Abi Tele2-st, tariifid, küsimused

3.4 Õige järjekord
Eelmises osas võrdlesime numbreid nende asukoha järgi arvureal. See hea viis võrrelge numbreid kümnendsüsteemis. See meetod töötab alati, kuid seda on aeganõudev ja ebamugav teha iga kord, kui on vaja kahte numbrit võrrelda. On veel üks hea viis teada saada, kumb kahest arvust on suurem.

Näide A.

Vaatame eelmise jaotise numbreid ja võrdleme 0,05 ja 0,2.

Et teada saada, milline arv on suurem, võrrelge esmalt nende terveid osi. Mõlemal meie näite arvul on võrdne arv täisarve – 0. Võrrelgem siis nende kümnendikke. Arvul 0,05 on 0 kümnendikku ja arvul 0,2 on 2 kümnendikku. Asjaolu, et arvus 0,05 on 5 sajandikku, ei oma tähtsust, kuna kümnendikud määravad, et arv 0,2 on suurem. Nii võime kirjutada:

Mõlemal arvul on 0 täisarvu ja 6 kümnendikku ning me ei saa veel kindlaks teha, kumb neist on suurem. Kuid arvul 0,612 on vaid 1 sajandik ja arvul 0,62 on kaks. Siis saame selle kindlaks teha

0,62 > 0,612

See, et arvus 0,612 on 2 tuhandikku, ei oma tähtsust see ikkagi alla 0,62.

Seda saame illustreerida pildil:

		0,612
		0,62

Selleks, et määrata, milline kahest kümnendarvust on suurem, peate tegema järgmist.

1. Võrrelge terveid osi. Arv, mille terve osa on suurem, on suurem.

2 . Kui terved osad on võrdsed, võrrelge kümnendaid osi. Rohkemate kümnenditega arv on suurem.

3 . Kui kümnendikud on võrdsed, võrrelge sajandikuid. Arv, millel on rohkem sajandikuid, on suurem.

4 . Kui sajandikud on võrdsed, võrrelge tuhandeid. Arv, millel on rohkem promilli, on suurem.

Kümnendmurd erineb tavalisest murdarvust selle poolest, et selle nimetaja on kohaväärtus.

Näiteks:

Kümnendmurrud eraldatakse tavalistest murrudest eraldi vormiks, mis tõi kaasa oma reeglid nende murdude võrdlemiseks, liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks ja jagamiseks. Põhimõtteliselt saab kümnendmurdudega töötada tavaliste murdude reeglite järgi. Oma reeglid kümnendmurdude teisendamiseks lihtsustavad arvutusi ning reeglid tavaliste murdude kümnendmurdudeks teisendamiseks ja vastupidi on lüliks seda tüüpi murdude vahel.

Kümnendmurdude kirjutamine ja lugemine võimaldab neid üles kirjutada, võrrelda ja teha nendega tehteid vastavalt reeglitele, mis on väga sarnased naturaalarvudega tehtavate reeglitega.

Kümnendmurdude süsteem ja tehted nendega võeti esmakordselt välja 15. sajandil. Samarkandi matemaatik ja astronoom Dzhemshid ibn-Masudal-Kashi raamatus “Loendamise kunsti võti”.

Kogu kümnendmurru osa eraldatakse murdosast komaga, mõnes riigis (USA) pannakse punkt. Kui kümnendmurrul ei ole täisarvu, siis asetatakse arv 0 koma ette.

Parempoolsele kümnendkoha murdosale saate lisada suvalise arvu nulle, see ei muuda murru väärtust. Kümnendkoha murdosa loetakse viimase olulise numbri juures.

Näiteks:
0,3 - kolm kümnendikku
0,75 - seitsekümmend viis sajandikku
0,000005 - viis miljonit.

Terve kümnendkoha lugemine on sama, mis naturaalarvud.

Näiteks:
27.5 - kakskümmend seitse...;
1.57 - üks...

Pärast kümnendmurru tervet osa hääldatakse sõna "terve".

Näiteks:
10,7 - kümme koma seitse

0,67 - null punkt kuuskümmend seitse sajandikku.

Kümnendkohad on murdosa numbrid. Murdosa ei loeta numbrite järgi (erinevalt naturaalarvudest), vaid tervikuna, seetõttu määratakse kümnendmurru murdosa paremal oleva viimase tähendusega numbri järgi. Kümnendarvu murdosa kohaväärtuste süsteem on mõnevõrra erinev naturaalarvude omast.

• 1. number pärast kinni – kümnendik number
• 2. komakoht – sajandikkoht
• 3. komakoht – tuhandikud
• 4. komakoht - kümnetuhandik koht
• 5. komakoht – sajatuhandik koht
• 6. komakoht – miljones koht
• 7. komakoht – kümnemiljonik koht
• 8. kümnendkoht on sajamiljonik koht

Arvutustes kasutatakse kõige sagedamini kolme esimest numbrit. Kümnendkohtade murdosa suurt numbrimahtu kasutatakse ainult teatud teadmiste harudes, kus arvutatakse lõpmata väikseid suurusi.

Kümnendarvu teisendamine segamurruks koosneb järgmisest: kirjutage arv enne koma terve osa segafraktsioon; arv pärast koma on selle murdosa lugeja ja murdosa nimetajasse kirjuta ühik, kus on nii palju nulle, kui palju on pärast koma numbreid.

Kümnend sisse kohustuslik sisaldab koma. Murru arvulist osa, mis asub koma vasakul pool, nimetatakse terveks osaks; paremale - murdosa:

5,28 5 - täisarvuline osa 28 - murdosa

Kümnendarvu murdosa koosneb kümnendkohad(kümnendkohad):

• kümnendikud - 0,1 (üks kümnendik);
• sajandik - 0,01 (üks sajandik);
• tuhandikud - 0,001 (üks tuhandik);
• kümnetuhandik - 0,0001 (üks kümnetuhandik);
• sajatuhandik - 0,00001 (sadatuhandik);
• miljondik - 0,000001 (üks miljondik);
• kümme miljonit osa - 0,0000001 (üks kümnemiljondik);
• sada miljondik - 0,00000001 (sada miljondik);
• miljardid - 0,000000001 (üks miljardik) jne.

• loe number, mis moodustab kogu murdosa ja lisa sõna " terve";
• loe number, mis moodustab murdosa murdosa, ja lisa väikseima tähendusega numbri nimi.

Näiteks:

• 0,25 - null koma kakskümmend viis sajandikku;
• 9,1 - üheksa koma üks kümnendik;
• 18.013 - kaheksateist koma kolmteist tuhandikku;
• 100.2834 - sada koma kaks tuhat kaheksasada kolmkümmend neli kümne tuhandikku.

Kümnendkohtade kirjutamine

Kümnendmurru kirjutamiseks toimige järgmiselt.

• kirjuta üles kogu murdosa ja pane koma (arv, mis tähendab kogu murruosa, lõpeb alati sõnaga " terve");
• kirjuta murdosa murdosa nii, et viimane number langeks soovitud numbri hulka (kui seda pole märkimisväärsed arvud teatud kümnendkohtades asendatakse need nullidega).

Näiteks:

• kakskümmend koma üheksa - 20,9 - selles näites on kõik lihtne;
• viis koma üks sajandik - 5,01 - sõna "sajandik" tähendab, et pärast koma peaks olema kaks numbrit, kuid kuna arvul 1 pole kümnendat kohta, asendatakse see nulliga;
• null koma kaheksasada kaheksa tuhandikku - 0,808;
• kolm koma viisteist kümnendikku - sellist kümnendmurdu ei saa üles kirjutada, kuna murdosa häälduses oli viga - arv 15 sisaldab kahte numbrit ja sõna "kümnendikud" tähendab ainult ühte. Õige oleks kolm koma viisteist sajandikku (või tuhandikud, kümme tuhandikud jne).

Kümnendkohtade võrdlus

Kümnendmurdude võrdlemine toimub sarnaselt naturaalarvude võrdlemisega.

1. kõigepealt võrreldakse murdude terveid osi - suurem on kümnendmurd, mille terve osa on suurem;
2. kui murdude terved osad on võrdsed, võrrelge murdosade kaupa, vasakult paremale, alustades kümnendkohast: kümnendikud, sajandikud, tuhandikud jne. Võrdlus viiakse läbi kuni esimese lahknevuseni – seda suurem on kümnendmurd, mille murdosa vastavas numbris on suurem ebavõrdne number. Näiteks: 1,2 8 3 > 1,27 9, sest sajandikkohas on esimeses murrus 8 ja teises 7.

Selles artiklis käsitleme teemat " kümnendkohtade võrdlemine" Kõigepealt arutame üldpõhimõte kümnendmurdude võrdlus. Pärast seda mõtleme välja, mida kümnendkohad on võrdsed ja mis on ebavõrdsed. Järgmisena õpime kindlaks tegema, milline kümnendmurd on suurem ja milline väiksem. Selleks uurime lõplike, lõpmatute perioodiliste ja lõpmatute mitteperioodiliste murdude võrdlemise reegleid. Toome kogu teooria koos näidetega koos üksikasjalike lahendustega. Kokkuvõtteks vaatame kümnendmurdude võrdlust naturaalarvude, harilike murdude ja segaarvudega.

Ütleme kohe, et siin räägime ainult positiivsete kümnendmurdude võrdlemisest (vt positiivsed ja negatiivsed numbrid). Teisi juhtumeid käsitletakse artiklites ratsionaalsete arvude võrdlemine Ja reaalarvude võrdlus.

Leheküljel navigeerimine.

Kümnendmurdude võrdlemise üldpõhimõte

Sellest võrdluspõhimõttest lähtuvalt tuletatakse kümnendmurdude võrdlemise reeglid, mis võimaldavad ilma võrreldavaid kümnendmurde tavalisteks murdudeks teisendamata. Neid reegleid ja nende kohaldamise näiteid käsitleme järgmistes lõikudes.

Sarnast põhimõtet kasutatakse lõplike kümnendmurdude või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude võrdlemiseks naturaalarvud, harilikud murrud ja seganumbrid: võrreldavad arvud asendatakse neile vastavate harilike murrudega ja seejärel võrreldakse harilikke murde.

Mis puudutab lõpmatute mitteperioodiliste kümnendkohtade võrdlus, siis tavaliselt taandub see lõplike kümnendmurdude võrdlemisele. Selleks võtke arvesse võrreldavate lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude märkide arvu, mis võimaldab teil saada võrdluse tulemuse.

Võrdsed ja ebavõrdsed kümnendkohad

Kõigepealt tutvustame võrdsete ja ebavõrdsete kümnendmurdude määratlused.

Definitsioon.

Kutsutakse kahte lõppu kümnendmurdu võrdne, kui nende vastavad harilikud murrud on võrdsed, vastasel juhul kutsutakse neid kümnendmurde ebavõrdne.

Selle definitsiooni põhjal on lihtne põhjendada järgmist väidet: kui lisada või jätta kõrvale mitu numbrit 0 antud kümnendmurru lõppu, saad sellega võrdse kümnendmurru. Näiteks 0,3=0,30=0,300=… ja 140 000=140,00=140,0=140.

Tõepoolest, parempoolse kümnendmurru lõppu nulli lisamine või kõrvalejätmine vastab vastava hariliku murru lugeja ja nimetaja korrutamisele või jagamisele 10-ga. Ja me teame murdosa peamine omadus, mis väidab, et murdosa lugeja ja nimetaja korrutamine või jagamine sama naturaalarvuga annab algarvuga võrdse murdosa. See tõestab, et kümnendkoha murdosa paremale nullide lisamine või kõrvalejätmine annab algse murdosaga võrdse murdosa.

Näiteks kümnendmurd 0,5 vastab harilikule murrule 5/10, pärast nulli paremale lisamist vastab kümnendmurd 0,50, mis vastab harilikule murrule 50/100 ja. Seega 0,5=0,50. Ja vastupidi, kui kümnendmurrus 0,50 jätame paremalt ära 0, siis saame murruks 0,5, nii et tavalisest murrust 50/100 jõuame murdarvuni 5/10, kuid . Seega 0,50=0,5.

Liigume edasi võrdsete ja ebavõrdsete lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude määramine.

Definitsioon.

Kaks lõpmatut perioodilist murdu võrdne, kui vastavad harilikud murrud on võrdsed; kui neile vastavad harilikud murrud ei ole võrdsed, siis on ka võrreldavad perioodilised murrud pole võrdne.

Alates see määratlus Sellest järeldub kolm järeldust:

• Kui perioodiliste kümnendmurdude tähised langevad täielikult kokku, siis on sellised lõpmatud perioodilised kümnendmurrud võrdsed. Näiteks perioodilised kümnendkohad 0,34 (2987) ja 0,34 (2987) on võrdsed.
• Kui võrreldavate kümnendmurdude perioodid algavad samast kohast, on esimese murru periood 0, teise punkt 9 ja perioodile 0 eelneva numbri väärtus on ühe võrra suurem numbri väärtusest eelnev periood 9, siis on sellised lõpmatud perioodilised kümnendmurrud võrdsed. Näiteks perioodilised murrud 8,3(0) ja 8,2(9) on võrdsed ning murrud 141,(0) ja 140,(9) on samuti võrdsed.
• Kaks muud perioodilist murdu ei ole võrdsed. Siin on näited ebavõrdsetest lõpmatutest perioodilistest kümnendmurdudest: 9,0 (4) ja 7, (21), 0, (12) ja 0, (121), 10, (0) ja 9,8 (9).

Jääb veel tegeleda võrdsed ja ebavõrdsed lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Nagu teada, ei saa selliseid kümnendmurde teisendada tavalisteks murdudeks (sellised kümnendmurrud tähistavad irratsionaalsed arvud), seetõttu ei saa lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude võrdlust taandada tavaliste murdude võrdluseks.

Definitsioon.

Kaks lõpmatut mitteperioodilist kümnendkohta võrdne, kui nende rekordid ühtivad täielikult.

Kuid on üks hoiatus: lõputute mitteperioodiliste kümnendmurdude "valmis" kirjet on võimatu näha, seetõttu ei saa olla kindel nende kirjete täielikus kokkulangevuses. Kuidas olla?

Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude võrdlemisel võetakse arvesse ainult võrreldavate murdude lõplikku arvu märke, mis võimaldab teha vajalikke järeldusi. Seega taandatakse lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude võrdlus lõplike kümnendmurdude võrdluseks.

Selle lähenemise korral saame rääkida lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude võrdsusest ainult kuni kõnealuse numbrini. Toome näiteid. Lõpmatud mitteperioodilised kümnendkohad 5,45839... ja 5,45839... on võrdsed lähimate sajatuhandikega, kuna lõplikud kümnendkohad 5,45839 ja 5,45839 on võrdsed; mitteperioodilised kümnendmurrud 19,54... ja 19,54810375... on võrdsed lähima sajandikuga, kuna need on võrdsed murdudega 19,54 ja 19,54.

Selle lähenemisviisiga kehtestatakse lõputute mitteperioodiliste kümnendmurdude ebavõrdsus üsna kindlalt. Näiteks lõpmatud mitteperioodilised kümnendkohad 5,6789... ja 5,67732... ei ole võrdsed, kuna nende tähistuste erinevused on ilmsed (lõplikud kümnendkohad 5,6789 ja 5,6773 ei ole võrdsed). Lõpmatud kümnendkohad 6,49354... ja 7,53789... ei ole samuti võrdsed.

Kümnendmurdude võrdlemise reeglid, näited, lahendid

Pärast kahe kümnendmurdu ebavõrdsuse tuvastamist peate sageli välja selgitama, milline neist murdudest on suurem ja milline väiksem kui teine. Nüüd vaatame kümnendmurdude võrdlemise reegleid, mis võimaldavad meil esitatud küsimusele vastata.

Paljudel juhtudel piisab võrreldavate kümnendmurdude tervete osade võrdlemisest. Järgnev on tõsi kümnendkohtade võrdlemise reegel: mida suurem on kümnendmurd, mille terve osa on suurem, ja seda väiksem on kümnendmurd, mille täisosa on väiksem.

See reegel kehtib nii lõplike kui ka lõpmatute kümnendmurdude kohta. Vaatame näidete lahendusi.

Näide.

Võrrelge kümnendkohti 9,43 ja 7,983023….

Lahendus.

Ilmselgelt pole need kümnendkohad võrdsed. Lõpliku kümnendmurru 9,43 täisarv on võrdne 9-ga ja lõpmatu mitteperioodilise murru 7,983023... täisarv on 7. Alates 9>7 (vt naturaalarvude võrdlus), siis 9,43>7,983023.

Vastus:

9,43>7,983023 .

Näide.

Milline kümnendmurd 49.43(14) ja 1045.45029... on väiksem?

Lahendus.

Perioodilise murru 49.43(14) täisarv on väiksem kui lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru täisarv 1045.45029..., seega 49.43(14)<1 045,45029… .

Vastus:

49,43(14) .

Kui võrreldavate kümnendmurdude terved osad on võrdsed, siis selleks, et teada saada, milline neist on suurem ja milline väiksem, tuleb murdosasid võrrelda. Kümnendmurdude murdosade võrdlemine toimub bittide kaupa- kümnendike kategooriast madalamatele.

Kõigepealt vaatame näidet kahe kümnendmurru võrdlemisest.

Näide.

Võrrelge kümnendkohti 0,87 ja 0,8521.

Lahendus.

Nende kümnendmurdude täisarvud on võrdsed (0=0), seega liigume edasi murdosade võrdlemise juurde. Kümnendikkoha väärtused on võrdsed (8=8) ja murdosa sajandikukoha väärtus on 0,87 võrra suurem kui murdosa sajandikukoha väärtus 0,8521 (7>5). Seega 0,87>0,8521.

Vastus:

0,87>0,8521 .

Mõnikord tuleb erinevate kümnendkohtade arvuga lõpu kümnendmurdude võrdlemiseks lisada vähemate kümnendkohtadega murrud paremale arvu nullidega. Üsna mugav on komakohtade arvu võrdsustada enne lõplike kümnendmurdude võrdlemise alustamist, lisades neist ühest paremale teatud arvu nulle.

Näide.

Võrrelge kümnendkohti 18,00405 ja 18,0040532.

Lahendus.

Ilmselgelt on need murrud ebavõrdsed, kuna nende tähistused on erinevad, kuid samal ajal on neil võrdsed täisarvud (18 = 18).

Enne nende murdude murdosade bitipõhist võrdlemist võrdsustame kümnendkohtade arvu. Selleks lisame murru 18,00405 lõppu kaks numbrit 0 ja saame võrdse kümnendmurru 18,0040500.

Murdude 18,0040500 ja 18,0040532 kümnendkohtade väärtused on võrdsed kuni sajatuhandikega ning murdosa 18,0040500 miljondikkoha väärtus on väiksem kui murru 18,0040532 (0) vastava koha väärtus<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Vastus:

18,00405<18,0040532 .

Lõpliku kümnendmurru võrdlemisel lõpmatuga asendatakse lõplik murdosa võrdse lõpmatu perioodilise murruga, mille periood on 0, misjärel tehakse võrdlus numbrite kaupa.

Näide.

Võrrelge lõplikku kümnendarvu 5,27 lõpmatu mitteperioodilise kümnendarvuga 5,270013... .

Lahendus.

Nende kümnendmurdude terved osad on võrdsed. Nende murdude kümnendiku ja sajandiku numbrite väärtused on võrdsed ning edasiseks võrdlemiseks asendame lõpliku kümnendmurru võrdse lõpmatu perioodilise murruga perioodiga 0 kujul 5,270000.... Kuni viienda kümnendkohani on komakohtade 5,270000... ja 5,270013... väärtused võrdsed ning viiendal kümnendkohal on meil 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Vastus:

5,27<5,270013… .

Lõpmatute kümnendmurdude võrdlemine toimub ka koha kaupa, ja lõpeb niipea, kui mõne numbri väärtused muutuvad erinevaks.

Näide.

Võrrelge lõpmatuid kümnendkohti 6.23(18) ja 6.25181815….

Lahendus.

Nende murdude terved osad on võrdsed ja ka kümnendiku kohaväärtused on võrdsed. Ja perioodilise murru 6.23(18) sajandikkoha väärtus on väiksem kui lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurru sajandiknumber 6.25181815..., seega 6.23(18)<6,25181815… .

Vastus:

6,23(18)<6,25181815… .

Näide.

Milline lõpmatutest perioodilistest kümnendkohtadest 3,(73) ja 3,(737) on suurem?

Lahendus.

On selge, et 3,(73)=3,73737373... ja 3,(737)=3,737737737... . Neljanda kümnendkohaga bitipõhine võrdlus lõpeb, kuna seal on meil 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Vastus:

3,(737) .

Võrrelge kümnendkohti naturaalarvude, murdude ja segaarvudega.

Kümnendmurru naturaalarvuga võrdlemise tulemuse saab, kui võrrelda antud murru täisarvu antud naturaalarvuga. Sel juhul tuleb perioodilised murrud, mille periood on 0 või 9, esmalt asendada nendega võrdsete lõplike kümnendmurdudega.

Järgnev on tõsi kümnendmurdude ja naturaalarvude võrdlemise reegel: kui kümnendmurru terve osa on väiksem kui etteantud naturaalarv, siis on kogu murd väiksem sellest naturaalarvust; kui murdosa täisarv on antud naturaalarvust suurem või sellega võrdne, siis on murd suurem antud naturaalarvust.

Vaatame näiteid selle võrdlusreegli rakendamisest.

Näide.

Võrrelge naturaalarvu 7 kümnendmurruga 8,8329….

Lahendus.

Kuna antud naturaalarv on väiksem kui antud kümnendmurru täisarv, siis on see arv väiksem kui antud kümnendmurd.

Vastus:

7<8,8329… .

Näide.

Võrrelge naturaalarvu 7 ja kümnendmurdu 7.1.