Всички лица на паралелепипед са правоъгълници и диагонали. Правоъгълен паралелепипед

В геометрията ключовите понятия са равнина, точка, права линия и ъгъл. Използвайки тези термини, можете да опишете всяка геометрична фигура. Полиедрите обикновено се описват от гледна точка на повече прости фигури, които лежат в една и съща равнина, като кръг, триъгълник, квадрат, правоъгълник и др. В тази статия ще разгледаме какво е паралелепипед, ще опишем видовете паралелепипед, неговите свойства, от какви елементи се състои, а също така ще дадем основните формули за изчисляване на площта и обема за всеки тип паралелепипед.

Определение

Паралелепипед в триизмерно пространствое призма, всички страни на която са успоредници. Съответно, той може да има само три двойки успоредни паралелограми или шест лица.

За да си представите паралелепипед, представете си обикновен стандартна тухла. Тухла - добър примерправоъгълен паралелепипед, който дори дете може да си представи. Други примери включват многоетажни панелни къщи, шкафове, съдове за съхранение на храна с подходяща форма и др.

Разновидности на фигурата

Има само два вида паралелепипеди:

Правоъгълник, всички странични стени на който са под ъгъл 90° спрямо основата и са правоъгълници.
Наклонени, чиито странични ръбове са разположени под определен ъгъл спрямо основата.

На какви елементи може да се раздели тази фигура?

Както във всяка друга геометрична фигура, в паралелепипеда всеки 2 лица с общ ръб се наричат съседни, а тези, които го нямат, са успоредни (въз основа на свойството на успоредника да има по двойки успоредни противоположни страни).
Върховете на паралелепипед, които не лежат на едно и също лице, се наричат противоположни.
Сегментът, свързващ такива върхове, е диагонал.
Дължините на трите ръба на кубоид, които се срещат в един връх, са неговите размери (а именно неговата дължина, ширина и височина).

Свойства на формата

Винаги се изгражда симетрично спрямо средата на диагонала.
Пресечната точка на всички диагонали разделя всеки диагонал на два равни сегмента.
Противоположните лица са равни по дължина и лежат на успоредни прави.
Ако добавите квадратите на всички размери на паралелепипед, получената стойност ще бъде равна на квадрата на дължината на диагонала.

Формули за изчисление

Формулите за всеки отделен случай на паралелепипед ще бъдат различни.

За произволен паралелепипед е вярно, че обемът му е равен на абсолютна стойносттройното скаларно произведение на векторите на три страни, произтичащи от един и същи връх. Въпреки това, няма формула за изчисляване на обема на произволен паралелепипед.

За правоъгълен паралелепипед се прилагат следните формули:

V=a*b*c;
Sb=2*c*(a+b);
Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

V е обемът на фигурата;
Sb - странична повърхност;
Sp - обща повърхност;
а - дължина;
b - ширина;
c - височина.

Друг специален случай на паралелепипед, в който всички страни са квадрати, е куб. Ако някоя от страните на квадрата е обозначена с буквата a, тогава за площта и обема на тази фигура могат да се използват следните формули:

S=6*a*2;
V=3*a.

С- площ на фигурата,
V е обемът на фигурата,
a е дължината на лицето на фигурата.

Последният тип паралелепипед, който разглеждаме, е прав паралелепипед. Каква е разликата между прав паралелепипед и кубоид, питате вие. Факт е, че основата на правоъгълен паралелепипед може да бъде всеки паралелограм, но основата на прав паралелепипед може да бъде само правоъгълник. Ако означим периметъра на основата, равен на сбора от дължините на всички страни, като Po, а височината с буквата h, имаме право да използваме следните формули, за да изчислим обема и площите на общия и странични повърхности.

В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволен и прав паралелепипед, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.

Тема: Перпендикулярност на прави и равнини

Урок: Кубоид

Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).

Ориз. 1 паралелепипед

Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.

1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.

(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)

Например:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.

Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O и всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).

Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.

3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. А основите съдържат произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.

Ориз. 3 Прав паралелепипед

И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.

Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.

Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).

2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.

Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед

Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.

Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на правоъгълен паралелепипед е правоъгълник.

1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.

2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.

3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.

AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.

Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.

Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.

Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).

Докажи: .

Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед

Доказателство:

Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:

Нека помислим правоъгълен триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:

защото , А , Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Или (еквивалентно) многостен, който има шест лица и всяко от тях - успоредник.

Видове паралелепипед

Има няколко вида паралелепипеди:

Кубоидът е паралелепипед, чиито лица са правоъгълници.
Правият паралелепипед е паралелепипед с 4 странични лица, които са правоъгълници.
Наклонен паралелепипед е паралелепипед, чиито странични лица не са перпендикулярни на основите.

Основни елементи

Две лица на паралелепипед, които нямат общ ръб, се наричат противоположни, а тези, които имат общ ръб, се наричат съседни. Два върха на паралелепипед, които не принадлежат на едно и също лице, се наричат противоположни. Отсечката, свързваща противоположни върхове, се нарича диагонал на паралелепипеда. Дължините на три ръба на правоъгълен паралелепипед, които имат общ връх, се наричат негови размери.

Имоти

Паралелепипедът е симетричен спрямо средата на своя диагонал.
Всеки сегмент с краища, принадлежащи на повърхността на паралелепипеда и минаващи през средата на неговия диагонал, се разделя наполовина от него; по-специално, всички диагонали на паралелепипед се пресичат в една точка и се разделят на две от нея.
Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.

Основни формули

Прав паралелепипед

Площ на страничната повърхност S b =P o *h, където P o е периметърът на основата, h е височината

Обща площ S p =S b +2S o, където S o е основната площ

Сила на звука V=S o *h

Правоъгълен паралелепипед

Площ на страничната повърхност S b =2c(a+b), където a, b са страните на основата, c е страничният ръб на правоъгълния паралелепипед

Обща площ S p =2(ab+bc+ac)

Сила на звука V=abc, където a, b, c са размерите на правоъгълен паралелепипед.

куб

Площ: $S=6a^2$
Сила на звука: $V=a^3$ , Където $а$ - ръб на куб.

Всеки паралелепипед

Обемът и съотношенията в наклонен паралелепипед често се определят с помощта на векторна алгебра. Обемът на паралелепипеда е равен на абсолютната стойност на смесеното произведение на три вектора, определени от трите страни на паралелепипеда, излизащи от един връх. Връзката между дължините на страните на паралелепипеда и ъглите между тях дава твърдението, че детерминантата на Грам на посочените три вектора е равна на квадрата на тяхното смесено произведение: 215.

В математическия анализ

IN математически анализпод n-мерен кубоид $б$ разбере много точки $x = (x_1,\ldots,x_n)$ мил $B = $x|a_1\leqslant x_1\leqslant b_1,\ldots,a_n\leqslant x_n\leqslant b_n$$

Напишете рецензия за статията "Паралелепипед"

Бележки

Връзки

Правилно

Правилно
неизпъкнал

Изпъкнал

формули,
теореми,
теории

други

Откъс, характеризиращ паралелепипеда

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Казват, че съперниците са се помирили благодарение на тази болест.]
Думата ангина се повтори с голямо удоволствие.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Старият граф е много трогателен, казват те. Той плака като дете, когато лекарят каза този опасен случай.]
- О, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [О, това би било голяма загуба. Толкова прекрасна жена.]
— Vous parlez de la pauvre comtesse — каза Анна Павловна, приближавайки се. „J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde", каза Анна Павловна с усмивка на ентусиазма си. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Говорите за бедната графиня... Изпратих да разбера за нейното здраве. Казаха ми, че се чувства малко по-добре. О, без съмнение, това е най-прекрасната жена на света. Ние принадлежим към различни лагери, но това не ми пречи да я уважавам заслугите й. Тя е толкова нещастна.] – добави Анна Павловна.
Вярвайки, че с тези думи Анна Павловна леко повдига завесата на тайната над болестта на графинята, един невнимателен млад мъж си позволи да изрази изненада, че не са повикани известни лекари, а че графинята се лекува от шарлатанин, който може да причини опасни средства за защита.
— Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes — внезапно нападна с отрова неопитния мъж Анна Павловна. млад мъж. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Вашите новини може да са по-точни от моите... но аз съм от добри източнициЗнам, че този лекар е много учен и умел човек. Това е лайфлекарят на кралицата на Испания.] - И по този начин унищожи младия мъж, Анна Павловна се обърна към Билибин, който в друг кръг вдигна кожата и, очевидно, се канеше да я разхлаби, за да каже un mot, заговори за австрийците.
„Je trouve que c"est charmant! [Намирам го за очарователно!]“, каза той за дипломатическата хартия, с която австрийските знамена, взети от Витгенщайн, бяха изпратени във Виена, le heros de Petropol [героят от Петропол] (както той беше призован в Петербург).
- Как, как е това? - обърна се към него Анна Павловна, събуждайки тишината, за да чуе говора, който вече знаеше.
И Билибин повтори следните оригинални думи от съставената от него дипломатическа депеша:
„L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens", каза Билибин, „drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Императорът изпраща австрийските знамена, приятелски и изгубени знамена, които е намерил извън истинския път.], — завърши Билибин, отпускайки кожата.
„Charmant, charmant, [Прекрасен, очарователен“, каза княз Василий.
“C"est la route de Varsovie peut être, [Това е варшавският път, може би.] - каза княз Иполит високо и неочаквано. Всички се обърнаха към него, без да разбират какво иска да каже с това. Принц Иполит също погледна назад с весела изненада около себе си, той, както и другите, не разбираше какво означават думите, които каза. думите за всеки случай. „Може би ще се получи много добре“, помисли си той, „и наистина ще успеят да го уредят.“ Настъпи неловко мълчание, влезе това недостатъчно патриотично лице, и тя, усмихната и клатейки пръст на Иполит, покани княз Василий на масата и, като му поднесе две свещи и ръкопис, го помоли да започне .

Тема: Перпендикулярност на прави и равнини

Урок: Кубоид

Ориз. 1 паралелепипед

1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.

(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)

Например:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.

Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.

Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Ориз. 3 Прав паралелепипед

Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).

2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.

Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед

1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.

3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.

Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).

Докажи: .

Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед

Доказателство:

Да разгледаме правоъгълния триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:

Но BC и AD са противоположните страни на правоъгълника. Така че BC = AD. Тогава:

защото , А , Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Цели на урока:

1. Образователни:

Въвеждане на понятието паралелепипед и неговите видове;
- формулират (използвайки аналогията с успоредник и правоъгълник) и доказват свойствата на паралелепипед и кубоид;
- повторете въпроси, свързани с успоредността и перпендикулярността в пространството.

2. Развитие:

Продължете развитието на когнитивните процеси в учениците като възприятие, разбиране, мислене, внимание, памет;
- насърчаване на развитието на елементи в учениците творческа дейносткато качества на мисленето (интуиция, пространствено мислене);
- да развие у учениците способността да правят изводи, включително по аналогия, което помага да се разберат вътрешнопредметните връзки в геометрията.

3. Образователни:

Допринасят за развитието на организираност и навици за системна работа;
- допринасят за формирането на естетически умения при правене на бележки и рисуване.

Вид на урока: урок-усвояване на нов материал (2 часа).

Структура на урока:

1. Организационен момент.
2. Актуализиране на знанията.
3. Изучаване на нов материал.
4. Обобщаване и поставяне на домашна работа.

Оборудване: плакати (слайдове) с доказателства, модели на различни геометрични тела, включително всички видове паралелепипеди, графичен проектор.

По време на часовете.

1. Организационен момент.

2. Актуализиране на знанията.

Съобщаване на темата на урока, формулиране на цели и задачи заедно с учениците, показване на практическото значение на изучаването на темата, повтаряне на вече изучени въпроси, свързани с тази тема.

3. Изучаване на нов материал.

3.1. Паралелепипед и неговите видове.

Демонстрират се модели на паралелепипеди, като се идентифицират техните характеристики, които помагат да се формулира дефиницията на паралелепипед, използвайки концепцията за призма.

определение:

паралелепипеднаречена призма, чиято основа е успоредник.

Направен е чертеж на паралелепипед (фигура 1), изброени са елементите на паралелепипед като частен случай на призма. Показан е слайд 1.

Схематично записване на определението:

Формулират се изводите от определението:

1) Ако ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е призма и ABCD е успоредник, тогава ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – паралелепипед.

2) Ако ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – паралелепипед, тогава ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е призма, а ABCD е успоредник.

3) Ако ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 не е призма или ABCD не е успоредник, тогава
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не паралелепипед.

4) . Ако ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не паралелепипед, тогава ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 не е призма или ABCD не е успоредник.

След това се разглеждат специални случаи на паралелепипед с изграждането на класификационна схема (виж фиг. 3), демонстрират се модели, подчертават се характерните свойства на прав и правоъгълен паралелепипед и се формулират техните определения.

определение:

Паралелепипед се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата.

определение:

Паралелепипедът се нарича правоъгълен, ако неговите странични ръбове са перпендикулярни на основата, а основата е правоъгълник (виж Фигура 2).

След записване на определенията в схематичен вид се формулират изводи от тях.

3.2. Свойства на паралелепипедите.

Търсене на планиметрични фигури, чиито пространствени аналози са паралелепипед и кубоид (паралелограм и правоъгълник). В този случай имаме работа с визуалното сходство на фигурите. С помощта на правилото за извод по аналогия се попълват таблиците.

Правило за извод по аналогия:

1. Изберете от предварително изучени фигури фигура, подобен на този.
2. Формулирайте свойството на избраната фигура.
3. Формулирайте подобно свойство на оригиналната фигура.
4. Докажете или опровергайте формулираното твърдение.

След формулиране на свойствата, доказването на всяко от тях се извършва по следната схема:

обсъждане на доказателствения план;
демонстрация на слайд с доказателства (слайдове 2 – 6);
Учениците попълват доказателства в своите тетрадки.

3.3 Куб и неговите свойства.

Определение: Кубът е правоъгълен паралелепипед, в който и трите измерения са равни.

По аналогия с паралелепипед учениците самостоятелно правят схематичен запис на определението, извеждат следствия от него и формулират свойствата на куба.

4. Обобщаване и поставяне на домашна работа.

Домашна работа:

Използвайки бележките към уроците от учебника по геометрия за 10-11 клас Л.С. Атанасян и други, изучават глава 1, §4, параграф 13, глава 2, §3, параграф 24.
Докажете или опровергайте свойството на паралелепипед, т. 2 от таблицата.
Отговори на въпросите за сигурност.

Контролни въпроси.

1. Известно е, че само две странични стени на паралелепипеда са перпендикулярни на основата. Какъв тип паралелепипед?

2. Колко странични лица на правоъгълна форма може да има паралелепипед?

3. Възможно ли е да има паралелепипед, който има само един страничен ръб:

1) перпендикулярна на основата;
2) има формата на правоъгълник.

4. В прав паралелепипед всички диагонали са равни. Правоъгълна ли е?

5. Вярно ли е, че в прав паралелепипед диагоналните сечения са перпендикулярни на равнините на основата?

6. Изложете теоремата, обратна на теоремата за квадрата на диагонала на правоъгълен паралелепипед.

7. Какви допълнителни характеристики отличават куб от правоъгълен паралелепипед?

8. Ще бъде ли паралелепипед куб, в който всички ръбове в един от върховете са равни?

9. Изложете теоремата за квадрата на диагонала на кубоид за случай на куб.

Помощ за Tele2, тарифи, въпроси