Avaldise väärtuse arvutamisel viimasena sooritatav aritmeetiline tehe on “peatehe”.

See tähendab, et kui asendate tähtede asemel mõned (mis tahes) numbrid ja proovite arvutada avaldise väärtust, siis kui viimane toiming on korrutamine, on meil korrutis (avaldis on faktoriseeritud).

Kui viimane toiming on liitmine või lahutamine, tähendab see, et avaldist ei ole faktoriseeritud (ja seetõttu ei saa seda redutseerida).

Selle tugevdamiseks lahendage ise mõned näited:

Näited:

Lahendused:

1. Loodan, et sa kohe lõikama ei tormanud ja? Ikka ei piisanud selliste ühikute "vähendamiseks":

Esimene samm peaks olema faktoriseerimine:

4. Murdude liitmine ja lahutamine. Murdude taandamine ühisele nimetajale.

Harilike murdude liitmine ja lahutamine on tuttav operatsioon: otsime ühisnimetaja, korrutame iga murru puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad.

Tuletame meelde:

Vastused:

1. Nimetajad ja on suhteliselt esmased, st neil ei ole ühiseid tegureid. Seetõttu on nende arvude LCM võrdne nende korrutisega. Sellest saab ühine nimetaja:

2. Siin on ühine nimetaja:

3. Siin teisendame kõigepealt segafraktsioonid ebaõigeteks ja seejärel tavapärase skeemi järgi:

Täiesti teine ​​asi on see, kui murrud sisaldavad näiteks tähti:

Alustame millegi lihtsaga:

a) Nimetajad ei sisalda tähti

Siin on kõik sama, mis tavaliste arvuliste murdude puhul: leiame ühise nimetaja, korrutame iga murdosa puuduva teguriga ja liidame/lahutame lugejad:

Nüüd saate lugejas anda sarnased, kui need on olemas, ja arvutada need:

Proovige ise:

Vastused:

b) Nimetajad sisaldavad tähti

Meenutagem põhimõtet leida tähtedeta ühisosa:

· kõigepealt määrame kindlaks ühised tegurid;

· siis kirjutame ükshaaval välja kõik levinud tegurid;

· ja korrutage need kõigi muude ebatavaliste teguritega.

Nimetajate ühistegurite määramiseks seame need esmalt algteguriteks:

Rõhutame ühiseid tegureid:

Nüüd kirjutame levinumad tegurid ükshaaval välja ja lisame neile kõik ebatavalised (joonimata):

See on ühine nimetaja.

Tuleme tagasi kirjade juurde. Nimetajad antakse täpselt samal viisil:

· faktori nimetajaid;

· määrata kindlaks ühised (identsed) tegurid;

· kõik levinud tegurid üks kord välja kirjutada;

· korrutage need kõigi muude ebatavaliste teguritega.

Niisiis, järjekorras:

1) arvutage nimetajad:

2) määrake kindlaks ühised (identsed) tegurid:

3) kirjutage üks kord välja kõik levinumad tegurid ja korrutage need kõigi muude (allajoonimata) teguritega:

Nii et siin on ühine nimetaja. Esimene murdosa tuleb korrutada järgmisega:

Muide, on üks nipp:

Näiteks: .

Nimetajates näeme samu tegureid, ainult et kõik erinevate näitajatega. Ühine nimetaja saab olema:

mingil määral

mingil määral

mingil määral

mingil määral.

Teeme ülesande keerulisemaks:

Kuidas teha murdudel sama nimetaja?

Meenutagem murdosa põhiomadust:

Kusagil pole öeldud, et sama arvu saab lahutada (või liita) murdosa lugejast ja nimetajast. Sest see pole tõsi!

Vaadake ise: võtke näiteks suvaline murd ja lisage lugejale ja nimetajale mõni arv, näiteks . Mida sa õppisid?

Niisiis, veel üks kõigutamatu reegel:

Kui vähendate murde ühise nimetajani, kasutage ainult korrutustehet!

Aga millega on vaja korrutada, et saada?

Nii et korrutage sellega. Ja korrutage arvuga:

Avaldisi, mida ei saa faktoriseerida, nimetame elementaarseteks teguriteks.

Näiteks - see on elementaarne tegur. - Sama. Aga ei: seda saab faktoriseerida.

Aga väljend? Kas see on elementaarne?

Ei, sest seda saab faktoriseerida:

(faktoriseerimise kohta lugesite juba teemas "").

Niisiis, elementaarsed tegurid, milleks te avaldise tähtedega jagate, on analoogid lihtsatele teguritele, milleks te numbreid jagate. Ja me tegeleme nendega samamoodi.

Näeme, et mõlemal nimetajal on kordaja. See läheb ühise nimetaja juurde kraadini (mäletate miks?).

Tegur on elementaarne ja neil pole ühist tegurit, mis tähendab, et esimene murdosa tuleb sellega lihtsalt korrutada:

Veel üks näide:

Lahendus:

Enne kui neid nimetajaid paaniliselt korrutate, peate mõtlema, kuidas neid arvesse võtta? Nad mõlemad esindavad:

Suurepärane! Seejärel:

Veel üks näide:

Lahendus:

Tavapäraselt faktoreerime nimetajad. Esimeses nimetajas paneme selle lihtsalt sulgudest välja; teises - ruutude erinevus:

Näib, et ühiseid tegureid pole. Kuid kui te vaatate tähelepanelikult, on nad sarnased ... Ja see on tõsi:

Nii et kirjutame:

See tähendab, et see kujunes nii: sulu sees vahetasime termineid ja samal ajal muutus murru ees olev märk vastupidiseks. Võtke teadmiseks, et peate seda sageli tegema.

Toome selle nüüd ühise nimetaja juurde:

Sain aru? Kontrollime seda kohe.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Vastused:

Siin peame meeles pidama veel üht asja - kuubikute erinevust:

Pange tähele, et teise murru nimetaja ei sisalda valemit “summa ruut”! Summa ruut näeks välja selline: .

A on summa nn mittetäielik ruut: selle teine ​​liige on esimese ja viimase korrutis, mitte nende topeltkorrutis. Summa osaline ruut on üks kuubikute erinevuse suurenemise tegureid:

Mida teha, kui murdosa on juba kolm?

Jah, sama asi! Kõigepealt veenduge, et nimetajate maksimaalne tegurite arv on sama:

Pange tähele: kui muudate ühe sulu sees olevaid märke, muutub murru ees olev märk vastupidiseks. Kui muudame teises suluses olevaid märke, muutub murru ees olev märk taas vastupidiseks. Sellest tulenevalt pole see (märk murru ees) muutunud.

Kirjutame kogu esimese nimetaja välja ühiseks nimetajaks ja lisame sellele kõik veel kirjutamata tegurid, alates teisest ja seejärel kolmandast (ja nii edasi, kui murde on rohkem). See tähendab, et see selgub järgmiselt:

Hmm... On selge, mida murdudega teha. Aga kuidas on lood nende kahega?

See on lihtne: teate, kuidas murde lisada, eks? Niisiis, me peame muutma kaheks murdosa! Pidagem meeles: murd on jagamistehte (lugeja jagatakse nimetajaga, juhuks kui unustasite). Ja pole midagi lihtsamat kui arvu jagada. Sel juhul arv ise ei muutu, vaid muutub murdarvuks:

Täpselt see, mida vaja!

5. Murdude korrutamine ja jagamine.

Noh, kõige raskem osa on nüüd läbi. Ja meie ees on kõige lihtsam, kuid samal ajal kõige olulisem:

Menetlus

Milline on arvavaldise arvutamise protseduur? Pidage meeles, arvutades selle väljendi tähenduse:

Kas sa lugesid?

See peaks toimima.

Niisiis, lubage mul teile meelde tuletada.

Esimene samm on kraadi arvutamine.

Teine on korrutamine ja jagamine. Kui korraga on mitu korrutamist ja jagamist, saab neid teha mis tahes järjekorras.

Ja lõpuks teeme liitmise ja lahutamise. Jällegi suvalises järjekorras.

Aga: sulgudes olevat avaldist hinnatakse järjekorraväliselt!

Kui mitu sulgu korrutatakse või jagatakse üksteisega, arvutame esmalt igas sulgudes oleva avaldise ja seejärel korrutame või jagame need.

Mis siis, kui sulgudes on rohkem sulgusid? Noh, mõelgem: sulgude sisse on kirjutatud mõni väljend. Mida peaksite avaldise arvutamisel kõigepealt tegema? See on õige, arvutage sulud. Noh, me mõtlesime selle välja: kõigepealt arvutame sisemised sulgud, seejärel kõik muu.

Seega on ülaltoodud avaldise protseduur järgmine (praegune toiming on punasega esile tõstetud, see tähendab toiming, mida ma praegu teen):

Olgu, kõik on lihtne.

Kuid see pole sama, mis tähtedega väljend?

Ei, see on sama! Ainult aritmeetiliste toimingute asemel peate tegema algebralisi, st eelmises jaotises kirjeldatud toiminguid: sarnast toomine, fraktsioonide lisamine, murdude vähendamine jne. Ainus erinevus on polünoomide faktooringu toimimine (kasutame seda sageli murdarvudega töötamisel). Enamasti peate faktoriseerimiseks kasutama I-d või lihtsalt jätma ühisteguri sulgudest välja.

Tavaliselt on meie eesmärk esitada väljendit toote või jagatisena.

Näiteks:

Lihtsustame väljendit.

1) Esiteks lihtsustame sulgudes olevat väljendit. Seal on meil murdude erinevus ja meie eesmärk on esitada see korrutise või jagatisena. Niisiis, viime murrud ühise nimetaja juurde ja lisame:

Seda väljendit on võimatu veelgi lihtsustada, kõik tegurid on siin elementaarsed (kas mäletate veel, mida see tähendab?).

2) Saame:

Murdude korrutamine: mis võiks olla lihtsam.

3) Nüüd saate lühendada:

OK, nüüd on kõik läbi. Pole midagi keerulist, eks?

Veel üks näide:

Lihtsustage väljendit.

Esmalt proovige see ise lahendada ja alles siis vaadake lahendust.

Lahendus:

Kõigepealt määrame toimingute järjekorra.

Esmalt lisame sulgudes olevad murded, nii et kahe murru asemel saame ühe.

Seejärel teeme murdude jagamise. Noh, lisame tulemuse viimase murdosaga.

Nummerdan sammud skemaatiliselt:

Nüüd ma näitan teile protsessi, toonimist praegune tegevus punane:

1. Kui on sarnaseid, tuleb need kohe ära tuua. Millal iganes sarnased meie riigis tekivad, on soovitatav need kohe üles tuua.

2. Sama kehtib ka taandavate fraktsioonide kohta: niipea, kui tekib taandamise võimalus, tuleb see ära kasutada. Erandiks on murrud, mille lisate või lahutate: kui neil on nüüd samad nimetajad, tuleks taandamine jätta hilisemaks.

Siin on mõned ülesanded, mida saate ise lahendada:

Ja mis kohe alguses lubati:

Vastused:

Lahendused (lühidalt):

Kui oled vähemalt kolme esimese näitega hakkama saanud, siis oled teema valdanud.

Nüüd õppimise juurde!

Avaldiste teisendamine. KOKKUVÕTE JA PÕHIVALEMID

Põhilised lihtsustustoimingud:

• Sarnase toomine: sarnaste terminite lisamiseks (vähendamiseks) tuleb lisada nende koefitsiendid ja määrata täheosa.
• Faktoriseerimine:ühisteguri sulgudest välja panemine, rakendamine jne.
• Murdosa vähendamine: Murru lugeja ja nimetaja saab korrutada või jagada sama nullist erineva arvuga, mis ei muuda murru väärtust.
  1) lugeja ja nimetaja faktoriseerima
  2) kui lugejal ja nimetajal on ühised tegurid, võib need läbi kriipsutada.

  TÄHTIS: vähendada saab ainult kordajaid!

• Murdude liitmine ja lahutamine:
  ;
• Murdude korrutamine ja jagamine:
  ;

Algebraavaldiste lihtsustamine on algebra õppimise üks võtmeid ja see on äärmiselt kasulik oskus kõigile matemaatikutele. Lihtsustamine võimaldab taandada keerulise või pika avaldise lihtsaks avaldiseks, millega on lihtne töötada. Lihtsustamise algoskused on head ka neile, kes matemaatikast vaimustuses pole. Jälgides mitmeid lihtsad reeglid, saate lihtsustada paljusid levinumaid algebraavaldiste tüüpe ilma eriliste matemaatikateadmisteta.

Sammud

Olulised definitsioonid

1. Sarnased liikmed . Need on sama järjekorra muutujaga liikmed, samade muutujatega liikmed või vabaliikmed (liikmed, mis ei sisalda muutujat). Teisisõnu, sarnased terminid sisaldavad sama muutujat samal määral, sisaldavad mitut sama muutujat või ei sisalda muutujat üldse. Terminite järjekord avaldises ei oma tähtsust.

   • Näiteks 3x 2 ja 4x 2 on sarnased terminid, kuna need sisaldavad teist järku (teise astmeni) muutujat "x". Kuid x ja x2 ei ole sarnased terminid, kuna need sisaldavad erinevat järku (esimene ja teine) muutujat “x”. Samuti ei ole -3yx ja 5xz sarnased terminid, kuna need sisaldavad erinevaid muutujaid.

2. Faktoriseerimine . See on numbrite leidmine, mille korrutis viib esialgse numbrini. Igal algsel arvul võib olla mitu tegurit. Näiteks arvu 12 saab arvestada järgmiste tegurite seeriaga: 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4, seega võime öelda, et arvud 1, 2, 3, 4, 6 ja 12 on teguri tegurid. arv 12. Tegurid on samad, mis tegurid , st arvud, millega algne arv on jagatud.

   • Näiteks kui soovite arvutada arvu 20, kirjutage see järgmiselt: 4 × 5.
   • Pange tähele, et faktooringu puhul võetakse arvesse muutujat. Näiteks 20x = 4 (5x).
   • Algarve ei saa arvesse võtta, kuna need jaguvad ainult iseenda ja 1-ga.

3. Vigade vältimiseks pidage meeles ja järgige toimingute järjekorda.

   • Sulgudes
   • Kraad
   • Korrutamine
   • Jaoskond
   • Lisand
   • Lahutamine

   Sarnaste liikmete toomine

   1. Kirjutage väljend üles. Lihtsaid algebralisi avaldisi (need, mis ei sisalda murde, juuri jne) saab lahendada (lihtsustatud) vaid mõne sammuga.

      • Näiteks lihtsustage väljendit 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Defineerige sarnased terminid (sama järjestuse muutujaga terminid, samade muutujatega terminid või vabad terminid).

      • Leidke selles avaldises sarnased terminid. Mõisted 2x ja 4x sisaldavad muutujat samas järjekorras (esimene). Samuti on 1 ja -3 vabaterminid (ei sisalda muutujat). Seega selles väljendis terminid 2x ja 4x on sarnased ja liikmed 1 ja -3 on ka sarnased.

   3. Andke sarnased liikmed. See tähendab nende liitmist või lahutamist ja väljendi lihtsustamist.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Kirjutage avaldis antud termineid arvestades ümber. Saate lihtsa avaldise, milles on vähem termineid. Uus avaldis on võrdne esialgsega.

      • Meie näites: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x-2, see tähendab, et algne väljend on lihtsustatud ja sellega on lihtsam töötada.

   5. Järgige sarnaste liikmete toomisel toimingute järjekorda. Meie näites oli sarnaste tingimuste esitamine lihtne. Keerukate avaldiste puhul, kus terminid on sulgudes ning murrud ja juured, pole aga nii lihtne tuua selliseid termineid. Sellistel juhtudel järgige toimingute järjekorda.

      • Näiteks kaaluge avaldist 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Siin oleks viga kohe 3x ja 2x sarnaste mõistetena defineerida ja esitada, sest enne on vaja avada sulud. Seetõttu tehke toimingud nende järjekorras.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nüüd, kui avaldis sisaldab ainult liitmise ja lahutamise tehteid, saate tuua sarnased terminid.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Võttes kordaja sulgudest välja

   1. Otsi suurim ühine jagaja(GCD) kõigi avaldise kordajate kohta. GCD on suurim arv, millega on jagatud kõik avaldise koefitsiendid.

      • Näiteks kaaluge võrrandit 9x 2 + 27x - 3. Sel juhul on GCD = 3, kuna selle avaldise mis tahes koefitsient jagub 3-ga.

   2. Jagage avaldise iga liige gcd-ga. Saadud terminid sisaldavad väiksemaid koefitsiente kui algses avaldises.

      • Meie näites jagage iga avaldise termin 3-ga.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Tulemuseks oli väljend 3x 2 + 9x - 1. See ei ole võrdne algse väljendiga.

   3. Kirjutage üles algne avaldis võrdsena gcd ja saadud avaldise korrutisega. See tähendab, et pane saadud avaldis sulgudesse ja võta gcd sulgudest välja.

      • Meie näites: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Lihtsustamine murdosa avaldised võttes kordaja sulgudest välja. Miks panna kordaja lihtsalt sulgudest välja, nagu varem tehti? Seejärel saate õppida, kuidas lihtsustada keerulisi avaldisi, näiteks murdavaldisi. Sel juhul võib teguri sulgudest välja panemine aidata murdust (nimetajast) lahti saada.

      • Näiteks kaaluge murdosavaldist (9x 2 + 27x - 3)/3. Selle väljendi lihtsustamiseks kasutage faktoringut.
        • Pange koefitsient 3 sulgudest välja (nagu varem): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Pange tähele, et nüüd on nii lugejas kui ka nimetajas 3. Seda saab taandada, et saada avaldis: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Kuna iga murd, mille nimetajas on arv 1, on lihtsalt võrdne lugejaga, lihtsustub algne murdosa avaldis järgmiselt: 3x 2 + 9x - 1.

   Täiendavad lihtsustamismeetodid

   1. Murdlausete lihtsustamine. Nagu eespool märgitud, kui nii lugeja kui ka nimetaja sisaldavad samu termineid (või isegi samu väljendeid), saab neid vähendada. Selleks tuleb sulgudest välja võtta lugeja või nimetaja ühistegur või nii lugeja kui ka nimetaja. Või võite jagada lugeja iga liikme nimetajaga ja seega avaldist lihtsustada.

      • Näiteks kaaluge murdosavaldist (5x 2 + 10x + 20)/10. Siin jagage lihtsalt iga lugeja liige nimetajaga (10). Kuid pange tähele, et termin 5x 2 ei jagu ühtlaselt 10-ga (kuna 5 on väiksem kui 10).
        • Seega kirjutage selline lihtsustatud avaldis: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Radikaalsete väljendite lihtsustamine. Juuremärgi all olevaid väljendeid nimetatakse radikaalavaldisteks. Neid saab lihtsustada nende lagunemise kaudu sobivateks teguriteks ja järgneva ühe teguri eemaldamisega juure alt.

      • Vaatame lihtsat näidet: √(90). Arvu 90 saab arvestada järgmiste teguritega: 9 ja 10 ning eraldada 9-st Ruutjuur(3) ja eemaldage 3 juure alt.
        • √(90)
        • √ (9 × 10)
        • √ (9) × √ (10)
        • 3 × √ (10)
        • 3√(10)

   3. Väljendite lihtsustamine volitustega. Mõned avaldised sisaldavad astmetega terminite korrutamise või jagamise tehteid. Sama alusega liikmete korrutamisel liidetakse nende võimsused; sama alusega jagamise korral nende võimsused lahutatakse.

      • Näiteks kaaluge avaldist 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Korrutamise korral liita astmed, jagamisel lahutada.
        • 6 x 3 x 8 x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8) × 3 + 4 + (x 17–15)
        • 48x7 + x 2
      • Järgnevalt selgitame eksponendiliikmete korrutamise ja jagamise reegleid.
        • Terminite korrutamine võimsustega võrdub terminite korrutamisega iseendaga. Näiteks kuna x 3 = x × x × x ja x 5 = x × x × x × x × x, siis x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) või x 8 .
        • Samuti on terminite jagamine kraadidega samaväärne terminite jagamisega iseendaga. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Kuna nii lugejas kui ka nimetajas leiduvaid sarnaseid termineid saab taandada, jääb kahe “x” või x 2 korrutis lugejasse.

Kooli algebra kursuselt liigume edasi spetsiifika juurde. Selles artiklis uurime üksikasjalikult eriline liik ratsionaalsed väljendid - ratsionaalsed murded ja kaaluge ka, milline omadus on identne ratsionaalsete murdude teisendamine aset leidma.

Märgime kohe, et ratsionaalseid murde selles tähenduses, milles me neid allpool defineerime, nimetatakse mõnes algebraõpikus algebralisteks murdudeks. See tähendab, et selles artiklis mõistame ratsionaalseid ja algebralisi murde ühe ja sama asjana.

Nagu tavaliselt, alustame määratluse ja näidetega. Järgmisena räägime ratsionaalse murru viimisest uude nimetajasse ja murruliikmete märkide muutmisest. Pärast seda vaatame, kuidas murdosasid vähendada. Lõpuks vaatleme ratsionaalse murru esitamist mitme murru summana. Esitame kogu teabe koos näidetega üksikasjalikud kirjeldused otsuseid.

Leheküljel navigeerimine.

Ratsionaalsete murdude definitsioon ja näited

Ratsionaalmurde õpitakse 8. klassi algebra tundides. Kasutame ratsionaalse murru definitsiooni, mis on antud 8. klassi algebra õpikus Yu N. Makarychev jt.

IN see määratlus pole täpsustatud, kas ratsionaalse murru lugejas ja nimetajas olevad polünoomid peavad olema standardkuju polünoomid või mitte. Seetõttu eeldame, et ratsionaalsete murdude tähised võivad sisaldada nii standardseid kui ka mittestandardseid polünoome.

Siin on mõned näiteid ratsionaalsetest murdudest. Niisiis, x/8 ja - ratsionaalsed murded. Ja murrud ja ei sobi välja toodud ratsionaalse murru definitsiooniga, kuna esimeses neist lugeja ei sisalda polünoomi ja teises sisaldavad nii lugeja kui ka nimetaja avaldisi, mis ei ole polünoomid.

Ratsionaalmurru lugeja ja nimetaja teisendamine

Mis tahes murru lugeja ja nimetaja on iseseisvad matemaatilised avaldised, konkreetsel juhul on need polünoomid ja arvud; Seetõttu saab identseid teisendusi läbi viia ratsionaalse murru lugeja ja nimetajaga, nagu iga avaldise puhul. Teisisõnu, ratsionaalse murru lugejas oleva avaldise saab asendada identselt võrdse avaldisega, nagu ka nimetaja.

Saate teha identseid teisendusi ratsionaalse murru lugejas ja nimetajas. Näiteks lugejas saab sarnaseid termineid grupeerida ja taandada ning nimetajas mitme arvu korrutise asendada selle väärtusega. Ja kuna ratsionaalse murru lugejaks ja nimetajaks on polünoomid, siis on nendega võimalik teha polünoomidele iseloomulikke teisendusi, näiteks taandada standardkujule või esitada korrutise kujul.

Selguse huvides kaalume mitme näite lahendusi.

Näide.

Teisenda ratsionaalne murd nii et lugeja sisaldab standardkuju polünoomi ja nimetaja sisaldab polünoomide korrutist.

Lahendus.

Ratsionaalsete murdude taandada uuele nimetajale kasutatakse peamiselt ratsionaalsete murdude liitmisel ja lahutamisel.

Märkide muutmine murdu ees, samuti selle lugejas ja nimetajas

Murru põhiomaduse abil saab muuta murru liikmete märke. Tõepoolest, ratsionaalse murru lugeja ja nimetaja korrutamine -1-ga võrdub nende märkide muutmisega ja tulemuseks on murdosa, mis on identselt võrdne antud murruga. Seda teisendust tuleb ratsionaalsete murdudega töötamisel üsna sageli kasutada.

Seega, kui muudate samaaegselt murru lugeja ja nimetaja märke, saate algse murdosaga võrdse murdosa. Sellele väitele vastab võrdsus.

Toome näite. Ratsionaalmurru saab asendada identselt võrdse murruga, millel on vormi lugeja ja nimetaja muudetud märgid.

Murdudega saab läbi viia veel ühe identse teisenduse, milles muutub kas lugeja või nimetaja märk. Toome välja vastava reegli. Kui asendate murru märgi koos lugeja või nimetaja märgiga, saate murru, mis on identne algse märgiga. Kirjalik avaldus vastab võrdsustele ja .

Nende võrdsuste tõestamine pole keeruline. Tõestus põhineb arvude korrutamise omadustel. Tõestame neist esimest: . Sarnaste teisenduste abil on võrdsus tõestatud.

Näiteks võib murdosa asendada avaldisega või.

Selle punkti lõpetuseks esitame veel kaks kasulikku võrdsust ja . See tähendab, et kui muudate ainult lugeja või ainult nimetaja märki, muudab murd oma märki. Näiteks, Ja .

Murruliste ratsionaalavaldiste teisendamisel kasutatakse sageli vaadeldavaid teisendusi, mis võimaldavad muuta murdosa liikmete märki.

Ratsionaalsete murdude vähendamine

Järgnev ratsionaalsete murdude teisendus, mida nimetatakse ratsionaalsete murdude redutseerimiseks, põhineb murru samal põhiomadusel. See teisendus vastab võrdsusele , kus a, b ja c on mõned polünoomid ning b ja c on nullist erinevad.

Ülaltoodud võrdsusest selgub, et ratsionaalse murru vähendamine tähendab selle lugeja ja nimetaja ühistegurist vabanemist.

Näide.

Tühista ratsionaalne murd.

Lahendus.

Ühistegur 2 on kohe nähtav, teeme selle võrra vähendamise (kirjutamisel on mugav maha kriipsutada ühised tegurid, mille võrra vähendatakse). Meil on . Kuna x 2 =x x ja y 7 =y 3 y 4 (vaadake vajadusel), on selge, et x on saadud murru lugeja ja nimetaja ühine tegur, nagu ka y 3. Vähendame järgmiste teguritega: . See viib vähendamise lõpule.

Ülalpool teostasime ratsionaalsete murdude taandamise järjestikku. Või oli võimalik redutseerida ühe sammuga, vähendades murdosa kohe 2 x y 3 võrra. Sel juhul näeks lahendus välja järgmine: .

Vastus:

.

Ratsionaalsete murdude vähendamisel on põhiprobleemiks see, et lugeja ja nimetaja ühistegur pole alati nähtav. Pealegi pole see alati olemas. Ühise teguri leidmiseks või selle puudumise kontrollimiseks peate arvestama ratsionaalse murru lugeja ja nimetaja. Kui ühistegurit pole, ei pea algset ratsionaalset murdosa vähendama, vastasel juhul redutseeritakse.

Ratsionaalsete murdude vähendamise käigus võib tekkida probleeme. erinevaid nüansse. Peamisi peensusi käsitletakse algebraliste murdude vähendamise artiklis näidete abil ja üksikasjalikult.

Ratsionaalsete murdude vähendamise vestlust lõpetades märgime, et see teisendus on identne ja selle rakendamise peamine raskus seisneb polünoomide arvestamises lugejas ja nimetajas.

Ratsionaalse murru esitamine murdude summana

Üsna spetsiifiline, kuid mõnel juhul väga kasulik on ratsionaalse murru teisendus, mis seisneb selle esitamises mitme murru summana ehk terve avaldise ja murru summana.

Ratsionaalmurdu, mille lugeja sisaldab mitme monoomi summat esindavat polünoomi, saab alati kirjutada samade nimetajatega murdude summana, mille lugejad sisaldavad vastavaid monoomi. Näiteks, . Seda esitust selgitab sarnaste nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegel.

Üldiselt saab mis tahes ratsionaalset murdu esitada murdude summana mitmel erineval viisil. Näiteks võib murdosa a/b kujutada kahe murru summana – suvalise murdosa c/d ja murdosa, mis on võrdne murdude a/b ja c/d vahega. See väide on tõsi, kuna võrdsus kehtib . Näiteks saab ratsionaalset murdosa esitada murdude summana erinevatel viisidel: Kujutagem ette algset murdu täisarvulise avaldise ja murru summana. Jagades lugeja veeruga nimetajaga, saame võrdsuse . Avaldise n 3 +4 väärtus mis tahes täisarvu n korral on täisarv. Ja murdosa väärtus on täisarv siis ja ainult siis, kui selle nimetaja on 1, −1, 3 või −3. Need väärtused vastavad vastavalt väärtustele n=3, n=1, n=5 ja n=−1.

Vastus:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. Kell 14 1. osa Õpik õpilastele õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 13. väljaanne, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. 2 tunniga 1. osa. Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

VIII tüüpi koolis tutvustatakse õpilastele järgmisi murdude teisendusi: murdude väljendamine suuremates murdudes (6. klass), ebaõigete murdude väljendamine tervik- või segaarvuna (6. klass), murdude väljendamine samalaadsetes murdudes (7. klass), murdude väljendamine samalaadsetes murdudes (7. klass). segaarvu väljendamine ebaõige murruna (7. klass).

Vale murru väljendamine täis- või segaarvuga

Õppimine sellest materjalist peaksite alustama ülesandega: võtke 2 võrdset ringi ja jagage igaüks neist 4 võrdseks osaks, loendage neljandate osade arv (joonis 25). Järgmisena tehakse ettepanek kirjutada see summa murdarvuna. Siis on neljandad löögid

Need asetatakse kõrvuti ja õpilased on veendunud, et nad on moodustanud terve ringi. Seetõttu lisab see neljale veerandile -

järjest uuesti ja õpilased kirjutavad üles:

Õpetaja juhib õpilaste tähelepanu asjaolule, et kõigil vaadeldavatel juhtudel võtsid nad valemurru ja teisenduse tulemusena said nad kas täis- või segaarvu, st väljendasid valemurdu tervikuna. või seganumber. Järgmisena peame püüdlema selle poole, et õpilased saaksid iseseisvalt kindlaks teha, millist aritmeetilist toimingut seda teisendust teha saab. Eredad näited, mis viivad küsimusele vastuseni, on järgmised: Järeldus: kuni

Ebaõige murru väljendamiseks täis- või segaarvuna peate jagama murdosa lugeja nimetajaga, kirjutama jagatise täisarvuna, kirjutama lugejasse jääk ja jätma nimetaja samaks. Kuna reegel on tülikas, ei pea õpilased seda pähe õppima. Nad peavad suutma järjepidevalt edastada antud teisenduse läbiviimisega seotud etappe.

Enne kui tutvustate õpilastele ebaõige murdu väljendamist täis- või segaarvuga, on soovitatav koos nendega üle vaadata täisarvu jagamine täisarvuga jäägiga.

Õpilaste jaoks uue ümberkujundamise kinnistamist hõlbustab praktilist laadi probleemide lahendamine, näiteks:

«Vaasis on üheksa neljandikku apelsini. Mitu tervet apelsini saab nendest osadest valmistada? Mitu kvartalit jääb alles?"

Täis- ja segaarvude väljendamine ebaõigete murdudena

Õpilastele selle uue transformatsiooni tutvustamisele peaks eelnema näiteks probleemide lahendamine:

“Kaks võrdse pikkusega ruudukujulist kangast lõigati 4 võrdseks osaks. Igast sellisest osast õmmeldi sall. Mitu salli sa said? .

Järgmisena palub õpetaja õpilastel täita järgmine ülesanne: „Võtke terve ring ja teine ​​pool ringist, mis on esimesega võrdne. Lõika kogu ring pooleks. Mitu poolikut oli? Kirjutage üles: see oli ring, sellest sai ring.

Seega vaatleme visuaalsel ja praktilisel alusel veel mitmeid näiteid. Vaadeldavates näidetes palutakse õpilastel võrrelda algset arvu (sega- või täisarv) ja arvu, mis saadi pärast teisendust (vale murd).

Et tutvustada õpilastele täisarvu ja segaarvu valemurruna väljendamise reeglit, tuleb juhtida nende tähelepanu segaarvu ja valemurru nimetajate võrdlemisele, samuti sellele, kuidas näiteks lugeja saadakse. :

toimub 15/4. Selle tulemusena sõnastatakse reegel: segaarvu valemurruna väljendamiseks tuleb nimetaja korrutada täisarvuga, lisada korrutisele lugeja ja kirjutada lugejaks summa, jättes nimetaja muutmata.

Esiteks peate õpetama õpilasi väljendama ühtsust valemurruna, seejärel mis tahes muu nimetajat tähistava täisarvuna ja alles seejärel segaarvuna -

Murru 1 põhiomadus

Murru muutumatuse mõiste, suurendades või vähendades samaaegselt selle liikmeid, st lugejat ja nimetajat, omandavad VIII tüüpi kooli õpilased suurte raskustega. Seda kontseptsiooni tuleb tutvustada visuaalse ja didaktilise materjali abil ning oluline on, et õpilased mitte ainult ei jälgiks õpetaja tegevust, vaid ka töötaksid aktiivselt didaktilise materjaliga ning tugineksid vaatlustele ja praktiline tegevus jõudis teatud järeldustele ja üldistustele.

Näiteks võtab õpetaja terve kaalika, jagab selle 2 võrdseks osaks ja küsib: “Mis sa said, kui jagasid terve kaalika pooleks? (2 poolikut.) Näita kaalikat. Lõika (jaga) pool naerist veel 2 võrdseks osaks. Mida me saame? Kirjutame: Võrdleme nende murdude lugejaid ja nimetajaid. Mis ajal

kordades lugeja suurenes? Mitu korda on nimetaja suurenenud? Mitu korda on nii lugeja kui ka nimetaja suurenenud? Kas murdosa on muutunud? Miks see pole muutunud? Kuidas aktsiad muutusid: suuremaks või väiksemaks? Kas aktsiate arv on suurenenud või vähenenud?

Seejärel jagavad kõik õpilased ringi 2 võrdseks osaks, iga pool jagatakse 2 võrdsemaks osaks, iga veerand 2 võrdsemaks osaks jne ja kirjutavad üles: jne.

teha kindlaks, mitu korda on murru lugeja ja nimetaja suurenenud ning kas murd on muutunud. Seejärel joonistage segment ja jagage see järjestikku 3, 6, 12 võrdseks osaks ja kirjutage üles:

Kui võrrelda murde selgub, et

Murru lugejat ja nimetajat suurendatakse sama palju kordi, kuid murdosa ei muutu.

Pärast mitmete näidete kaalumist tuleks paluda õpilastel vastata küsimusele: „Kas murdarv muutub, kui lugeja

aastal jäetakse matemaatika õppekavast välja teatud teadmised teemal “Lihtmurrud”. paranduskoolid VIII tüüpi, kuid need edastatakse õpilastele hilinenud laste koolides vaimne areng, tasandusklassides lastele, kellel on raskusi matemaatika õppimisega. Selles õpikus on lõigud, mis pakuvad selle materjali õppimise meetodeid, tähistatud tärniga (*).

ja korrutage murdosa nimetaja sama arvuga (suurendage sama palju)?" Lisaks peaksite paluma õpilastel ise näiteid tuua.

Sarnased näited on toodud ka siis, kui kaalutakse lugeja ja nimetaja sama arvu vähendamist (lugeja ja nimetaja jagatakse sama arvuga). Näiteks jagatakse ring 8 võrdseks osaks, võetakse ringist 4 kaheksandikku,

Olles suurendanud aktsiaid, võtavad nad neljandad, neid on 2, suurendades aktsiaid, võtavad nad teised. Neid võrreldakse järjestikku

nende murdude lugejad ja nimetajad, vastates küsimustele: „Mitu korda lugeja ja nimetaja vähenevad? Kas murdosa muutub?*.

Hea juhis on 12, 6, 3 võrdseks osaks jagatud triibud (joonis 26).

Vaadeldud näidete põhjal saavad õpilased järeldada: murd ei muutu, kui murdu lugeja ja nimetaja jagada sama arvuga (vähendada sama palju kordi). Seejärel tehakse üldistatud järeldus - murru põhiomadus: murd ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat suurendatakse või vähendatakse sama palju kordi.

Murdude vähendamine

Kõigepealt tuleb õpilased selleks murdude teisendamiseks ette valmistada. Nagu teate, tähendab murdosa vähendamine murdosa lugeja ja nimetaja jagamist sama arvuga. Kuid jagaja peab olema arv, mis annab vastusele taandamatu murdosa.

Kuu kuni poolteist kuud, enne kui õpilased tutvustavad murdarvude vähendamist ettevalmistustööd- tehakse ettepanek nimetada korrutustabelist kaks vastust, mis jaguvad sama arvuga. Näiteks: "Nimeta kaks arvu, mis jaguvad 4-ga." (Kõigepealt vaatavad õpilased tabelis 1-t ja nimetavad siis need arvud mälu järgi.) Nad nimetavad nii arvud kui ka 4-ga jagamise tulemused. Seejärel pakub õpetaja õpilastele murdude, 3

vali näiteks lugeja ja nimetaja jagaja (sellise toimingu tegemise aluseks on korrutustabel).

millist tabelit peaksin vaatama? Millise arvuga saab jagada 5 ja 15?) Selgub, et kui murdu lugeja ja nimetaja jagada sama arvuga, ei ole murru suurus muutunud (seda saab näidata ribal, lõigul, ring), ainult murrud on muutunud suuremaks: Murru tüüp on muutunud lihtsamaks . Õpilased juhitakse murdude vähendamise reeglite järeldusele.

VIII tüüpi kooliõpilastel on sageli raske leida suurimat arvu, mis jagaks nii murdosa lugeja kui ka nimetaja. Seetõttu täheldatakse sageli selliseid vigu nagu 4/12 = 2/6, st õpilane ei leidnud suurimat ühist

jagaja arvudele 4 ja 12. Seetõttu võib algul lubada astmelist jagamist, s.t., aga samas küsida, millise arvuga jagati kõigepealt murdu lugeja ja nimetaja, millise arvuga siis ja siis millise arvuga lugeja ja nimetaja võiks kohe jagada murdudeks Sellised küsimused aitavad õpilastel järk-järgult leida murru lugeja ja nimetaja suurima ühisteguri.

Toomine murrud väikseima ühisnimetajani*

Murdude taandamine väikseima ühisnimetajani ei tohiks olla eesmärk omaette, vaid teisendus, mis on vajalik murdude võrdlemiseks ja seejärel erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise toimingute tegemiseks.

Õpilased on juba tuttavad murdude võrdlemisega samade lugejatega, kuid erinevate nimetajatega ja samade nimetajatega, kuid erinevate lugejatega. Küll aga ei osata veel võrrelda erinevate lugejate ja nimetajatega murde.

Enne õpilastele uue teisenduse tähenduse selgitamist on vaja käsitletud materjali korrata, täites näiteks järgmised ülesanded:

Võrdle murde 2/5,2/7,2/3 Öelge murdude võrdlemise reegel

identsed lugejad.

Murdude võrdlemine Öelge murdude võrdlemise reegel

samade nimetajatega.

Murdude võrdlemine Õpilastel on raske murde võrrelda

on erinevad, kuna neil on erinevad lugejad ja erinevad nimetajad. Nende murdude võrdlemiseks peate nende murdude lugejad või nimetajad võrdseks muutma. Tavaliselt väljendatakse nimetajaid võrdsetes murdarvudes, see tähendab, et nad taandavad murrud väikseima ühisnimetajani.

Õpilastele tuleks tutvustada murdude võrdsetes osades väljendamise viisi.

Esiteks võetakse arvesse erineva nimetajaga murde, kuid neid, mille puhul ühe murru nimetaja jagub ilma jäägita teise murru nimetajaga ja võib seetõttu olla ka teise murru nimetaja.

Näiteks murdarvudes on nimetajateks numbrid 8 ja 2.

Nende murdude väljendamiseks võrdsetes osades soovitab õpetaja korrutada väiksema nimetaja järjestikku arvudega 2, 3, 4 jne ja teha seda seni, kuni saate tulemuse, mis on võrdne esimese murru nimetajaga. Näiteks korrutage 2 2-ga ja saate 4. Kahe murru nimetajad on jällegi erinevad. Järgmisena korrutame 2 3-ga, saame 6. Ka arv 6 ei sobi. Korrutame 2 4-ga, saame 8. Sel juhul on nimetajad samad. Selleks, et murd ei muutuks, tuleb ka murdosa lugeja korrutada 4-ga (lähtudes murru põhiomadusest). Saame murdosa Nüüd väljendatakse murrud võrdsetes murdudes. Nende

Nendega on lihtne võrrelda ja toiminguid teha.

Arvu, millega peate korrutama ühe murru väiksema nimetaja, saate suurema nimetaja väiksemaga jagades. Näiteks kui jagate 8 2-ga, saate arvu 4. Selle arvuga peate korrutama nii murdosa nimetaja kui ka lugeja. See tähendab, et mitme murdu võrdsetes osades väljendamiseks peate jagama suurema nimetaja väiksemaga, korrutama jagatise väiksemate nimetajatega murdosa nimetaja ja lugejaga. Näiteks on antud murrud Nende murdude toomiseks

väikseima ühisnimetaja jaoks vajate 12:6=2, 2x6=12, 306

2x1=2. Murd võtab kuju . Siis 12:3=4, 4x3=12, 4x2=8. Murd võtab kuju Seetõttu võtavad murrud kuju vastavalt, st neid väljendatakse

nymi võrdsetes osades.

Tehakse harjutusi, mis võimaldavad teil arendada murdude taandamise oskusi madalaima ühise nimetajani.

Näiteks peate seda väljendama murdosa võrdsetes osades

Et õpilased ei unustaks jagatist, mis saadakse suurema nimetaja jagamisel väiksemaga, on soovitatav.

kirjutada väiksema nimetajaga murdosa üle. Näiteks ja

Seejärel vaatleme murde, milles suurem nimetaja ei jagu väiksemaga ja seetõttu ei jagu

nendele fraktsioonidele ühine. Näiteks nimetaja 8 ei ole

jagatakse 6-ga. Sel juhul korrutatakse suurem nimetaja 8 järjestikku arvudega, alustades 2-st, kuni saame arvu, mis jagub ilma jäägita mõlema nimetajaga 8 ja 6. Selleks, et murdude jäämiseks andmetega võrdseks, peavad lugejad vastavalt korrutama samade arvudega. peal-

3 5 näide, nii et murde tg ja * väljendatakse võrdsetes osades,

8 suurem nimetaja korrutatakse 2-ga (8x2=16). 16 ei jagu 6-ga, seega korrutame 8-ga järgmine number 3 (8x3=24). 24 jagub 6 ja 8-ga, mis tähendab, et 24 on nende murdude ühine nimetaja. Kuid selleks, et murded jääksid võrdseks, tuleb nende lugejaid suurendada sama palju kordi kui nimetajaid, 8 suurendatakse 3 korda, mis tähendab, et selle murru 3 lugejat suurendatakse 3 korda.

Murd võetakse kujul Nimetaja 6, suurendatuna 4 korda. Vastavalt sellele tuleb 5. murru lugejat 4 korda suurendada. Murrud on järgmisel kujul:

Seega viime õpilased üldise järelduseni (reeglini) ja tutvustame neile murdude võrdsetes osades väljendamise algoritmi. Näiteks antud kaks murdosa ¾ ja 5/7

1. Leidke väikseim ühisnimetaja: 7x2=14, 7x3=21,
7x4=28. 28 jagub 4 ja 7-ga. 28 on väikseim ühisnimetaja
murdosa hoidja

2. Leidke lisategurid: 28:4=7,

3. Kirjutame need murdude peale:

4. Korrutage murdude lugejad lisateguritega:
3x7=21, 5x4=20.

Saame samade nimetajatega murrud See tähendab

Oleme taandanud murrud ühise madalaima nimetajani.

Kogemused näitavad, et enne erinevate aritmeetiliste toimingute uurimist murdudega on soovitatav õpilasi kurssi viia murdude teisendamisega. Näiteks on soovitatav õpetada murdude lühendamist või vale murdarvu asendamist täis- või segaarvuga enne samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise õppimist, kuna saadud summa või erinevus

Peate tegema kas ühe või mõlemad teisendused.

Kõige parem on uurida õpilastega enne teemat „Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine” murdarvu vähendamist väikseima ühisnimetajani ning segaarvu asendamist vale murduga enne teemat „Murdude korrutamine ja jagamine täisarvudega”.

Harilike murdude liitmine ja lahutamine

1. Samade nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine.

Alysheva T.V. läbi viidud uuring. 1, osutab õpilastele juba tuttava liitmise ja lahutamise analoogia kasutamise soovitavusele samade nimetajatega harilike murdude liitmise ja lahutamise tehte uurimisel.

suuruste mõõtmise tulemusel saadud arvud ja deduktiivse meetodi abil saadud toimingute uurimine, st "üldisest konkreetseni".

Esiteks korratakse arvude liitmist ja lahutamist koos väärtuse ja pikkuse mõõtude nimetustega. Näiteks 8 rubla. 20 k ± 4 r. 15 k Suulise liitmise ja lahutamise korral tuleb kõigepealt liita (lahutada) rublad ja seejärel kopikaid.

3 m 45 cm ± 2 m 24 cm - kõigepealt lisatakse (lahutatakse) meetrid ja seejärel sentimeetrid.

Murdude liitmisel ja lahutamisel arvesta üldine juhtum: nende toimingute sooritamine segaarvudega (nimetajad on samad): Sel juhul peate tegema järgmist: "Lisa (lahutage) täisarvud, seejärel lugejad ja nimetaja jääb samaks." See üldreegel kehtib kõikidel murdude liitmise ja lahutamise juhtudel. Järk-järgult võetakse kasutusele erijuhud: segaarvu liitmine murdosaga, seejärel segaarv tervikuga. Pärast seda käsitletakse raskemaid lahutamise juhtumeid: 1) murdarvu segaarvust: 2) terviku segaarvust:

Pärast nende valdamist piisab lihtsad juhtumid Lahutamisel tutvustatakse õpilastele keerulisemaid juhtumeid, kus on vaja minuendi teisendust: lahutada ühest tervest ühikust või mitmest ühikust, näiteks:

Esimesel juhul tuleb ühik esitada murdosana, mille nimetaja on võrdne alamjaotuse nimetajaga. Teisel juhul võtame täisarvust ühe ja kirjutame selle ka ebaõige murru kujul koos alajaotuse nimetajaga, saame minuendis segaarvu. Lahutamine toimub üldreegli järgi.

Lõpuks kaaluti kõige raske juhtum lahutamine: segaarvust ja murdosa lugeja on väiksem kui alamjaotuse lugeja. Sel juhul on vaja minuendit muuta nii, et saaks rakendada üldreeglit, st minuendis võtta tervikust üks ühik ja see poolitada

viiendikutes saame ja ka, saame näite

on järgmisel kujul: saate juba taotleda selle lahendust

üldreegel.

Deduktiivse meetodi kasutamine murdude liitmise ja lahutamise õpetamisel aitab õpilastel arendada oskust üldistada, võrrelda, eristada ja lisada üksikuid arvutusjuhtumeid üldisesse teadmiste süsteemi murdarvudega tehte kohta.

Murrud

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Murrud ei ole keskkoolis eriti häirivad. Praeguseks. Kuni kohtate ratsionaalsete eksponentide ja logaritmidega võimsusi. Ja seal... Vajutate ja vajutate kalkulaatorit ning see kuvab mõned numbrid täisekraanil. Peaga tuleb mõelda nagu kolmandas klassis.

Mõelgem lõpuks välja murdarvud! No kui palju saab nendes segadusse minna!? Pealegi on see kõik lihtne ja loogiline. Niisiis, millised on murdude tüübid?

Murdude tüübid. Transformatsioonid.

Seal on murded kolme tüüpi.

1. Harilikud murded , Näiteks:

Mõnikord panevad nad horisontaalse joone asemel kaldkriipsu: 1/2, 3/4, 19/5, hästi jne. Siin kasutame sageli seda kirjaviisi. Ülemine number helistatakse lugeja, madalam - nimetaja. Kui ajate neid nimesid pidevalt segamini (juhtub ...), öelge endale fraas: " Zzzzz jäta meelde! Zzzzz nimetaja – vaata zzzzz uh!" Vaata, kõik jääb zzzz meelde.)

Kriips, kas horisontaalne või kaldu, tähendab jaotusülemisest numbrist (lugeja) kuni alumiseni (nimetaja). See on kõik! Kriipsu asemel on täiesti võimalik panna jagamismärk - kaks punkti.

Kui täielik jagamine on võimalik, tuleb seda teha. Nii et murdosa “32/8” asemel on palju meeldivam kirjutada number “4”. Need. 32 jagatakse lihtsalt 8-ga.

32/8 = 32: 8 = 4

Ma ei räägi isegi murdosast "4/1". Mis on samuti lihtsalt "4". Ja kui see pole täielikult jagatav, jätame selle murdosaks. Mõnikord peate tegema vastupidise toimingu. Teisendage täisarv murruks. Aga sellest pikemalt hiljem.

2. Kümnendkohad , Näiteks:

Sellel kujul peate üles kirjutama ülesannete “B” vastused.

3. Seganumbrid , Näiteks:

Seganumbreid gümnaasiumis praktiliselt ei kasutata. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Aga sa pead seda kindlasti suutma! Vastasel juhul puutute probleemiga kokku sellise numbriga ja tardute ... tühi ruum. Kuid me jätame selle protseduuri meelde! Natuke madalam.

Kõige mitmekülgsem harilikud murded. Alustame nendega. Muide, kui murd sisaldab igasuguseid logaritme, siinusi ja muid tähti, ei muuda see midagi. Selles mõttes, et kõik murdosaavaldistega toimingud ei erine tavaliste murdudega toimingutest!

Murru põhiomadus.

Nii et lähme! Alustuseks üllatan teid. Kogu murruteisenduste mitmekesisus pakub üks omadus! Nii seda nimetatakse murdosa peamine omadus. Pidage meeles: Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga, siis murd ei muutu. Need:

Selge see, et kirjutamist võib jätkata kuni näost siniseks jäämiseni. Ärge laske siinustel ja logaritmidel end segadusse ajada, me tegeleme nendega edasi. Peaasi on mõista, et kõik need erinevad väljendid on sama murdosa . 2/3.

Kas me vajame seda, kõiki neid muutusi? Ja kuidas! Nüüd näete ise. Alustuseks kasutame murdosa põhiomadust for redutseerivad fraktsioonid. See tunduks elementaarne asi. Jaga lugeja ja nimetaja sama arvuga ja ongi kõik! Viga on võimatu teha! Aga... inimene on loov olend. Viga võib teha igal pool! Eriti kui pead vähendama mitte murdu nagu 5/10, vaid murdosavaldist kõikvõimalike tähtedega.

Kuidas õigesti ja kiiresti murde vähendada ilma lisatööd tegemata, saab lugeda spetsiaalsest jaotisest 555.

Tavaline õpilane ei viitsi lugejat ja nimetajat sama arvuga (või avaldisega) jagada! Ta lihtsalt kriipsutab maha kõik, mis on ülalt ja alt sama! See on koht, kus see varitseb tüüpiline viga, blooper, kui soovite.

Näiteks peate avaldist lihtsustama:

Siin pole midagi mõelda, kriipsutage maha ülevalt täht "a" ja alt "2"! Saame:

Kõik on õige. Aga tegelikult sa jagasid kõik lugeja ja kõik nimetaja on "a". Kui oled harjunud lihtsalt läbi kriipsutama, siis kiirustades võid avaldises “a” maha kriipsutada

ja võta see uuesti

Mis oleks kategooriliselt vale. Sest siin kõik lugeja "a" peal on juba olemas ei jaga! Seda osa ei saa vähendada. Muide, selline vähendamine on õpetajale tõsine väljakutse. Seda ei andestata! Kas sa mäletad? Vähendamisel peate jagama kõik lugeja ja kõik nimetaja!

Murdude vähendamine muudab elu palju lihtsamaks. Kuskilt saad murdosa, näiteks 375/1000. Kuidas ma saan nüüd temaga koostööd jätkata? Ilma kalkulaatorita? Korruta, ütle, liita, ruut!? Ja kui te pole liiga laisk, siis vähendage seda ettevaatlikult viie võrra ja veel viie võrra ja isegi ... lühidalt, kui seda lühendatakse. Võtame 3/8! Palju ilusam, eks?

Murru põhiomadus võimaldab teisendada tavalised murrud kümnendkohtadeks ja vastupidi ilma kalkulaatorita! See on ühtse riigieksami jaoks oluline, eks?

Kuidas teisendada murde ühest tüübist teise.

Kümnendmurdudega on kõik lihtne. Nii nagu kuuldakse, nii kirjutatakse! Oletame, et 0,25. See on null koma kakskümmend viis sajandikku. Nii et me kirjutame: 25/100. Vähendame (jagame lugeja ja nimetaja 25-ga), saame tavalise murdosa: 1/4. Kõik. See juhtub ja midagi ei vähene. Nagu 0,3. See on kolm kümnendikku, s.o. 3/10.

Mis siis, kui täisarvud ei ole nullid? See on korras. Kirjutame kogu murdosa üles ilma ühegi komata lugejas ja nimetajas - kuuldu. Näiteks: 3.17. See on kolm koma seitseteist sajandikku. Lugejasse kirjutame 317 ja nimetajasse 100 Saame 317/100. Midagi ei vähendata, see tähendab kõike. See on vastus. Elementaarne Watson! Kõigest öeldust on kasulik järeldus: mis tahes kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks .

Kuid mõned inimesed ei saa ilma kalkulaatorita tavalisest kümnendkohani vastupidist teisendada. Ja see on vajalik! Kuidas ühtse riigieksami vastuse kirja panete!? Lugege hoolikalt läbi ja omandage see protsess.

Mis on kümnendmurru tunnusjoon? Tema nimetaja on Alati maksab 10 või 100 või 1000 või 10 000 ja nii edasi. Kui teie harilikul murul on selline nimetaja, pole probleemi. Näiteks 4/10 = 0,4. Või 7/100 = 0,07. Või 12/10 = 1,2. Mis siis, kui osa “B” ülesande vastuseks osutus 1/2? Mida me vastuseks kirjutame? Kümakohad on kohustuslikud...

Jätame meelde murdosa peamine omadus ! Matemaatika võimaldab soodsalt korrutada lugeja ja nimetaja sama arvuga. Mida iganes, muide! Välja arvatud muidugi null. Nii et kasutame seda kinnisvara enda huvides! Millega saab nimetaja korrutada, s.t. 2, et sellest saaks 10, 100 või 1000 (väiksem on muidugi parem...)? Kell 5, ilmselgelt. Korrutage nimetaja vabalt (see on meie vajalik) 5-ga. Aga siis tuleb ka lugeja korrutada 5-ga. See juba on matemaatika nõuab! Saame 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. See on kõik.

Igasuguseid nimetajaid tuleb aga ette. Võite kohata näiteks murdosa 3/16. Proovige välja mõelda, millega korrutada 16, et saada 100 või 1000... Kas see ei tööta? Siis saate lihtsalt jagada 3 16-ga. Kalkulaatori puudumisel peate jagama nurgaga, paberil, nagu algkoolis õpetati. Saame 0,1875.

Ja on ka väga halbu nimetajaid. Näiteks murdu 1/3 ei saa kuidagi muuta heaks kümnendkohaks. Nii kalkulaatoril kui paberil saame 0,3333333... See tähendab, et 1/3 on täpne kümnendmurd ei tõlgi. Sama mis 1/7, 5/6 ja nii edasi. Neid on palju, tõlkimatud. See viib meid veel ühe kasuliku järelduseni. Iga murdosa ei saa teisendada kümnendkohaks !

Muide, see kasulikku teavet enesetesti jaoks. Jaotises "B" tuleb vastusesse kirjutada kümnendmurd. Ja sa said näiteks 4/3. Seda murdosa ei teisendata kümnendkohaks. See tähendab, et tegite kuskil vea! Minge tagasi ja kontrollige lahendust.

Niisiis, me arvasime välja tavalised ja kümnendmurrud. Jääb tegeleda seganumbritega. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Kuidas seda teha? Saate kuuenda klassi õpilase kinni püüda ja temalt küsida. Kuid kuuenda klassi õpilane ei ole alati käepärast... Peate seda ise tegema. See ei ole raske. Murdosa nimetaja tuleb korrutada terve osaga ja lisada murdosa lugeja. See on hariliku murru lugeja. Aga nimetaja? Nimetaja jääb samaks. See kõlab keeruliselt, kuid tegelikult on kõik lihtne. Vaatame näidet.

Oletame, et nägite probleemis olevat numbrit kohkudes:

Rahulikult, ilma paanikata, mõtleme. Kogu osa on 1. Ühik. Murdosa on 3/7. Seetõttu on murdosa nimetaja 7. See nimetaja on hariliku murru nimetaja. Loendame lugeja. 7 korrutatuna 1-ga ( terve osa) ja lisage 3 (murruosa lugeja). Saame 10. See on hariliku murru lugeja. See on kõik. Matemaatilises tähistuses tundub see veelgi lihtsam:

Kas on selge? Seejärel kindlustage oma edu! Teisenda tavalisteks murdudeks. Peaksite saama 10/7, 7/2, 23/10 ja 21/4.

Pöördtehte – vale murdu teisendamine segaarvuks – on keskkoolis harva nõutav. Noh, kui nii... Ja kui te ei käi keskkoolis, võite uurida spetsiaalset jaotist 555. Muide, sealt saate teada ka ebaõigete murdude kohta.

Noh, see on praktiliselt kõik. Sa mäletasid murdude tüüpe ja said aru Kuidas kanda need ühest tüübist teise. Küsimus jääb: Milleks tee seda? Kus ja millal neid sügavaid teadmisi rakendada?

Ma vastan. Iga näide ise viitab vajalikele toimingutele. Kui näites segatakse kokku tavalised murrud, kümnendkohad ja isegi segaarvud, teisendame kõik tavalisteks murdudeks. Seda saab alati teha. Noh, kui see ütleb midagi nagu 0,8 + 0,3, siis me arvestame seda nii, ilma igasuguse tõlketa. Miks me vajame lisatööd? Valime sobiva lahenduse meie !

Kui ülesanne on täielikult kümnendkohad, aga ee... mõned kurjad, minge tavaliste juurde, proovige neid! Vaata, kõik saab korda. Näiteks peate ruudu 0,125. See pole nii lihtne, kui te pole kalkulaatoriga harjunud! Sa ei pea mitte ainult veerus olevaid numbreid korrutama, vaid pead ka mõtlema, kuhu koma sisestada! See ei tööta kindlasti teie peas! Mis siis, kui liigume edasi hariliku murru juurde?

0,125 = 125/1000. Vähendame seda 5 võrra (see on mõeldud algajatele). Saame 25/200. Taaskord 5-ks. Saame 5/40. Oh, see kahaneb ikka veel! Tagasi 5 juurde! Saame 1/8. Me teeme selle lihtsalt (meeles!) nelinurkseks ja saame tulemuseks 1/64. Kõik!

Teeme selle õppetunni kokkuvõtte.

1. Murdu on kolme tüüpi. Ühised, kümnend- ja seganumbrid.

2. Kümnend- ja segaarvud Alati saab teisendada tavalisteks murdudeks. Vastupidine ülekanne mitte alati saadaval.

3. Ülesandega töötavate murdude tüübi valik sõltub ülesandest endast. juuresolekul erinevad tüübid murrud ühes ülesandes, kõige usaldusväärsem on liikuda edasi tavaliste murdude juurde.

Nüüd saate harjutada. Esmalt teisendage need kümnendmurrud tavalisteks murdudeks:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Peaksite saama sellised vastused (segaduses!):

Lõpetame siin. Selles tunnis värskendasime oma mälu võtmepunktid murdude kaupa. Juhtub aga nii, et polegi midagi erilist värskendada...) Kui keegi on täiesti unustanud, või pole veel selgeks saanud... Siis saab minna spetsiaalsesse Sektsiooni 555. Kõik põhitõed on seal üksikasjalikult käsitletud. Paljud äkki mõista kõike algavad. Ja nad lahendavad murde käigu pealt).

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.