Kindel integraal. Kuidas arvutada figuuri pindala

Vaatleme integraalarvutuse rakendusi. Selles õppetükis analüüsime tüüpilist ja levinumat ülesannet – kuidas kasutada tasapinnalise kujundi pindala arvutamiseks kindlat integraali. Lõpuks need, kes otsivad tähendust kõrgemast matemaatikast – leidku see. Ei või iial teada. Peame selle elus lähemale tooma maamajade piirkond elementaarfunktsioonid ja leida selle pindala kindla integraali abil.

Materjali edukaks valdamiseks peate:

1) Mõista määramatut integraali vähemalt kesktasemel. Seega peaksid mannekeenid esmalt õppetunni läbi lugema Mitte.

2) Oskab rakendada Newtoni-Leibnizi valemit ja arvutada kindlat integraali. Lehel teatud integraalidega saate luua soojad sõbralikud suhted Kindel integraal. Näited lahendustest.

Tegelikult pole figuuri pindala leidmiseks vaja nii palju teadmisi määramata ja kindla integraali kohta. Ülesanne “arvuta pindala kindla integraali abil” hõlmab alati joonise koostamist, nii palju veel aktuaalne teema on teie teadmised ja oskused joonistamisel. Sellega seoses on kasulik värskendada oma mälu põhigraafikute kohta elementaarsed funktsioonid, ja vähemalt suutma konstrueerida sirge, parabooli ja hüperbooli. Seda saab teha (paljude jaoks on see vajalik) kasutades metoodiline materjal ja artikleid graafikute geomeetrilistest teisendustest.

Tegelikult on ala leidmise ülesanne kindla integraali abil kõigile tuttav juba kooliajast ja kooli õppekavast me palju kaugemale ei jõua. Seda artiklit poleks võib-olla üldse olemas olnud, kuid tõsiasi on see, et probleem esineb 99 juhul 100-st, kui õpilane kannatab vihatud kooli all ja õpib entusiastlikult kõrgema matemaatika kursust.

Selle töötoa materjalid on esitatud lihtsalt, üksikasjalikult ja minimaalse teooriaga.

Alustame kõvera trapetsiga.

Kurviline trapets on lame kujund, mis on piiratud telje, sirgjoonte ja intervallil pideva funktsiooni graafikuga, mis sellel intervallil märki ei muuda. Olgu see kujund asukoht mitte vähem x-telg:

Siis kõverjoonelise trapetsi pindala on arvuliselt võrdne kindla integraaliga. Igal kindlal integraalil (mis eksisteerib) on väga hea geomeetriline tähendus. Õppetunnis Kindel integraal. Näited lahendustestÜtlesin, et kindel integraal on arv. Ja nüüd on aeg öelda veel üks kasulik fakt. Geomeetria seisukohalt on kindel integraal ALA.

See on, kindel integraal (kui see on olemas) vastab geomeetriliselt teatud joonise pindalale. Vaatleme näiteks kindlat integraali. Integrand määrab kõvera telje kohal paikneval tasapinnal (soovija saab joonistada) ja kindel integraal ise on arvuliselt võrdne pindalaga vastav kõver trapets.

Näide 1

See on tüüpiline määramisavaldus. Esiteks ja kõige tähtsam hetk lahendused – joonistamine. Veelgi enam, joonis tuleb konstrueerida ÕIGE.

Joonise koostamisel soovitan järgmist järjekorda: Esiteks parem on konstrueerida kõik sirged (kui need on olemas) ja ainult Siis– paraboolid, hüperboolid, muude funktsioonide graafikud. Kasumlikum on koostada funktsioonide graafikuid punkt punkti haaval, punkt-punkti ehitustehnika leiate artiklist võrdlusmaterjal Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sealt leiate ka väga kasulikku materjali meie tunni jaoks - kuidas kiiresti parabooli ehitada.

Selle probleemi puhul võib lahendus välja näha selline.
Joonistame joonise (pange tähele, et võrrand määrab telje):

Ma ei varjuta kõverat trapetsi, siin on ilmne, millisest piirkonnast me räägime. Lahendus jätkub järgmiselt:

Segmendil paikneb funktsiooni graafik telje kohal, Sellepärast:

Vastus:

Kellel on raskusi kindla integraali arvutamise ja Newtoni-Leibnizi valemi rakendamisega , viidata loengule Kindel integraal. Näited lahendustest.

Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus vastab tõele. Sel juhul loendame joonisel olevate lahtrite arvu "silma järgi" - noh, neid on umbes 9, see tundub olevat tõsi. On täiesti selge, et kui saime, ütleme, vastuseks: 20 ruutühikut, siis on ilmselge, et kuskil tehti viga - 20 lahtrit ilmselgelt ei mahu kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus on eitav, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.

Näide 2

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joonte, , ja teljega

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Mida teha, kui kõver trapets asub telje all?

Näide 3

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joonte ja koordinaattelgedega.

Lahendus: Teeme joonise:

Kui asub kõver trapets telje all(või vähemalt mitte kõrgem antud telg), siis selle pindala saab leida järgmise valemi abil:
Sel juhul:

Tähelepanu! Neid kahte tüüpi ülesandeid ei tohiks segi ajada:

1) Kui teil palutakse lahendada lihtsalt kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.

2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub äsja arutatud valemis miinus.

Praktikas paikneb joonis enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil ja seetõttu liigume lihtsamate kooliülesannete juurest edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 4

Leidke tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , .

Lahendus: Kõigepealt peate joonise lõpetama. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim joonte lõikepunktid. Leiame parabooli ja sirge lõikepunktid. Seda saab teha kahel viisil. Esimene meetod on analüütiline. Lahendame võrrandi:

See tähendab, et integratsiooni alumine piir on , integratsiooni ülempiir on .
Võimaluse korral on parem seda meetodit mitte kasutada..

Punkthaaval on sirgeid palju tulusam ja kiirem ehitada ning integratsiooni piirid saavad selgeks "iseenesest". Erinevate graafikute punkt-punkti ehitustehnikat käsitletakse üksikasjalikult abis Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sellegipoolest analüütiline meetod Piiride leidmine tuleb vahel ikka ära kasutada, kui näiteks graafik on üsna suur või detailne konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (võivad olla murdosalised või irratsionaalsed). Ja me kaalume ka sellist näidet.

Tuleme tagasi oma ülesande juurde: ratsionaalsem on kõigepealt konstrueerida sirge ja alles siis parabool. Teeme joonise:

Kordan, et punktipõhiselt konstrueerides selgitatakse integratsiooni piirid kõige sagedamini välja “automaatselt”.

Ja nüüd töövalem: Kui segmendil on pidev funktsioon suurem või võrdne mõni pidev funktsioon , siis nende funktsioonide graafikute ja joontega piiritletud joonise pindala , leiate valemiga:

Siin ei pea te enam mõtlema, kus joonis asub - telje kohal või telje all ja jämedalt öeldes loeb, milline graafik on KÕRGEM(teise graafiku suhtes), ja milline neist on ALL.

Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada

Valmis lahendus võib välja näha selline:

Soovitud figuuri piirab ülaltoodud parabool ja allpool sirgjoon.
Segmendil vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Tegelikult on alumise pooltasandi kõverjoonelise trapetsi pindala koolivalem (vt lihtsat näidet nr 3) erijuhtum valemid . Kuna telg on määratud võrrandiga ja funktsiooni graafik asub mitte kõrgem kirved siis

Ja nüüd paar näidet teie enda lahenduseks

Näide 5

Näide 6

Leidke joonise pindala, mis on piiratud joontega , .

Pindala arvutamise ülesannete lahendamisel kindla integraali abil juhtub mõnikord naljakas juhtum. Joonistus tehti õigesti, arvutused olid õiged, kuid ettevaatamatusest... leiti vale figuuri pindala, täpselt nii ajas su alandlik sulane mitu korda sassi. Siin tõeline juhtum elust:

Näide 7

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , , , .

Lahendus: Kõigepealt teeme joonise:

...Eh, joonis tuli jama, aga kõik tundub loetav olevat.

Kuju, mille ala peame leidma, on sinise varjundiga(vaadake hoolikalt seisukorda - kuidas figuur on piiratud!). Kuid praktikas tekib tähelepanematuse tõttu sageli "tõrge", et peate leidma varjutatud figuuri ala roheline!

See näide on kasulik ka selle poolest, et see arvutab kujundi pindala kahe kindla integraali abil. Tõesti:

1) Lõigul telje kohal on sirge graafik;

2) Lõigul telje kohal on hüperbooli graafik.

On üsna ilmne, et piirkondi saab (ja tuleks) lisada, seega:

Vastus:

Liigume edasi teise sisuka ülesande juurde.

Näide 8

Arvutage joontega piiratud kujundi pindala,
Esitame võrrandid “kooli” kujul ja teeme punkt-punkti joonise:

Jooniselt on selge, et meie ülempiir on “hea”: .
Aga mis on alumine piir?! On selge, et see pole täisarv, aga mis see on? Võib olla ? Aga kus on garantii, et joonis on tehtud perfektse täpsusega, võib hästi selguda, et... Või juur. Mis siis, kui me koostame graafiku valesti?

Sellistel juhtudel peate kulutama lisaaega ja analüütiliselt selgeks tegema integreerimise piirid.

Leiame sirge ja parabooli lõikepunktid.
Selleks lahendame võrrandi:


,

Tõesti,.

Edasine lahendus on triviaalne, peaasi, et asendustes ja märkides segi ei läheks, siin pole arvutused just kõige lihtsamad.

Segmendil , vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Noh, õppetunni lõpetuseks vaatame kahte raskemat ülesannet.

Näide 9

Arvutage joonise pindala, mis on piiratud joontega , ,

Lahendus: kujutame seda kujundit joonisel.

Kurat, ma unustasin graafikule alla kirjutada ja vabandust, ma ei tahtnud pilti uuesti teha. Pole joonistamispäev, ühesõnaga täna on see päev =)

Punkt-punkti ehitamiseks peate teadma välimus sinusoidid (ja üldiselt kasulik teada kõigi elementaarfunktsioonide graafikud), samuti mõned siinusväärtused, need leiate trigonomeetriline tabel. Mõnel juhul (nagu antud juhul) on võimalik koostada skemaatiline joonis, millel peaksid olema põhimõtteliselt korrektselt kuvatud integratsiooni graafikud ja piirid.

Integratsiooni piiridega siin probleeme pole, need tulenevad otseselt tingimusest: “x” muutub nullist “pi-ks”. Teeme järgmise otsuse:

Segmendil asub funktsiooni graafik telje kohal, seega:

Sellest artiklist saate teada, kuidas integraalarvutuste abil leida joontega piiratud joonise pindala. Esimest korda puutume sellise probleemi sõnastamisega kokku keskkoolis, mil oleme just lõpetanud kindlate integraalide õppe ja on aeg alustada omandatud teadmiste geomeetrilist tõlgendamist praktikas.

Niisiis, mida on vaja integraalide abil figuuri pindala leidmise probleemi edukaks lahendamiseks:

• Oskus teha pädevaid jooniseid;
• Oskus lahendada kindlat integraali, kasutades tuntud Newton-Leibnizi valemit;
• Võimalus rohkem "näha". kasumlik variant lahendused – st. mõistad, kuidas ühel või teisel juhul on integreerimist mugavam läbi viia? Piki x-telge (OX) või y-telge (OY)?
• Noh, kus me oleksime ilma õigete arvutusteta?) See hõlmab seda teist tüüpi integraalide lahendamise mõistmist ja õigeid arvulisi arvutusi.

Algoritm joontega piiratud joonise pindala arvutamise ülesande lahendamiseks:

1. Ehitame joonist. Soovitav on seda teha ruudulisel paberil, suures mahus. Selle funktsiooni nime kirjutame iga graafiku kohale pliiatsiga. Graafikute allkirjastamine toimub ainult edasiste arvutuste hõlbustamiseks. Pärast soovitud joonise graafiku saamist on enamikul juhtudel kohe selge, milliseid integreerimise piire kasutatakse. Seega lahendame probleemi graafiliselt. Siiski juhtub, et piiride väärtused on murdosa või irratsionaalsed. Seetõttu saate teha täiendavaid arvutusi, minge teise sammu juurde.

2. Kui integreerimise piirid pole selgesõnaliselt määratud, siis leiame graafikute omavahelised lõikepunktid ja vaatame, kas meie graafiline lahendus ühtib analüütilise lahendusega.

3. Järgmisena peate joonist analüüsima. Sõltuvalt sellest, kuidas funktsioonigraafikud on paigutatud, on joonise pindala leidmiseks erinevaid lähenemisviise. Mõelgem erinevaid näiteid figuuri pindala leidmiseks integraalide abil.

3.1. Probleemi kõige klassikalisem ja lihtsam versioon on siis, kui peate leidma kõvera trapetsi pindala. Mis on kõver trapets? See on tasane joonis, mida piirab x-telg (y = 0), sirge x = a, x = b ja mis tahes pidev kõver intervallil alates a enne b. Pealegi ei ole see arv negatiivne ega asu x-telje all. Sel juhul on kõverjoonelise trapetsi pindala arvuliselt võrdne teatud integraaliga, mis arvutatakse Newtoni-Leibnizi valemi abil:

Näide 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Milliste joontega on joonis piiratud? Meil on parabool y = x2 – 3x + 3, mis asub telje kohal Oh, see ei ole negatiivne, sest kõik selle parabooli punktid on positiivsete väärtustega. Järgmiseks antud sirgjooned x = 1 Ja x = 3, mis kulgevad teljega paralleelselt OU, on joonise piirjooned vasakul ja paremal. Noh y = 0, see on ka x-telg, mis piirab joonist altpoolt. Saadud joonis on varjutatud, nagu on näha vasakpoolselt jooniselt. Sel juhul saate kohe alustada probleemi lahendamisega. Meie ees on lihtne näide kõverast trapetsist, mille lahendame seejärel Newtoni-Leibnizi valemi abil.

3.2. Eelmises lõigus 3.1 uurisime juhtumit, kui kõver trapets asub x-telje kohal. Mõelge nüüd juhtumile, kui ülesande tingimused on samad, välja arvatud see, et funktsioon asub x-telje all. Standardsele Newtoni-Leibnizi valemile lisatakse miinus. Kuidas sellist probleemi lahendada, kaalume allpool.

Näide 2 . Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN selles näites meil on parabool y = x2 + 6x + 2, mis pärineb teljelt Oh, sirge x = -4, x = -1, y = 0. Siin y = 0 piirab soovitud figuuri ülalt. Otsene x = -4 Ja x = -1 need on piirid, mille piires arvutatakse kindel integraal. Joonise pindala leidmise ülesande lahendamise põhimõte langeb peaaegu täielikult kokku näitega number 1. Ainus erinevus on see, et antud funktsioon ei ole positiivne, vaid on ka intervallil pidev [-4; -1] . Mida sa selle all mõtled, et pole positiivne? Nagu jooniselt näha, on antud x-ide sees oleval joonisel eranditult “negatiivsed” koordinaadid, mida peame ülesande lahendamisel nägema ja meeles pidama. Figuuri pindala otsime Newtoni-Leibnizi valemi abil, ainult alguses miinusmärgiga.

Artikkel ei ole lõpetatud.

A)

Lahendus.

Otsuse esimene ja kõige olulisem punkt on joonise konstrueerimine.

Teeme joonise:

Võrrand y=0 määrab "x" telje;

- x=-2 Ja x=1 - sirge, paralleelne teljega OU;

- y=x 2 +2 - parabool, mille oksad on suunatud ülespoole, mille tipp on punktis (0;2).

Kommenteeri. Parabooli konstrueerimiseks piisab, kui leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega, s.t. panemine x=0 leidke ristmik teljega OU ja vastavalt sellele otsustada ruutvõrrand, leidke ristmik teljega Oh .

Parabooli tipu saab leida valemite abil:

Joone saab ehitada ka punkt-punkti haaval.

Intervallil [-2;1] funktsiooni graafik y = x 2 +2 asub telje kohal Ox , Sellepärast:

Vastus: S =9 ruutmeetrit

Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus vastab tõele. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, neid on umbes 9, see tundub olevat tõsi. On täiesti selge, et kui saime, ütleme, vastuseks: 20 ruutühikut, siis on ilmselge, et kuskil tehti viga - 20 lahtrit ilmselgelt ei mahu kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus on eitav, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.

Mida teha, kui kõver trapets asub telje all Oh?

b) Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y=-e x , x=1 ja koordinaatteljed.

Lahendus.

Teeme joonise.

Kui kõver trapets paikneb täielikult telje all Oh , siis selle pindala saab leida järgmise valemi abil:

Vastus: S=(e-1) ruutühikut" 1,72 ruutühikut

Tähelepanu! Neid kahte tüüpi ülesandeid ei tohiks segi ajada:

1) Kui teil palutakse lahendada lihtsalt kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.

2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub äsja arutatud valemis miinus.

Praktikas asub joonis enamasti nii ülemisel kui ka alumisel pooltasandil.

koos) Leidke joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala y = 2x-x 2, y = -x.

Lahendus.

Kõigepealt peate joonise täitma. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim joonte lõikepunktid. Leiame parabooli lõikepunktid ja otse Seda saab teha kahel viisil. Esimene meetod on analüütiline.

Lahendame võrrandi:

See tähendab, et integratsiooni alumine piir a=0 , integreerimise ülempiir b = 3 .

Me ehitame antud read: 1. Parabool - tipp punktis (1;1); telje ristumiskoht Oh - punktid (0;0) ja (0;2). 2. Sirge - 2. ja 4. koordinaatnurga poolitaja. Ja nüüd Tähelepanu! Kui segmendil [ a;b] mingi pidev funktsioon f(x) suurem või võrdne mõne pideva funktsiooniga g(x), siis leiate vastava joonise ala järgmise valemi abil: . Ja pole tähtis, kus joonis asub - telje kohal või all, vaid oluline on see, milline graafik on KÕRGEM (teise graafiku suhtes) ja milline ALL. Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirgest kõrgemal ja seetõttu tuleb sellest lahutada

Saate konstrueerida jooni punkt-punkti haaval ja integreerimise piirid saavad selgeks "iseenesest". Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või detailne konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed).

Soovitud figuuri piirab ülaltoodud parabool ja allpool sirgjoon.

Segmendil , vastavalt vastavale valemile:

Vastus: S =4,5 ruutmeetrit

Hakkame kaaluma topeltintegraali arvutamise tegelikku protsessi ja tutvume selle geomeetrilise tähendusega.

Topeltintegraal on arvuliselt võrdne tasapinnalise joonise pindalaga (integratsioonipiirkond). See lihtsaim vorm topeltintegraal, kui kahe muutuja funktsioon on võrdne ühega: .

Mõelgem kõigepealt probleemile üldine vaade. Nüüd olete üsna üllatunud, kui lihtne kõik tegelikult on! Arvutame tasase kujundi pindala, mis on piiratud joontega. Kindluse huvides eeldame, et segmendil . Selle joonise pindala on arvuliselt võrdne:

Kujutame ala joonisel:

Valime ala läbimiseks esimese viisi:

Seega:

Ja kohe oluline tehniline tehnika: itereeritud integraale saab arvutada eraldi. Kõigepealt sisemine integraal, seejärel välimine integraal. Soovitan seda meetodit selle teema algajatele.

1) Arvutame sisemise integraali ja integreerimine toimub muutuja “y” kaudu:

Määramatu integraal on siin kõige lihtsam ja siis kasutatakse banaalset Newtoni-Leibnizi valemit, ainsa erinevusega, et integreerimise piirid ei ole numbrid, vaid funktsioonid. Esiteks asendasime ülemise piiri "y"-ga (antiderivatiivne funktsioon), seejärel alumine piir

2) Esimeses lõigus saadud tulemus tuleb asendada välisintegraaliga:

Kogu lahenduse kompaktsem esitus näeb välja järgmine:

Saadud valem on täpselt töövalem tasapinnalise kujundi pindala arvutamiseks "tavalise" kindla integraali abil! Vaadake õppetundi Pindala arvutamine kindla integraali abil, seal ta on igal sammul!

See on, probleem pindala arvutamisel topeltintegraali abil ei erine palju ala leidmise probleemist kindla integraali abil! Tegelikult on see sama asi!

Seetõttu ei tohiks raskusi tekkida! Ma ei vaata väga palju näiteid, kuna tegelikult olete selle ülesandega korduvalt kokku puutunud.

Näide 9

Lahendus: Kujutame ala joonisel:

Valime ala läbimise järgmise järjekorra:

Siin ja edasi ma ei peatu sellel, kuidas ala läbida, kuna esimeses lõigus anti väga üksikasjalikud selgitused.

Seega:

Nagu ma juba märkisin, on algajatele parem itereeritud integraalid eraldi arvutada ja jään sama meetodi juurde:

1) Esiteks, kasutades Newtoni-Leibnizi valemit, käsitleme sisemist integraali:

2) Esimeses etapis saadud tulemus asendatakse välise integraaliga:

Punkt 2 on tegelikult tasapinnalise kujundi pindala leidmine kindla integraali abil.

Vastus:

See on nii rumal ja naiivne ülesanne.

Huvitav näide iseseisva lahenduse kohta:

Näide 10

Arvutage topeltintegraali abil tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , ,

Ligikaudne näidis viimistlustööd lahendused tunni lõpus.

Näidetes 9-10 on palju tulusam kasutada ala läbimise esimest meetodit, muide, uudishimulikud lugejad saavad muuta läbimise järjekorda ja arvutada pindalasid teise meetodi abil. Kui te ei eksi, saate loomulikult samad pindalaväärtused.

Kuid mõnel juhul on teine ​​ala läbimise meetod tõhusam ja noore nohiku kursuse lõpus vaatame sellel teemal veel paari näidet:

Näide 11

Arvutage topeltintegraali abil joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala,

Lahendus: Ootame kahte omapäraga parabooli, mis asetsevad külili. Pole vaja naeratada, sarnased asjad esinevad üsna sageli mitmes integraalis.

Kuidas on kõige lihtsam joonistada?

Kujutagem ette parabooli kahe funktsiooni kujul:
– ülemine haru ja – alumine haru.

Samamoodi kujutage ette parabooli ülemise ja alumise kujul oksad.

Järgmiseks graafikute reeglite punktipõhine joonistamine, mille tulemuseks on selline veider joonis:

Arvutame joonise pindala topeltintegraali abil vastavalt valemile:

Mis juhtub, kui valime ala läbimiseks esimese meetodi? Esiteks tuleb see ala jagada kaheks osaks. Ja teiseks jälgime seda kurba pilti: . Integraalid pole muidugi ülikeerulise tasemega, aga... on vana matemaatiline ütlus: see, kes on juurte lähedal, ei vaja testi.

Seetõttu väljendame tingimuses antud arusaamatusest pöördfunktsioonid:

Selle näite pöördfunktsioonide eeliseks on see, et nad määravad kogu parabooli korraga ilma lehtede, tammetõrude, okste ja juurteta.

Teise meetodi kohaselt on ala läbimine järgmine:

Seega:

Nagu öeldakse, tunneta erinevust.

1) Tegeleme sisemise integraaliga:

Asendame tulemuse välimise integraaliga:

Integreerimine muutuja "y" kohal ei tohiks olla segadusttekitav, kui oleks olemas täht "zy", oleks suurepärane selle üle integreerida. Kuigi kes loeb tunni teist lõiku Kuidas arvutada pöörleva keha ruumala, ei koge ta “Y” meetodi järgi integreerimisel enam vähimatki kohmetust.

Pöörake tähelepanu ka esimesele sammule: integrand on paaris ja integreerimise intervall on nulli suhtes sümmeetriline. Seetõttu saab segmenti poole võrra vähendada ja tulemust kahekordistada. Seda tehnikat kirjeldatakse õppetükis üksikasjalikult. Tõhusad meetodid kindla integraali arvutamine.

Mida lisada…. Kõik!

Vastus:

Integreerimistehnika testimiseks võite proovida arvutada . Vastus peaks olema täpselt sama.

Näide 12

Arvutage topeltintegraali abil joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala

See on näide, mille saate ise lahendada. Huvitav on märkida, et kui proovite kasutada ala läbimise esimest meetodit, ei pea kujund enam kaheks, vaid kolmeks osaks jagama! Ja vastavalt saame kolm paari korduvaid integraale. Mõnikord juhtub.

Meistriklass on lõppenud ja on aeg liikuda edasi suurmeistri tasemele - Kuidas arvutada kahekordne integraal? Näited lahendustest. Püüan teises artiklis mitte nii maniakaalne olla =)

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2:Lahendus: Kujutame piirkonda joonisel:

Valime ala läbimise järgmise järjekorra:

Seega:
Liigume edasi pöördfunktsioonide juurde:


Seega:
Vastus:

Näide 4:Lahendus: Liigume edasi otseste funktsioonide juurde:


Teeme joonise:

Muudame ala läbimise järjekorda:

Vastus:

Ülesanne nr 3. Koostage joonis ja arvutage joontega piiratud joonise pindala

Integraali rakendamine rakendusülesannete lahendamisel

Pindala arvutamine

Pideva mittenegatiivse funktsiooni f(x) kindel integraal on arvuliselt võrdne kõverjoonelise trapetsi pindala, mida piiravad kõver y = f(x), O x telg ja sirged x = a ja x = b. Vastavalt sellele kirjutatakse pindala valem järgmiselt:

Vaatame mõnda näidet tasapinnaliste kujundite pindalade arvutamisest.

Ülesanne nr 1. Arvutage pindala, mis on piiratud sirgetega y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Lahendus. Koostame joonise, mille pindala peame arvutama.

y = x 2 + 1 on parabool, mille oksad on suunatud ülespoole ja parabool on nihutatud O y-telje suhtes ühe ühiku võrra ülespoole (joonis 1).

Joonis 1. Funktsiooni y = x 2 + 1 graafik

Ülesanne nr 2. Arvutage joontega y = x 2 – 1, y = 0 piiratud pindala vahemikus 0 kuni 1.

Lahendus. Selle funktsiooni graafik on ülespoole suunatud harude parabool ja parabool nihutatakse O y telje suhtes ühe ühiku võrra allapoole (joonis 2).

Joonis 2. Funktsiooni y = x 2 – 1 graafik

Ülesanne nr 3. Koostage joonis ja arvutage joontega piiratud joonise pindala

y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4.

Lahendus. Esimene neist kahest sirgest on parabool, mille harud on suunatud allapoole, kuna koefitsient x 2 on negatiivne, ja teine ​​sirge, mis lõikab mõlemat koordinaattelge.

Parabooli konstrueerimiseks leiame selle tipu koordinaadid: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tipu abstsiss; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on selle ordinaat, N(1;9) on tipp.

Nüüd leiame võrrandisüsteemi lahendamise teel parabooli ja sirge lõikepunktid:

Võrrandi paremate külgede võrdsustamine, mille vasak küljed on võrdsed.

Saame 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 või x 2 – 12 = 0, kust .

Seega on punktid parabooli ja sirge lõikepunktid (joonis 1).

Joonis 3 Funktsioonide y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4 graafikud

Ehitame sirge y = 2x – 4. See läbib koordinaattelgedel olevaid punkte (0;-4), (2;0).

Parabooli konstrueerimiseks võib kasutada ka selle lõikepunkte 0x teljega ehk siis võrrandi 8 + 2x – x 2 = 0 või x 2 – 2x – 8 = 0 juuri. Vieta teoreemi kasutades on see lihtne selle juurte leidmiseks: x 1 = 2, x 2 = 4.

Joonisel 3 on kujutatud joonis (paraboolne segment M 1 N M 2), mis on piiratud nende joontega.

Probleemi teine ​​osa on selle joonise ala leidmine. Selle pindala saab leida kindla integraali abil valemi järgi .

Rakendatud see tingimus, saame integraali:

2 Pöörleva keha ruumala arvutamine

Keha ruumala, mis saadakse kõvera y = f(x) pöörlemisel ümber O x telje, arvutatakse järgmise valemiga:

Ümber O y telje pööramisel näeb valem välja järgmine:

Ülesanne nr 4. Määrake keha ruumala, mis saadakse kõvera trapetsi pöörlemisel, mida piiravad sirged x = 0 x = 3 ja kõver y = ümber O x telje.

Lahendus. Joonistame pildi (joonis 4).

Joonis 4. Funktsiooni y = graafik

Vajalik maht on

Ülesanne nr 5. Arvutage keha ruumala, mis saadakse kõvera trapetsi pöörlemisel, mis on piiratud kõveraga y = x 2 ning sirgetega y = 0 ja y = 4 ümber O y telje.

Lahendus. Meil on:

Ülevaate küsimused