised võrrandid- need on teile kindlasti kasulikud!

Kuid te ei pea neid isegi pähe õppima, peamine on mõista olemust ja osata seda tuletada. See pole nii raske, kui tundub. Vaadake videot vaadates ise.

Videokursus “Saada A” sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik matemaatika profiili ühtse riigieksami ülesanded 1-13. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.

Kogu vajalik teooria. Kiired viisidÜhtse riigieksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. teooria, võrdlusmaterjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Selged selgitused keerukatele mõistetele. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus keerulised ülesanded 2 osa ühtsest riigieksamist.

Nõuab teadmisi trigonomeetria põhivalemitest – siinuse ja koosinuse ruutude summast, siinuse ja koosinuse kaudu puutuja väljendamisest jm. Neile, kes on need unustanud või ei tea, soovitame lugeda artiklit "".
Niisiis, me teame põhilisi trigonomeetrilisi valemeid, on aeg neid praktikas kasutada. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine juures õige lähenemine- päris põnev tegevus, nagu näiteks Rubiku kuubiku lahendamine.

Nime enda põhjal on selge, et trigonomeetriline võrrand on võrrand, milles tundmatu on trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.
On olemas nn lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Need näevad välja sellised: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mõelgem kuidas selliseid trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada, selguse huvides kasutame juba tuttavat trigonomeetrilist ringi.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

võrevoodi x = a

Iga trigonomeetriline võrrand lahendatakse kahes etapis: taandame võrrandi lihtsaimale kujule ja seejärel lahendame selle lihtsa trigonomeetrilise võrrandina.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on 7 peamist meetodit.

1. Muutuja asendamine ja asendusmeetod

Lahendage võrrand 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Redutseerimisvalemeid kasutades saame:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Asendage cos(x + /6) y-ga, et lihtsustada ja saada tavaline ruutvõrrand:

2 a 2 – 3 a + 1 + 0

Mille juured on y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nüüd läheme vastupidises järjekorras

Asendame y leitud väärtused ja saame kaks vastusevarianti:

2. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine faktoriseerimise teel

Kuidas lahendada võrrandit sin x + cos x = 1?

Liigutame kõik vasakule, nii et 0 jääks paremale:

sin x + cos x – 1 = 0

Võrrandi lihtsustamiseks kasutame ülalpool käsitletud identiteete:

sin x – 2 sin 2 (x/2) = 0

Tegutseme:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saame kaks võrrandit

3. Taandamine homogeenseks võrrandiks

Võrrand on siinuse ja koosinuse suhtes homogeenne, kui kõik selle liikmed on sama nurga sama astme siinuse ja koosinuse suhtes. Homogeense võrrandi lahendamiseks toimige järgmiselt.

a) viivad kõik oma liikmed vasakule poole;

b) võta sulgudest välja kõik levinud tegurid;

c) võrdsusta kõik tegurid ja sulud 0-ga;

d) sulgudes saadakse madalama astme homogeenne võrrand, mis omakorda jagatakse kõrgema astme siinus- või koosinusteks;

e) lahendage saadud võrrand tg jaoks.

Lahendage võrrand 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Kasutame valemit sin 2 x + cos 2 x = 1 ja vabaneme paremalt avatud kahest:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jagage cos x-iga:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Asendage tan x y-ga ja saate ruutvõrrandi:

y 2 + 4y +3 = 0, mille juured on y 1 =1, y 2 = 3

Siit leiame algsele võrrandile kaks lahendust:

x 2 = arctan 3 + k

4. Võrrandite lahendamine poolnurgale ülemineku kaudu

Lahendage võrrand 3sin x – 5cos x = 7

Liigume edasi x/2 juurde:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Liigutame kõik vasakule:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jagage cos-iga (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Abinurga tutvustus

Vaatlemiseks võtame võrrandi kujul: a sin x + b cos x = c,

kus a, b, c on mingid suvalised koefitsiendid ja x on tundmatu.

Jagame võrrandi mõlemad pooled järgmisega:



Nüüd on võrrandi kordajatel trigonomeetriliste valemite järgi omadused sin ja cos, nimelt: nende moodul ei ole suurem kui 1 ja ruutude summa = 1. Tähistame neid vastavalt kui cos ja sin, kus - see on nn abinurk. Siis saab võrrand järgmise kuju:

cos * sin x + sin * cos x = C

või sin(x + ) = C

Selle lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi lahendus on

x = (-1) k * arcsin C - + k, kus



Tuleb märkida, et tähised cos ja sin on omavahel asendatavad.

Lahendage võrrand sin 3x – cos 3x = 1

Selle võrrandi koefitsiendid on järgmised:

a = , b = -1, seega jagage mõlemad pooled = 2-ga

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada tuvastamiseks teatud isik või seos temaga.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.