Abi Tele2-st, tariifid, küsimused

Et tunda end enesekindlalt ja geomeetriatundides ülesandeid edukalt lahendada, ei piisa valemite õppimisest. Neid tuleb kõigepealt mõista. Karta ja veelgi enam valemeid vihkada on ebaproduktiivne. Selles artiklis juurdepääsetav keel Analüüsitakse erinevaid meetodeid trapetsi pindala leidmiseks. Vastavate reeglite ja teoreemide paremaks mõistmiseks pöörame veidi tähelepanu selle omadustele. See aitab teil mõista, kuidas reeglid töötavad ja millistel juhtudel tuleks teatud valemeid rakendada.

Trapetsi defineerimine

Mis näitaja see üldiselt on? Trapets on nelja nurga ja kahe paralleelse küljega hulknurk. Trapetsi kaks teist külge võivad olla erineva nurga all kaldu. Selle paralleelseid külgi nimetatakse alusteks ja mitteparalleelsete külgede puhul kasutatakse nimetust "küljed" või "puusad". Sellised arvud on igapäevaelus üsna tavalised. Trapetsi kontuurid on näha rõivaste, sisustusesemete, mööbli, nõude ja paljude teiste siluettides. Trapets juhtub erinevad tüübid: skaleen, võrdkülgne ja ristkülikukujuline. Nende tüüpe ja omadusi uurime üksikasjalikumalt hiljem artiklis.

Trapetsi omadused

Peatugem lühidalt selle joonise omadustel. Mis tahes küljega külgnevate nurkade summa on alati 180°. Tuleb märkida, et trapetsi kõik nurgad on kokku 360°. Trapetsil on keskjoone mõiste. Kui ühendate külgede keskpunktid segmendiga, on see keskjoon. See on tähistatud m. Keskjoonel on olulised omadused: see on alati alustega paralleelne (pidame meeles, et ka alused on üksteisega paralleelsed) ja võrdne nende poolsummaga:

Seda määratlust tuleb õppida ja mõista, sest see on paljude probleemide lahendamise võti!

Trapetsi abil saate alati kõrgust alusele langetada. Kõrgus on risti, mida sageli tähistatakse sümboliga h ja mis tõmmatakse ühe aluse mis tahes punktist teise baasi või selle pikendusse. Keskjoon ja kõrgus aitavad teil leida trapetsi pindala. Sellised ülesanded on kõige levinumad koolikursus geomeetria ja ilmuvad regulaarselt kontrolltööde ja eksamitööde hulgas.

Trapetsi pindala lihtsaimad valemid

Vaatame kahte kõige populaarsemat ja lihtsamat valemit, mida kasutatakse trapetsi pindala leidmiseks. Piisab, kui korrutada kõrgus poole aluste summaga, et otsitava hõlpsasti leida:

S = h*(a + b)/2.

Selles valemis tähistavad a, b trapetsi aluseid, h - kõrgust. Tajumise hõlbustamiseks on selles artiklis korrutamismärgid valemites tähistatud sümboliga (*), kuigi ametlikes teatmeteostes on korrutusmärk tavaliselt välja jäetud.

Vaatame näidet.

Arvestades: trapets, mille kaks alust on 10 ja 14 cm, kõrgus on 7 cm. Mis on trapetsi pindala?

Vaatame selle probleemi lahendust. Selle valemi abil tuleb kõigepealt leida aluste poolsumma: (10+14)/2 = 12. Seega on poolsumma 12 cm. Nüüd korrutame poolsumma kõrgusega: 12*7 = 84. Otsitav on leitud. Vastus: Trapetsi pindala on 84 ruutmeetrit. cm.

Teine tuntud valem ütleb: trapetsi pindala on võrdne trapetsi keskjoone ja kõrguse korrutisega. See tähendab, et see tuleneb tegelikult eelmisest keskjoone kontseptsioonist: S=m*h.

Diagonaalide kasutamine arvutustes

Teine viis trapetsi pindala leidmiseks pole tegelikult nii keeruline. See on ühendatud selle diagonaalidega. Selle valemi abil peate pindala leidmiseks korrutama selle diagonaalide poolkorrutise (d 1 d 2) nendevahelise nurga siinusega:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Vaatleme probleemi, mis näitab selle meetodi rakendamist. Antud: trapets, mille diagonaalide pikkus on vastavalt 8 ja 13 cm. Nurk a diagonaalide vahel on 30°. Leidke trapetsi pindala.

Lahendus. Ülaltoodud valemi abil on lihtne arvutada, mis on vajalik. Nagu teate, on sin 30° 0,5. Seega S = 8*13*0,5=52. Vastus: pindala on 52 ruutmeetrit. cm.

Võrdhaarse trapetsi pindala leidmine

Trapets võib olla võrdhaarne (võrdhaarne). Selle küljed on ühesugused ja nurgad aluste juures võrdsed, mida illustreerib hästi joonis. Võrdhaarsel trapetsil on samad omadused, mis tavalisel, pluss mitmeid erilisi omadusi. Võrdhaarse trapetsi ümber saab piirata ringi ja selle sisse saab kirjutada ringi.

Milliseid meetodeid on sellise kujundi pindala arvutamiseks? Allpool toodud meetod nõuab palju arvutusi. Selle kasutamiseks peate teadma trapetsi aluse nurga siinuse (sin) ja koosinuse (cos) väärtusi. Nende arvutamiseks vajate kas Bradise tabeleid või insenerikalkulaatorit. Siin on valem:

S= c*patt a*(a - c*cos a),

Kus Koos- reie külgmine, a- nurk alumise aluse juures.

Võrdkülgse trapetsi diagonaalid on võrdse pikkusega. Tõsi on ka vastupidi: kui trapetsil on võrdsed diagonaalid, siis on see võrdhaarne. Sellest tuleneb järgmine valem, mis aitab leida trapetsi pindala - diagonaalide ruudu ja nendevahelise nurga siinuse poolkorrutis: S = ½ d 2 sin a.

Ristkülikukujulise trapetsi pindala leidmine

Kuulus erijuhtum ristkülikukujuline trapets. See on trapets, mille üks külg (selle reie) külgneb alustega täisnurga all. Sellel on tavalise trapetsi omadused. Lisaks sellele on tal väga huvitav omadus. Sellise trapetsi diagonaalide ruutude erinevus on võrdne selle aluste ruutude erinevusega. Selle jaoks kasutatakse kõiki eelnevalt kirjeldatud pindala arvutamise meetodeid.

Kasutame leidlikkust

On üks nipp, mis võib aidata, kui unustate konkreetsed valemid. Vaatame lähemalt, mis on trapets. Kui jagame selle mõtteliselt osadeks, saame tuttavad ja arusaadavad geomeetrilised kujundid: ruut või ristkülik ja kolmnurk (üks või kaks). Kui trapetsi kõrgus ja küljed on teada, saate kasutada kolmnurga ja ristküliku pindala valemeid ning seejärel liita kõik saadud väärtused.

Illustreerime seda järgmise näitega. Antud on ristkülikukujuline trapets. Nurk C = 45°, nurgad A, D on 90°. Trapetsi ülemine alus on 20 cm, kõrgus on 16 cm, peate arvutama joonise pindala.

See joonis koosneb ilmselgelt ristkülikust (kui kaks nurka on 90°) ja kolmnurgast. Kuna trapets on ristkülikukujuline, on selle kõrgus võrdne selle küljega, see tähendab 16 cm. Meil ​​on ristkülik, mille küljed on vastavalt 20 ja 16 cm. Nüüd kaaluge kolmnurka, mille nurk on 45°. Teame, et selle üks külg on 16 cm, kuna see külg on ka trapetsi kõrgus (ja me teame, et kõrgus laskub alusele täisnurga all), on kolmnurga teine ​​nurk 90°. Seega on kolmnurga ülejäänud nurk 45°. Selle tulemusena saame täisnurkse võrdhaarse kolmnurga, millel on kaks võrdset külge. See tähendab, et kolmnurga teine ​​külg on võrdne kõrgusega, see tähendab 16 cm. Jääb välja arvutada kolmnurga ja ristküliku pindala ning lisada saadud väärtused.

Täisnurkse kolmnurga pindala on võrdne poolega selle jalgade korrutisest: S = (16*16)/2 = 128. Ristküliku pindala on võrdne selle laiuse ja pikkuse korrutisega: S = 20*16 = 320. Leidsime vajaliku: trapetsi pindala S = 128 + 320 = 448 ruutmeetrit. vaadake, saate ülaltoodud valemite abil end hõlpsalt üle kontrollida, vastus on identne.

Kasutame Picki valemit

Lõpuks esitame veel ühe originaalse valemi, mis aitab leida trapetsi pindala. Seda nimetatakse Picki valemiks. Seda on mugav kasutada, kui trapets on peale tõmmatud ruuduline paber. Sarnaseid probleeme leidub sageli ka GIA materjalides. See näeb välja selline:

S = M/2 + N-1,

selles valemis on M sõlmede arv, st. joonise joonte lõikekohad lahtri joontega trapetsi piiridel (joonisel oranžid täpid), N on joonise sees olevate sõlmede arv (sinised täpid). Seda on kõige mugavam kasutada ebakorrapärase hulknurga ala leidmisel. Mida suurem on aga kasutatud tehnikate arsenal, seda rohkem vähem vigu ja paremaid tulemusi.

Loomulikult ei ammenda esitatud teave trapetsi tüüpe ja omadusi, samuti selle pindala leidmise meetodeid. See artikkel annab ülevaate selle kõige olulisematest omadustest. Geomeetriliste ülesannete lahendamisel on oluline tegutseda järk-järgult, alustada lihtsatest valemitest ja ülesannetest, järjekindlalt oma arusaamist kinnistada ning liikuda teisele keerukusastmele.

Kõige levinumate valemite kokkukogumine aitab õpilastel navigeerida trapetsi pindala arvutamise erinevatel viisidel ning paremini valmistuda katseteks ja testid sellel teemal.

JA . Nüüd saame hakata kaaluma küsimust, kuidas leida trapetsi pindala. See ülesanne tekib igapäevaelus väga harva, kuid mõnikord osutub see vajalikuks, näiteks leida ruumi trapetsikujuline pindala, mida ehituses üha enam kasutatakse. kaasaegsed korterid, või renoveerimise projekteerimisprojektides.

Trapets on geomeetriline kujund, mille moodustavad neli lõikuvat lõiku, millest kaks on üksteisega paralleelsed ja mida nimetatakse trapetsi alusteks. Ülejäänud kahte segmenti nimetatakse trapetsi külgedeks. Lisaks vajame hiljem teist määratlust. See on trapetsi keskjoon, mis on külgede keskpunkte ja trapetsi kõrgust ühendav segment, mis on võrdne aluste vahelise kaugusega.
Nagu kolmnurkadel, on ka trapetsil eritüübid võrdhaarse (võrdkülgse) trapetsi kujul, mille külgede pikkused on samad, ja ristkülikukujulise trapetsi kujul, mille üks külgedest moodustab alustega täisnurga.

Trapetsil on mõned huvitavad omadused:

1. Trapetsi keskjoon on võrdne poolega aluste summast ja on nendega paralleelne.
   
2. Võrdhaarsetel trapetsidel on võrdsed küljed ja nurgad, mille nad moodustavad alustega.
   
3. Trapetsi diagonaalide keskpunktid ja selle diagonaalide lõikepunkt on samal sirgel.
   
4. Kui trapetsi külgede summa on võrdne aluste summaga, siis saab sellesse kirjutada ringi
   
5. Kui trapetsi külgede poolt moodustatud nurkade summa mis tahes selle aluse juures on 90, siis on aluste keskpunkte ühendava lõigu pikkus võrdne nende poolvahega.
   
6. Võrdhaarset trapetsi saab kirjeldada ringiga. Ja vastupidi. Kui trapets mahub ringi, siis on see võrdhaarne.
   
7. Võrdhaarse trapetsi aluste keskpunkte läbiv segment on selle alustega risti ja tähistab sümmeetriatelge.
   

Kuidas leida trapetsi pindala.

Trapetsi pindala võrdub poolega selle aluste summast, mis on korrutatud selle kõrgusega. Valemi kujul kirjutatakse see avaldisena:

kus S on trapetsi pindala, a, b on trapetsi iga aluse pikkus, h on trapetsi kõrgus.

Seda valemit saate mõista ja meeles pidada järgmiselt. Nagu allolevalt jooniselt nähtub, saab keskjoone abil trapetsi teisendada ristkülikuks, mille pikkus võrdub poolega aluste summast.

Samuti saate mis tahes trapetsi laiendada rohkemaks lihtsad kujundid: ristkülik ja üks või kaks kolmnurka ning kui see on teile lihtsam, siis leidke trapetsi pindala selle moodustavate kujundite pindalade summana.

Selle pindala arvutamiseks on veel üks lihtne valem. Selle järgi võrdub trapetsi pindala selle keskjoone korrutisega trapetsi kõrgusega ja kirjutatakse kujul: S = m*h, kus S on pindala, m on trapetsi pikkus. keskjoon, h on trapetsi kõrgus. See valem sobib paremini matemaatikaülesannete jaoks igapäevased ülesanded, kuna reaalsetes tingimustes ei tea te keskjoone pikkust ilma esialgsed arvutused. Ja teate ainult aluste ja külgede pikkusi.

Sel juhul saab trapetsi pindala leida järgmise valemi abil:

S = ((a+b)/2)*√c 2-((b-a) 2 +c 2-d 2 /2(b-a)) 2

kus S on pindala, a, b on alused, c, d on trapetsi küljed.

Trapetsi pindala leidmiseks on veel mitmeid viise. Kuid need on umbes sama ebamugavad kui viimane valem, mis tähendab, et neil pole mõtet peatuda. Seetõttu soovitame teil kasutada artikli esimest valemit ja soovime, et saaksite alati täpseid tulemusi.

Trapets nimetatakse nelinurgaks, mille ainult kaks küljed on üksteisega paralleelsed.

Neid nimetatakse figuuri alusteks, ülejäänuid külgedeks. Paralleelogramme peetakse joonise erijuhtudeks. Samuti on kõver trapets, mis sisaldab funktsiooni graafikut. Trapetsi pindala valemid sisaldavad peaaegu kõiki selle elemente ja Parim otsus valitakse sõltuvalt määratud väärtustest.
Peamised rollid trapetsis on määratud kõrgusele ja keskjoonele. keskmine joon- See on külgede keskpunkte ühendav joon. Kõrgus trapetsi hoitakse täisnurga all alates ülemine nurk alusele.
Trapetsi pindala läbi selle kõrguse võrdub poole aluste pikkuste summa korrutisega kõrgusega:

Kui keskmine joon on vastavalt tingimustele teada, on see valem oluliselt lihtsustatud, kuna see võrdub poolega aluste pikkuste summast:

Kui vastavalt tingimustele on antud kõigi külgede pikkused, siis võime kaaluda trapetsi pindala arvutamise näidet nende andmete abil:

Oletame, et meile on antud trapets, mille alused on a = 3 cm, b = 7 cm ja küljed c = 5 cm, d = 4 cm.

Võrdhaarse trapetsi pindala

Võrdhaarset trapetsi või, nagu seda nimetatakse ka, võrdhaarset trapetsi peetakse eraldi juhtumiks.
Erijuhtum on võrdhaarse (võrdkülgse) trapetsi pindala leidmine. Valem on tuletatud erinevaid viise– läbi diagonaalide, läbi aluse külgnevate nurkade ja sisse kirjutatud ringi raadiuse.
Kui diagonaalide pikkus on määratud vastavalt tingimustele ja nendevaheline nurk on teada, saate kasutada järgmist valemit:

Pidage meeles, et võrdhaarse trapetsi diagonaalid on üksteisega võrdsed!

See tähendab, et teades ühte nende alust, külge ja nurka, saate pindala hõlpsalt arvutada.

Kumera trapetsi pindala

Erijuhtum on kumer trapets. See asub koordinaatteljel ja on piiratud pideva positiivse funktsiooni graafikuga.

Selle alus asub X-teljel ja on piiratud kahe punktiga:
Integraalid aitavad arvutada kõvera trapetsi pindala.
Valem on kirjutatud järgmiselt:

Vaatleme näidet kõvera trapetsi pindala arvutamisest. Valem nõuab teatud teadmisi, et töötada teatud integraalid. Kõigepealt vaatame kindla integraali väärtust:

Siin on F(a) antiderivatiivfunktsiooni f(x) väärtus punktis a, F(b) on sama funktsiooni f(x) väärtus punktis b.

Nüüd lahendame probleemi. Joonisel on kujutatud funktsiooniga piiratud kõverat trapetsi. Funktsioon
Peame leidma valitud joonise pindala, mis on kõverjooneline trapets, mida ülalt piirab graafik, paremal sirge x =(-8), vasakul sirge x =(-10 ) ja allpool olev OX-telg.
Arvutame selle joonise pindala järgmise valemi abil:

Probleemi tingimused annavad meile funktsiooni. Seda kasutades leiame igas punktis antiderivaadi väärtused:


Nüüd
Vastus: Antud kõvera trapetsi pindala on 4.

Selle väärtuse arvutamisel pole midagi keerulist. Ainus asi, mis on oluline, on äärmine ettevaatus arvutustes.

Mis on võrdhaarne trapets? See on geomeetriline kujund, mille vastasküljed, mitteparalleelsed küljed on võrdsed. Trapetsi pindala leidmiseks on mitu erinevat valemit erinevad tingimused, mis on antud ülesannetes. Ehk siis pindala on leitav, kui on antud kõrgus, küljed, nurgad, diagonaalid jne. Samuti ei saa mainimata jätta, et võrdhaarsete trapetside puhul on mõned “erandid”, tänu millele on pindala otsimine ja valem ise oluliselt lihtsustatud. Allpool on toodud üksikasjalikud lahendused iga juhtumi jaoks koos näidetega.

Vajalikud omadused võrdhaarse trapetsi pindala leidmiseks

Oleme juba avastanud, et geomeetriline kujund, millel on vastasküljed, mitte paralleelsed, vaid võrdsed küljed, on trapets ja võrdhaarne. On erijuhtumeid, kui trapetsi peetakse võrdhaarseks.

• Need on nurkade võrdsuse tingimused. Niisiis, kohustuslik ese: nurgad põhjas (võtke allpool olev pilt) peaksid olema võrdsed. Meie puhul on nurk BAD = nurk CDA ja nurk ABC = nurk BCD
• Teiseks oluline reegel– sellises trapetsis peavad diagonaalid olema võrdsed. Seetõttu AC = BD.
• Kolmas aspekt: ​​trapetsi vastasnurgad peavad kokku saama 180 kraadi. See tähendab, et nurk ABC + nurk CDA = 180 kraadi. Sama kehtib nurkade BCD ja BAD kohta.
• Neljandaks, kui trapets võimaldab kirjeldada enda ümber ringjoont, siis on see võrdhaarne.

Kuidas leida võrdhaarse trapetsi pindala - valemid ja nende kirjeldused

• S = (a+b)h/2 on levinuim valem ala leidmiseks, kus A - alumine alus, b on ülemine alus ja h on kõrgus.

• Kui kõrgus on teadmata, saate seda otsida sarnase valemiga: h = c*sin(x), kus c on kas AB või CD. sin(x) on suvalise aluse nurga siinus, st nurk DAB = nurk CDA = x. Lõppkokkuvõttes on valem järgmine: S = (a+b)*c*sin(x)/2.
• Kõrguse saab leida ka järgmise valemi abil:

• Lõplik valem näeb välja selline:

• Läbi saab leida ka võrdhaarse trapetsi pindala keskjoon ja kõrgus. Valem on: S = mh.

Vaatleme tingimust, kui ringjoon on kantud trapetsi.

Pildil näidatud juhul

QN = D = H – ringi läbimõõt ja samal ajal trapetsi kõrgus;

LO, ON, OQ = R – ringi raadiused;

DC = a – ülemine alus;

AB = b – alumine alus;

DAB, ABC, BCD, CDA – alfa, beeta – trapetsi aluste nurgad.

Sarnane juhtum võimaldab ala leida järgmiste valemite abil:

• Nüüd proovime leida pindala läbi diagonaalide ja nendevahelised nurgad.

Joonisel tähistame AC, DB – diagonaale – d. Nurgad COB, DOB – alfa; DOC, AOB – beeta. Võrdhaarse trapetsi pindala valem, kasutades diagonaale ja nende vahelist nurka, ( S ) on:

Enne trapetsi pindala leidmist on vaja kindlaks määrata teadaolevad trapetsi elemendid. Trapets on geomeetriline objekt, nimelt nelinurk, millel on kaks paralleelset külge (kaks alust). Ülejäänud kaks külge on külgmised. Kui nelinurga need kaks külge on samuti paralleelsed, siis pole see enam trapets, vaid rööpkülik. Kui trapetsi vähemalt üks nurk on 90 kraadi, nimetatakse sellist trapetsi ristkülikukujuliseks. Vaatame hiljem, kuidas leida ristkülikukujulise trapetsi pindala. Samuti on olemas võrdhaarne trapets, mille nimi räägib enda eest: sellise trapetsi küljed on võrdsed. Trapetsi aluste vahelist kaugust nimetatakse kõrguseks ja kõrgust kasutatakse väga sageli pindala leidmiseks. Trapetsi keskjoon on segment, mis ühendab külgede keskpunkte.

Põhivalemid trapetsi pindala leidmiseks

• S = h*(a+b)/2
  Kus h on trapetsi kõrgus, a, b on alused. Kõige sagedamini kasutatav valem trapetsi pindala leidmiseks on pool aluste summast, mis on korrutatud kõrgusega.
• S = m*h
  Kus m on trapetsi keskjoon, h on kõrgus. Trapetsi pindala võrdub ka trapetsi keskjoone ja selle kõrguse korrutisega.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Kui d1, d2 on trapetsi diagonaalid, siis sin(d1^d2) on trapetsi diagonaalide vahelise nurga siinus.

Samuti on olemas erinevaid valemeid, mis on tuletatud põhilistest, samuti valem trapetsi pindala arvutamiseks, kui kõik selle küljed on teada. See valem on aga üsna tülikas ja seda kasutatakse harva, sest teades trapetsi kõiki külgi, saate lihtsalt määrata kõrguse või selle keskjoone. ka sisse võrdhaarne trapets saate kirjutada ringi. Sel juhul arvutatakse trapetsi pindala järgmise valemi abil: 8 * ringi raadius ruudus.

Kuidas leida ristkülikukujulise trapetsi pindala

Nagu varem mainitud, nimetatakse trapetsi ristkülikukujuliseks, kui sellel on vähemalt üks täisnurk. Sellise trapetsi pindala leidmine on väga lihtne. Põhimõtteliselt kasutatakse ristkülikukujulise trapetsi pindala leidmiseks samu valemeid, mis tavalise trapetsi puhul. Siiski tasub meeles pidada, et sellise trapetsi üks külgedest on kõrgus. Samuti taandub sageli ristkülikukujulise trapetsi pindala leidmise probleemide lahendamine väljajäetud kõrgusega moodustatud ristküliku ja kolmnurga pindala leidmisele. Sellised ülesanded on üsna lihtsad.