Разложить функцию в ряд тейлора примеры. Разложение функций в степенные ряды
В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.
Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд
который на некотором
интервале сходился и его сумма была
равна
,
т.е.
= ..
Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.
Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.
Итак, предположим,
что функция
имеет производные любого порядка. Можно
ли её разложить в степенной ряд, если
можно, то как найти этот ряд? Проще
решается вторая часть задачи, с неё и
начнем.
Допустим, что
функцию
можно представить в виде суммы степенного
ряда, сходящегося в интервале, содержащем
точкух
0 :
= .. (*)
где а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а п ,... – неопределенные (пока) коэффициенты.
Положим в равенстве (*) значение х = х 0 , тогда получим
.
Продифференцируем степенной ряд (*) почленно
= ..
и полагая здесь х = х 0 , получим
.
При следующем дифференцировании получим ряд
= ..
полагая х
= х
0 ,
получим
,
откуда
.
После п -кратного дифференцирования получим
Полагая в последнем
равенстве х
= х
0 ,
получим
,
откуда
Итак, коэффициенты найдены
,
,
,
…,
,….,
подставляя которые в ряд (*), получим
Полученный
ряд называется рядом
Тейлора
для функции
.
Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х 0 ), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.
Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х 0 . Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.
3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд ТейлораСформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.
Если функция
в некоторой
окрестности точки х
0
имеет производные до (n
+
1)-го
порядка включительно, то в этой окрестности
имеет место
формула
Тейлора
где R n (х )-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)
где точка ξ лежит между х и х 0 .
Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п - фиксированное число.
Напомним, что сумма ряда S (x ) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм S п (x ) на некотором промежутке Х :
.
Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X
Запишем формулу Тейлора в виде, где
Заметим, что
определяет ту
ошибку, которую мы получаем, заменяй
функцию f
(x
)
многочленом
S
n
(x
).
Если
,
то
,т.е. функция
разлагается в ряд
Тейлора. Инаоборот,
если
,
то
.
Тем самыммы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
Для того, чтобы
в некотором промежутке функция
f
(х)
разлагалась в ряд Тейлора, необходимо
и достаточно, чтобы на этом промежутке
,
где
R
n
(x
)
- остаточный член ряда Тейлора.
С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
Если в некоторой окрестности точки х 0 абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ≥ 0, т.е.
, т о в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.
Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки х 0 :
1. Находим производные функции f (x ):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…
2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.
4. Проверяем
выполнение достаточных условий, т.е.
устанавливаем, для каких х
из области
сходимости, остаточный член R
n
(x
)
стремится
к нулю при
или
.
Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.
f(x)=
В точке x 0 =
Количество элементов ряда
3 4 5 6 7
Использовать разложение элементарных функций e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m
Правила ввода функций :
Если для некоторого значения х
r n
→0 при n
→∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора
:
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена
:
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции
Логарифмические функции
, -1